椭圆离心率的变式

椭圆离心率的变式教学宋学伦在教学中我们把包括条件的探究（增加、减少或变更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与形的探究、引申探究（命题是否可以推广）等的教学方法我们叫题目的变式教学。我们就以椭圆的离心率的求解为例分析变式教学如何用。圆锥曲线离心率的求解是高考的一个热点，分离心率的值的求解和取值范围的求解两部分。特别是离心率的取值范围的求解更是一个难点。离心率的确切值的求解求解时若方程给定分别求a,b,c;若不知方程构建a,c的齐次式两边同时除以a得e的方程，以此解e。X2y若ZABC=90。，则该椭圆的离心率为（）D.示例：如图A、B、C分别为莅+十=1（a>b>0）若ZABC=90。，则该椭圆的离心率为（）D.解析：|AB〔2=a2+b2,|BC〔2=b2+c2,|AC|2=(a+c)2.TZABC=90°,.°.|AC|2=|AB|2+|BC〔2,即(a+c)2=a2+2b2+c2,/.2ac=2b2,即b2=ac..°.a/.2ac=2b2,即b2=ac..°.a2—C2=ac.a•—>•c1,解之得e=T于诟，又•.•e>O,.・.e=•答案：A点评：求椭圆的离心率的确切取值时，其法有三：一是通过已知条件列方程组,解出a,c的值；二是由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.变式一：把条件“A、B、C分别为計±=1（a>b>0）的顶点与焦点,x2y2若ZABC=90。"改为"F、F分别为椭圆一+】=1（a>b>0），的左、12 a2b2右焦点，A为椭圆的上顶点，直线A.交椭圆于另一点B.若/卩押=90°”求椭圆的离心率；解：若ZFxAB=90。，贝y^AOF2为等腰直角三角形，所以有OA=OF，即b=c.所以a=\：2c,e=~=2 a2变式二：把条件"A、B、C分别为|+b2=l（a>b>0）的顶点与焦点，若ZABC=90°”改为"椭圆通过A,B两点，它的一个焦点为点C,且AB=AC=1,ZBAC=900，椭圆的另

个焦点在AB上”，求椭圆的离心率为 解析设另一个焦点为F,如图所示，・・・|ABI=IACI=1,AABC为直角三角形,2+^/2・・1+1+冷2=4a，贝Ha= ,设IFAI设IFAI=x,.•「x+1=2a,、1—x+^/2=2a.・°・x=^2,・：i+2=4C2,・・・c=¥，e=a=V6—V3. 答案石—远变式三：把条件“A、B、C分别为*+b2=l（a〉b〉o）的顶点与焦点，若ZABC=90°“改为“F「F2分别为圆锥曲线的左、右焦点，曲线上存在点P使|PFJ:岸戸：|PF2|=4：3：2,则曲线r的离心率等于（）d.|或2a.2或|解：设|FiF2|=2c(c>0),由已知|PFJ:|吓2|:|PF2d.|或2TOC\o"1-5"\h\z8 4|PFx|=|c,|PF2I=|c，且|PFx|>|PF2|,c1

若圆锥曲线为椭圆，则2a=|PF|+|PF|=4c，离心率e=a=2

12 a24 c3若圆锥曲线为双曲线，则2a=|PF|—|PF|=|c，离心率e=-=2，故选A.1 23 a2离心率的取值范围的求解解题的关键在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.示例：椭圆G:-+b-=1（a〉b〉0）的两焦点为F1Y0）,中0），椭圆上存在点M使FM-吓=0-求椭圆离心率e的取值范围;TOC\o"1-5"\h\z解：设M(x,y),FM-FM=0nx2+y2=c2 ①12a2b27 b2 a2b2 a2b2将y2=b2一x2代入①得x2=a2一 0<x2<a2求得——<e<1a2 2 2点评：药+br=1（a〉b〉0）中忖＜a，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数

范围问题中经常使用，应给予重视.变式一：把条件“椭圆上存在点m使fm-F2M=0”改为“满足M-匹=0的点M总在椭圆内部”则椭圆离心率的取值范围是（）A．(0,1)B．(o,2]D．A．(0,1)B．(o,2]D．解析：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c,・・・MF-斫=0,・・・M点的轨迹是以原点0为圆心，半焦距C为半径的圆.1又M点总在椭圆内部，.••该圆内含于椭圆，即cVb,C2<b2=a2-C2.・・.e2=¥v2，・・・0Vev¥.答案：Ca22 2变式二：将条件“椭圆上存在点M使FM•FM=0”改为“椭圆上存在P满足PF•PF=0且有且只有两个这样的点求离心率的值？若这样的点有且只有四个呢?12解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，・・・MF-MF=0,当这样的点有两个时m点在椭圆的短轴端点上.1b二c,即a-丟e二£二至a2当这样的点有四个时则b<c即a2<2c2所以耳<e<1变式三：把条件“椭圆上存在点M使FM-FM=0”改为“在椭圆上存在点P，满足IPF|=5|PFl”则椭圆的离心率的取值范围为( )。12解:V|PFiI=5|PF2I,•|PFiI+|PF2I=6|PF2I=2a，|PF2I=3，|PF」=5-，所以3a-3<2c22所以3<e<1，故椭圆离心率的取值范围为3<e<1.变式四：把条件“椭圆上存在点M使FM-FM=0”改为“在椭圆上存在点P,满足ZFPF1212=60。”.求椭圆离心率的范围？x2y2解：设椭圆方程^-_+b_=1(a>b>0)，|PF|=m，|PF|=n.a2b2 1 2在APFF中，由余弦定理可知，4c2=m2+n-2mncos60o.12•/m+n=2a,/.m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn:.4c2=4a2-3mn,艮卩3mn=4a2-4c2TOC\o"1-5"\h\zf m+兀、 c ,c1\o"CurrentDocument"又：mn<( )2=a2, 3a2>4a2-4