【数学竞赛】七年级数学思维探究(20)丰富的图形世界(含答案)

【数学竞赛】七年级数学思维探究(20)丰富的图形世界(含答案)

欧拉（1707-1783）是18世纪最杰出的数学家之一。他不仅在数学上作出了伟大贡献，而且成功地将数学应用到其他领域。在数论中，欧拉首先引入了欧拉函数Φ(n)，用多种方法证明了费马小定理，解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，开创了图论的研究。此外，欧拉还在物理、天文、建筑、音乐和哲学等领域取得了辉煌的成就。20世纪初，伟大的法国建筑师勒·柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从来没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学。”生活中蕴含着丰富的几何图形，如圆的月亮、平的湖面、直的树干和造型奇特的建筑。图形既有立体的，也有平面的，立体图形与平面图形之间的联系可以从以下几个方面得以体现：1.立体图形的展开和折叠；2.从各个角度观察立体图形；3.用平面截取立体图形。观察归纳、操作实验、展开想象和推理论证是探索图形世界的基本方法。例1：如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x+y=8。试一试展开和折叠是两个相反的过程，可以手工将其还原成正方体。例2：如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是多少？可以根据三视图和几何体的关系，分别确定该几何体的列数和每一列的层数。例3：由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图。请你画出这个几何体的一种左视图，并求出组成这个几何体的小正方体的块数n。本例可以在脑子中想象完成，也可以用实物摆放，从操作实验的角度出发，从俯视图可以推断出左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解决本例的关键，而有序思考和分类讨论则可避免重复和遗漏。例4：如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？尝试将文章进行修改：为了求得一个正方体的面积，可以先计算其所有侧面的面积之和，再加上所有露出的面积。这个过程可以通过手工简单的归纳法来完成。举例来说，如果要将一个正方体分割成49个小正方体，需要具备较强的空间想象力和推理能力，同时需要将图形性质和计算结合起来。假设正方体的棱长为6个单位。首先，无法切出棱长为5的立方体，因为这样无法分割成49个小正方体。另外，也无法切出棱长为4的正方体，因为根据方程式a+8b+64=216，解得b=14，不符合题意。因此，只能切出棱长为1和2的正方体。假设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，棱长为3的正方体有c个。根据方程式a+8b+27c=216，可以解得a=36，b=9，c=4。因此，可以分割出36个棱长为1的正方体，9个棱长为2的正方体，以及4个棱长为3的正方体。欧拉公式是一个有趣的关系式，描述了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系。通过观察多面体模型，可以发现它们的V、F和E之间的关系式是不同的。例如，四面体的V、F和E分别为4、4和6，而正十二面体的V、F和E分别为20、12和30。在一个由黑白相间的牛皮缝制而成的足球中，正五边形和正六边形的个数可以通过解方程来求得。假设正五边形的个数为x，正六边形的个数为y，则总面数为x+y。由于每条棱都连接着两个面，因此棱的总数为6x/5+6y/6=6(x+y)/5。因此，可以列出两个方程式：x+y=32（因为足球有32个面）和6(x+y)/5=12x/5+12y/6（因为每个面都有6个棱）。通过解这两个方程式，可以得到x=12和y=20，因此足球中有12个正五边形和20个正六边形。1.正方体展开图的数字和问题给定正方体的展开图，求原正方体相对两个面上的数字之和的最小值。解法：观察展开图，可以发现相对的两个面上的数字之和为7，5，3。因此，最小值为3。2.相同小正方体搭成的几何体问题给定用相同小正方体搭成的几何体的视图，求搭成这个几何体的小正方体的个数。解法：观察视图，可以发现这个几何体由4个小正方体组成。因此，搭成这个几何体的小正方体的个数为4。3.长方体视图问题给定长方体的左视图、俯视图及相关数据，求其主视图的面积。