2021年广东省汕头市董明光中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021年广东省汕头市董明光中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果． 【解答】解：根据函数的图象：A=1 又 解得：T=π 则：ω=2 当x=，f（）=sin（+φ）=0 解得： 所以：f（x）=sin（2x+） 要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可． 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型 2.已知向量，的夹角为，且||=，||=4，则?的值是（）A．1 B．2 C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知中向量，的夹角为，且，代入向量数量积公式，即可得到答案．【解答】解：∵向量，的夹角为，且∴?===1故选A3.100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，…，09；第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第组中抽取其号码的个位数与的个位数相同的个体，其中是第1组随机抽取的号码的个位数，则当时，从第7组中抽取的号码是（

）A．61

B．65

C．71

D．75参考答案：A4.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的周长为（

）A.15 B.18 C.21 D.24参考答案：A【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，推出a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．【详解】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，∵A＝120°．∴cosA．∴c＝3，∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．故选：A．【点睛】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．注意余弦定理的合理运用，是中档题．5.数列中，，，则＝A．3 B．4

C．5

D．6参考答案：C略6.已知函数若，则的值为(

)A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：B由函数，则

7.若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选C．8.已知向量，，⊥，则k的值是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由已知中向量根据两个向量垂直，则其数量积为0，我们可以构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵，又∵∴3×（2k﹣1）+k=7k﹣3=0解得k=故选B【点评】本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据两个向量垂直，则其数量积为0，构造关于k的方程，是解答本题的关键．9.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．10.已知数列{an}满足，，则的最小值为（

）A.2 B. C.4 D.参考答案：D【分析】由，累加法求通项，再利用函数的单调性求出最小值.【详解】由，可得，，，再利用累加法可得，∴，,∵在上单调递增，n=1时，，n=2时，，故选D.【点睛】本题考查累加法求通项求数列的通项公式，考查函数的单调性，准确计算是关键，是中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，sin()=－sin则cos=

_．参考答案：略12.若△ABC的三边长分别为10cm,

10cm,16cm,则△ABC的内切圆的半径为______________cm.参考答案：略13..函数的图象必过定点，则点坐标为

.参考答案：14.函数的最小正周期为

．

参考答案：π15.已知f(x)为偶函数，当时，，则不等式的解集为

．参考答案：当时，由，即则，即当时，由，得，解得则当时，不等式的解为则由为偶函数当时，不等式的解为即不等式的解为或则由或解得：或即不等式的解集为

16.某班有50名学生报名参加两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A,B都不参加的同学比A,B都参加的同学的三分之一多1人，则只参加A项，没参加B项的学生有

_____________人。参考答案：917.已知向量a=(3，4)，b=(sin，cos)，且a//b，则tan的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）袋中装大小和质地相同的红球、白球、黑球若干个，它们的数量比依次是2：1：1，现用分层抽样的方法从中抽取一个样本，抽出的红球和黑球一共6个．（Ⅰ）求样本中红球、白球、黑球的个数；（Ⅱ）若从样本中任取2个球，求下列事件的概率；（i）含有红球；（ii）恰有1个黑球．参考答案：（Ⅰ）∵红球和黑球在总数中所占比例为，………1分

样本中所有球的总数.

………2分

∴红球的个数为………3分白球的个数为，………4分黑球的个数为.………5分（Ⅱ）记“2个球1红1白”为事件A，“2个球1红1黑”为事件B，“2个球都是红球”为事件C，“2个球1白1黑”为事件D则A中的基本事件个数为8，B中的基本事件个数为8，C中的基本事件个数为6,D中的基本事件个数为4,全部基本事件的总数为28.

………8分（i）

方法一：含有红球的概率为

………10分方法二：“2个都是白球”，“2个都是黑球”的基本事件个数都为1，（ii）恰有1个黑球的概率

………12分19.设数列满足其中为实数，且（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）设，,求数列的前项和；（Ⅲ）若对任意成立，求实数c的范围。参考答案：解(1)方法一：当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。数列的通项公式为。方法二由题设得：当时，时，也满足上式。数列的通项公式为。(2)

由（1）得

(3)

由（1）知若，则

由对任意成立，知。下面证，用反证法方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大不能对恒成立，导致矛盾。。方法二：假设，，即

恒成立

（＊）为常数，

（＊）式对不能恒成立，导致矛盾，略20.（本题满分12分）已知函数和（为常数），且对任意，都有恒成立．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设函数满足对任意，都有，且当时，．若存在，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）取，由，此时，，，∴，故；（Ⅱ）由题设为偶函数，当时，，值域是；当时，，，其值域是，∴当时，的值域是，又当时，的值域是，若存在，使得成立，则．21.（本题8分）计算：（1）-·+lg4+2lg5

（2）

参考答案：略22.（本题满分12分）为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:组别候车时间人数一2二6三4四2五1（1）求这15名乘客的平均候车时间;（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;（3）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.参考答案：（1）由图表得:,所以