材料力学Ⅱ电子教案

第四章压杆稳定问题的进一步研究§4－2大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算§4－1几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式§4－4其他弹性稳定问题简介§4－3纵横弯曲1§4－1几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式Ⅰ.杆端弹性支承的细长压杆第四章压杆稳定问题的进一步研究FcrBAlEIEIbEIaCD（a）图a所示刚架，在临界力Fcr作用下其挠曲线如图中虚线所示。AB杆的A、B端的转动分别受到AC、BD杆的弹性约束。可将2压杆在图c所示的微弯状态下保持平衡。杆端的反力偶矩为（a）,式中，MA>0,MB>0,>0,<0。由平衡条件得杆端的水平支反力为(MB-MA)/l，其指向如图c所示。第四章压杆稳定问题的进一步研究AB杆视为两端均为弹性固定端的压杆（图b）。弹簧的刚度系数分别为kA

、kB

。（b）(c)3弯矩方程为挠曲线的近似微分方程为令，得(b)(c)(d)(d)式的通解为第四章压杆稳定问题的进一步研究4（e）利用位移边界条件可以得出它将大于两端铰支压杆的临界力，而小于两端固定压杆的临界力，即0.5<m<1。第四章压杆稳定问题的进一步研究。时，例如：，m=0.8。5例：求图a所示刚架中AB杆的临界力。FcrABlEIEIlC（a）dA’FcrABlx（b）dA'’MBww’xyFcr第四章压杆稳定问题的进一步研究

解：刚架在Fcr

作用下挠曲线如图a中虚线所示。AB杆可视为A为自由端，B为弹性固定端的压杆（图b），B

端的反力偶矩由图c得lCBMBθB（c）6(a)弯矩方程为(b)挠曲线的近似微分方程为(c)第四章压杆稳定问题的进一步研究lCBMBθB（c）7令，得（d）式的通解及其一阶导数分别为由x=0,w=0,得（d）（f）（e）（g）第四章压杆稳定问题的进一步研究8

x=0,w′=θB，得将(g)、(h)式代入(e)式，得又由于故第四章压杆稳定问题的进一步研究（h）（i）9临界力为化简上式，得解此超越方程，得kl的最小正根为（j）由x=l,w=δ,得第四章压杆稳定问题的进一步研究

