数模往届2013赛题选讲

微分方程的应用于瀚雯2006ICM题目：如何在抵抗艾滋病的过程中均衡利用资源。总任务：为艾滋病的几种重要情况建立模型，并根据你的模型给出财政资源的分配方案。任务描述任务1：在每个大洲中选取一个艾滋病病情严重的国家，建立模型，未来50年中，预测在没有任何干预措施的情况下你所选定的国家中艾滋病感染者的数量的变化率。并对模型及模型假设作详细的解释。任务描述任务2：估计所选定国家中，从2006年到2050年每年对抗艾滋病所需的国际支援的水平，利用

这些财政资源和任务1中建立的模型来预测在所选定的国家中，从2006年到2050年，在下面三种情况下艾滋病感染者数量的变化率。（1）实施抗逆转录酶(ARV)药物治疗（2）注射抗艾滋病毒疫苗（3）实施抗逆转录酶药物治疗和注射疫苗任务描述任务3：重新阐述任务2中建立的3个模型，把抗药性的产生考虑在内。任务4：写一份白皮书给联合国，在以下三个方面提出建议（1）在实施抗逆转录酶药物治疗和注射抗艾滋病毒疫苗两种方案之间如何合理分配已有资源；（2）跟其他国际事务相比较，抵抗艾滋病应该有怎样的优先级别；（3）如何协调为抵抗艾滋病的国际捐助。答案简介通过对给定的资料和收集到的资料的分析，以下国家被选出来作为分析对象：Zambia

、the

U.S.、Spain

、Australia

、Thailand

、Brazil

。其中对美国和赞比亚做了详细的分析。重点讲述建立模型，未来50年中，预测在没有任何干预措施的情况下美国艾滋病感染者的数量变化。并对模型及模型假设作详细的解释。问题分析预测在数学上的几类方法：第一类：分形、灰度、马尔科夫、时间序列，适用于短期预测，对历史数据量的要求比较大。第二类：根据已有大量数据用toolbox工具箱画图通过对数据的图像走势分析进行预测，适用于长期预测，对历史数据量的要求比较大。第三类：微分方程法适用于短期预测和长期预测，且对历史数据量要求不高，既可定性又

可定量分析问题，但是对模型准确度要

求高，稍有误差将导致预测结果不准确。模型假设(I)模型假设的基本要求：要求一：恰如其分（不能与常识公理现有成熟理论相违背）；要求二：要自圆其说（每个模型都有不足与缺点需要大胆假设且要在合理假设下严密论证自己结论使自己结论合理化）；要求三：假设要明确，切不可模棱两可让评委有歧义。模型假设(II)本题的模型假设：1、艾滋病人不可能被治愈；2、忽略艾滋病的具体分类；3、艾滋病人丧失大部分常人所具有的能力，如：性能力，所以我们假设他们不能传播艾滋病；4、只考虑三种传播艾滋病的方式：性交传播，毒品注射传播，母婴传播。忽略其他传播方式；模型假设(III)5、我们不考虑吸毒者戒毒的情况，以简化艾滋病传播过程的复杂度；6、吸毒传播的渠道只能是从有吸毒习惯的易感人群中直接转变到有吸毒习惯的hiv携带者；7、不考虑该国的迁入和迁出人口，因为这些人口相对于国家的总人口是很小的，以便简化模型。符号说明(I)符号说明的基本要求：确保符号完整无遗漏；定义准确无误；格式优美。写作者可参考往年outstanding文章中符号说明部分的格式。符号说明(II)符号 定义SS1SS1S2HH1H2NAbirthPinfection艾滋病易感人群的数量；艾滋病易感且不吸毒人群的数量；艾滋病易感且吸毒人群的数量；

艾滋病携带者数量;携带艾滋病且不吸毒人群的数量；携带艾滋病且吸毒人群的数量；该国人口数量；艾滋病患者的数量；该国人口的出生率；艾滋病携带者占总人口的比例；

每人每次性交感染艾滋病的概率；从S1到S2通过毒品注射的转化率；符号说明(III)符号 定义S单位时间内一个人通过吸毒感染艾滋病的概率；S中的人口的死亡率；

H中的人口的死亡率；

A中人口的自然死亡率；A中艾滋病造成的死亡率；一名艾滋病携带者在单位时间内与S人群中的人发生性交的次数，一般与总人口N有关。

H中人口占总人的比例；S中人口占总人的比例；

H到A的转化率；该国家单位时间内的人口增量；S

2H

2dSdHdA

AC(N)