解法：根据左视图和俯视图可以确定长方体的三个面的大小及位置。根据数据可以确定长方体的长宽高分别为3、2、1。因此，主视图的面积为6。4.由小立方体组成的几何体问题给定由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的几何体，求第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体的个数。解法：观察几何体，可以发现第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体的个数为(n-2)×4+4。5.正方体涂色问题给定14个边长为1m的正方体在地面上摆成的形式，求被涂颜色的总面积。解法：观察图形，可以发现被涂颜色的总面积为41平方米。6.由小正方体组成的几何体问题给定一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，求组成该几何体所需小正方体的个数最少为多少个。解法：观察主视图和俯视图，可以发现该几何体由3个小正方体组成。因此，组成该几何体所需小正方体的个数最少为3。7.正方体零件表面积问题给定从棱长为2的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体得到的零件，求这个零件的表面积。解法：观察图形，可以发现这个零件的表面积为20。8.牟合方盖问题给定“牟合方盖”的模型，求其主视图。解法：观察模型，可以发现其主视图是ABCD。9.由正方体组成的几何体问题给定5个棱长为1的正方体组成的几何体，求其体积和表面积，并画出主视图和左视图。解法：观察几何体，可以发现其体积为5，表面积为30。主视图和左视图如下图所示。10.用正方体搭建的几何体问题给定用同样大小的正方体木块搭建的几何体的平面图形，求其主视图和俯视图。解法：观察平面图形，可以发现该几何体由4个小正方体组成。因此，其主视图和俯视图如下图所示。一个边长为5厘米的正方体由125个边长为1厘米的小正方体组成。在上底面ABCD的中心P处挖去如图所示的阴影部分，剩下的部分包括多少个完整的棱长为1厘米的小正方体？根据图中的构造，挖去的部分是一个四棱锥。四棱锥的底面是一个边长为3厘米的正方形，高为2厘米，因此它包括4个棱长为1厘米的小正方体。整个正方体共有125个小正方体，减去四棱锥的部分，剩下的部分包括$125-4=121$个完整的棱长为1厘米的小正方体。数学冲浪：1.62.23.54.$4(2n-1)$5.C6.B7.C8.B9.(1)5;22;(2)略10.(1)(2)11;11.上空格填4，下空格填212.3813.$2\pi$14.B15.D设大立方体的棱长为n，n>3。若$n=6$，即使6个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有$4\times3=64$个>45，所以$n=4$或$5$。除了已涂漆的单位立方体，剩下的构成一个长方体，设其长、宽、高分别为a、b、c，$abc=45$，只能是$3\times3\times5=45$，所以$n=5$。16.C若分割出棱长为3的正方体，则棱长为3的正方体只能有1个，余下的均是棱长为1的正方体，共37个不满足要求。设棱长为2的正方体有x个，棱长为1的正方体有y个，则$x+y=29$，$4x+y=64$，解得$x=5$，$y=24$。因此，棱长为2的正方体有5个，棱长为1的正方体有24个。17.为了保证“影子不变”，有不同的方法。可以按照以下原则进行操作：在每一行和每一列中，除了最高的一摞保持不动，该行（列）的其余摞都搬成只剩最下面的一个小正方体。如下图所示，20个方格中的数字表示在搬完以后最终留下的正方体个数。按照这样的方法，各行可搬个数累计为9+9+5+4+0=27，即最多可搬走27个小正方体。42-4543-35-46-21243-24-3-1332-1-2-55166518.为了使平面展开图的周长最小，需要尽量缩小剪开的七条棱长。因此，首先需要剪开四条高（因为c最小），接着剪开一条长为a厘米的棱（否则，无法展开成平面图），最后再剪开两条宽为b厘米的棱（如图中所示的①～⑦这七条棱）。由此得到图甲，此时最小周长为c×8+b×4+a×2=2a+4b+8c（厘米）。ababcccacbbbbacccacb图甲如果要使平面展开图的周长最大，需要尽量增大剪开的七条棱长。因此，需要先剪开四条最长的棱（长a），再剪开两条次长的棱（宽b），最后剪开一条最短的棱（高c），即得到图乙。此时最大周长为n×8+b×4+c×2=8a+4b+2c（厘米）。caacbbc图乙19.如下图所示，已知AB=10，CD=5，AC=12，B