压杆的长度因数m=2.63>2,即该压杆的临界力小于一端自由，另一端固定的压杆的临界力。10

Ⅱ.阶梯状细长压杆的临界力

由于阶梯状压杆各段的EI

不同，必须分段列挠曲线的近似微分方程，这样就增加了待定常数的个数，必须综合利用位移边界条件和位移连续条件，才能解得临界力Fcr

。第四章压杆稳定问题的进一步研究

图a所示压杆，在图b所示微弯状态下保持平衡。由于压杆的受力、约束、杆长、弯曲刚度均是关于C截面为对称的，所以11AD（0≤x≤l/4）段挠曲线的近似微分方程为弯矩方程为（a）（b）第四章压杆稳定问题的进一步研究挠曲线也是关于C截面为对称的。故只需对AD和DC段分别列挠曲线的近似微分方程。（c）令,（b）式成为12DC（l稍/4≤开x≤途l确/2）段挠眨曲线录的近岸似微皮分方阁程为（d伪）令央，（d）式恼成为（e群）第四楼章聪压洒杆稳却定问巷题的赖进一钻步研切究分别歌求解亩（c）和朽（e）式蚀，并压利用x配=0,勾w1=0;x蚀=l/4,w1=哀w2;;x欺=贵l赏/2,孝=0，可解论得13可见敢，该丽压杆垫的临惑界力塘比弯弓曲刚异度为EI的等完截面方压杆甜的临界力导（棕）慎，增男大了68肾%，而少压杆脾材料筛仅仅壶增加饼了50典%。可见料采用恢变截泼面压逮杆较肯为节醉省材逢料。软这是场因为委压杆薯两端附近饶的弯敲矩较丘小，属中间野部分出的弯摧矩较盒大，胶把两出端附筝近的碍部分拖材料移店到中阅间部斯分，舍压杆评不易陪变弯雀，从性而增而大了滴临界悼力。第四磨章绝压景杆稳岗定问毁题的泡进一腰步研袖究14第四揪章朝压屿杆稳仍定问容题的票进一蹈步研舰究两端宽铰支革细长矿压杆15§4－纯2大柔瓶度杆齿在小浓偏心塞距下个的偏皇心压齐缩计牙算图示知偏心忘受压欢杆的搏弯矩晃为▲当F声w姨<<馋F套e时杆的胁最大即压应乡丰力为这种旱杆称唱为大刚设度（恢小柔效度）预杆。（a绒）第四叔章抹压顷杆稳匪定问撤题的稿进一或步研布究M(x)≈款F该e16▲当F忌w不能架忽略伸时，会就不介能利俘用叠丽加原笔理，咳这种歇杆称爪为小刚度（组大柔汗度）脚杆。挠史曲线锈的近鼻似微康分方狗程为（b勺）令指，喜得通解枯为（d辨）（e零）第四废章咽压坝杆稳胁定问咐题的误进一代步研丧究17x=挂l,京w崖=0，将（f）式陡代入羞(e)售式，沫得得（f严）（g您）由x=0,樱w=0，B=毁e（4-4）x=感l盗/2时（4-5）第四俘章糟压帽杆稳惯定问纷题的钟进一苍步研龟究得18Ⅱ.若EIz非常性大时翁，命→0，围→1，则式中肉，由(4堂-4桌)、稳(4盈-5凉)、杯(4肠-6跑)式可普见：Ⅰ.d、Mma么x、scm辞ax和F均不绑成线蓝性关锹系（逐几何畅非线炉性）鲜。计扫算时笼不能谎用叠叼加原甩理。d→0，第四局章处压好杆稳沉定问轿题的肉进一棍步研谷究（4-6）19。即界对弯把曲刚苦度很历大的掌压杆歉，当轿其受偏闪心压轻力作颗用时贞，可剖用叠易加原笨理进房诚行计愈算。Ⅲ.设e沉=畅e1、e役=吵e2、e父=狸e3，且e1<找e2<筐e3。由（i=射1,溪2,念3）可碌画出孟一组F-d曲线蹈（如俗图）掘。第四匠章诱压专杆稳这定问啊题的盾进一闻步研芬究(1昼)当→∞时眼，d→∞伴。此斗时，，若e≠0，由得，。。20随e值减束小，F-d曲线居逐渐润靠近OF轴。e→0时，F-d曲线→天OA佛B。d=0；d为任员意值钓。第四蛙章浊压倦杆稳定定问百题的卧进一阴步研拖究以为水平渐进线。可见，e≠0时，F-δ曲线(2亲)时，时，21这是究因为乏以上营是用兵线弹闭性公式遍进行膨分析虑的。x=辣l陈/2的横浇截面逝上的夏大部剧分区施域产住生塑夏性变营形，栏而发湾生弯谢折（图辈中虚鸣线）挪。第四肺章足压兴杆稳促定问性题的零进一竹步研温究Ⅳ.e≠0,疾时，d→叙∞。实际概上，苗当d达到性一定适值时雕，可把d→∞理解粱为d迅速继增加厦，力为实培际压堪杆临暴界力崇的上匆限值泛。22§4－战3纵横侵弯曲图示僵大柔蛙度杆堡的弯赵矩方冶程为可见垂，M（x）是由朵横向株力q和纵膝向力F共同嘴产生课的，购杆的（a洞）第四谨章成压喇杆稳钟定问议题的旗进一垂步研悬究Fql/2xFM(x)wq23（b载）弯曲漠变形好也是扣由q和F共同陶作用临而引殿起的——纵横斑弯曲。挠捷曲线月的近温似微洋分方场程为令豪，（c暴）其通数解为（d假）第四胶章厉压些杆稳善定问舟题的格进一券步研昼究（b）式魄成为24由x=0,弟w=0和x=辞l,滤w引=0，求督出A、最B常数矛，代剂入（d）式软，并利丑用参风数u=森kl倦/2，进针行化叛简，码得将x=连l狠/2代入逮（e）式练，并树利用k=2u帜/鸦l化简调，得（e翼）（4才-7瞎）令第四祥章探压冤杆稳深定问激题的纹进一诊步研次究，（4-速7）式歪成为25式中棍，龄为由q产生杯的挠暂度，h(u)为F对d的影舱响。可见d与q仍为押线性际关系大,d与F为非后线性武关系袜。在x=省l虑/2处，唇弯矩耗最大拍，其唉值为（4超-8开）第四宴章所压犯杆稳虹定问盖题的厌进一马步研卷究26Mma竞x和q成线炕性关滔系，宝和F成非犯线性脉关系。令式中盒，椅为q产生缺的弯勤矩，l(u)为F对弯绕矩的疼影响垮。近似鸦解:，得航到第四贴章愿压异杆稳呜定问拖题的档进一帮步研役究影响针系数h(u)和l(u)可查表馒（铁哗摩辛易柯弹甩性稳摄定中妹译本论，P56返1,表A-鼓2）最驱大压辫应力胸为27u→0（F→0）时u→p/2时，se陪cu→∞母,灾由（4-警7）式窜得d→∞，吵杆在xy平面上内失稳青。第四逐章述压番杆稳娘定问劫题的驴进一判步研脑究当敞时寨,28级数所以因为所以因为第四存章给压鱼杆稳催定问逆题的凑进一亲步研啊究，，。29可见F不仅伯产生集轴向幼压力导，也疯使弯戏曲正强应力幅增加河。第四假章袋压响杆稳浊定问就题的耻进一饭步研贡究用能散量方矛法，排也可冲求得煎近似吹解卸[见旬杜庆孟华编场材料另力学蜡（下残）]。30§4－务4其他检弹性腔稳定投问题辣简介在分圈析压惑杆的退稳定男性时选，把弯压杆甚抽象成恋为中井心受巩压直乳杆，踩压杆您只有丝式轴向尤压缩变纱形，刚为了嚼检验反压杆蜻直线额状态闸下的针平衡是结否是铺稳定宿平衡伍，必良须加市横向伍干扰惰力。实际图压杆搬可能壳会有座微小保的初饶曲率炭，荷睛载有可包能有飘偶然璃偏心宾以及城材质隆不均胁匀等哪因素，挂使压盘杆除恐产生油压缩则变形定外，撇还产迟生第四岔章晕压捡杆稳制定问镰题的砍进一之步研潮究31附加锣的弯策曲变枪形。遮为了益便于辣分析诱，把啊以上蜜产生导弯曲载变形僻的诸生因素彻统一面用微还小偏促心距e来表导示，答把压谋杆的搭计算皇模型匠取为绳如图奋所示裙的偏心效压缩。F较小旦时轴向相压缩弯曲在§4－房诚2曾得闲到眯，筛由此捉可应见，计随F增加d增加汽，但d增加柄比F增加驻得快等。当色时食，d迅速增加疫，压流杆丧啦失工峡作能集力，个该力撞也是第四日章杜压侍杆稳土定问象题的松进一姿步研紧究——主要粱变形——次要分变形压杆铸失稳奸时的岂临界遵力。32是抽扶象的瓣概念躁，其竞实质锐是随术压力李的增孟加，差次要冰变形（兼弯曲芽）转馅化为茅主要榨变形挺，压普力达修到临维界值劳时，乡丰弯曲败变形把迅速增蕉加，束压杆镜丧失露工作醋能力捉。按峡照这苗种思图路也术便于弦理解尖其它吓构件的些弹性荷稳定帅问题汗。Ⅰ.狭长摘矩形勒截面症梁的杏弹性库稳定第四茅章忠压见杆稳剪定问吓题的套进一涂步研苹究压杆线失稳构件县的失总稳只党有在璃特定锈的受乓力形错式下苦才会结发生邪，例窄如，淡具有士微小皂偏心描距的页受拉面杆，就随拉楚力的驻增加溉弯曲席变形芦将逐犁渐减摧小，应不会扛出现文失稳贯现象晓。33F力可委能偏天离y轴微组小角补度宏，故聚（愤在xy平面达内弯曲）粉，际（险在xz平面孟内弯酷曲），诞图中营未示励出长角。F力可能坊偏离伶形心O微小恳距离e，故映，扇产生离扭转罗。第四澡章犯压弯杆稳疤定问习题的道进一边步研抽究34F较小公时在xy平面得内弯郑曲在xz平面慨内弯