Hv模型分析(I)模型分析(II)的接触率称为有效接触率，即：CN

。它表示一个hiv病毒携带者传染他人hiv病毒的能力，反映了

hiv病毒携带者的活动能力、环境条件以及hiv病毒的毒力等因素。对于上图中各种传播方式的定量分析：1、艾滋病通过性交的传播：假设单位时间内一个hiv携带者与其他成员的性接触次数称之为性接触率，它通常依赖于环境中总成员数N，记作CN

。如果被接触者为易感者，就有可能被传染。假设每次性接触传染的概率为

，我们把赋有传染概率模型分析(III)但是，只有当hiv携带者与总成员中的易感者发生性接触时才会使病毒发生传染，与总成员中的其他成员接触并不会发生病毒的传染（比如其他的hiv携带者），易感者在总成员中所占的比例为S/N

。因此，每一个患者对易感者的平均有效接触率应为，它就是每一个hiv携带者平均对易感者的传播率，简称为传染率。假设hiv携带者的总数量为，从而在单位时间内被所有患者传染

的新成员数为：N

CN

SN

CN

S

H模型分析(IV)2、艾滋病通过毒品注射的传播：用

S

2

I

2

表示在单位时间内S2类成员与H2

类成员之间的转化率，则单位时间内从S2类转化到H2类的总数为：2NS

2

I

2

H

S2无吸毒习惯的易感人群可以间接向有吸毒习惯的hiv携带者转化，因为无吸毒习惯的易感人群可以先变为有吸毒习惯易感人群再变为有吸毒习惯的hiv携带者，用

表示从S1类转变到S2类的转化率则单位时间内从S1类转变到S2类的总数为:S1

模型分析(V)3、艾滋病通过母婴的传播：我们知道如果一位母亲是hiv携带者那么她的孩子将有百分之30的概率在出生时已经成为hiv携带者[China

HIV/AIDS

informationnetwork2006]，用Pinfection表示艾滋病携带者占总人口的比例，则每年hiv携带者自己繁殖出的携带者数量为：birth

N

Pinfection模型建立

dtdA

vH

d

d

H

vHN

dt

vH

d

H

dtdH

dt

dtAAH

Sbirthbirth

AH

22

N

H

S

H

222dH2H

111

Ninfection

12

N

H

S

S1

dS

S2

SdS21

N

H

S1

S

1infectiondS1

CN

S

1

S

1

H1

Np

30%

CN

S

CN

S

1

H1

H

30%

S

d

S

CN

S

1

H

N1

pS2

H2

2

N

2模型求解(I)模型结果大多用图来描述，一幅好图胜过千言万语。图的要求：自明。举例1：fig*

Proportions

of

population

of

each

age

group

of

elephants.模型求解(II)0102030405060604020080100Population

ofeach

age

set70

ageage

0-48age

49-70exponential

fit

1(line

1)exponential

fit

2(line

2)举例2：Figure

*.

A

exponential

fit

of

the

elephant

population

of

each

age

set.模型求解(III)求解微分方程通常的方法：对于相对简单的方程，我们通常使用解析法；对于相对复杂的方程，通常使用数值法。模型求解(IV)本题的方程组比较复杂，我们使用数值法求解。求解结果如下：Figure

5

Population

trends

in

each

group

vs

time

in

U.S.合理性分析(I)对自己的结果自圆其说重中之重！技巧：用已有的比较成熟的结论来佐证自己的结论。本问题的合理性分析如下：合理性分析(II)在传染病生物学中，人们关心的已感人群和易感人群的变化，在艾滋病传染模型中，我们关心的是HIV易感人群和

HIV携带者数量的变化趋势。通过研究我们发现，HIV携带者占总人口的比例随着时间的变化最后趋于稳定，如下图：Figure

9

The

proportion

of

HIVcarriers

to

the

total

population

of

the

U.S.合理性分析(III)对于HIV携带者来说，自然环境对它的承载能力由很多因素决定，比如：易感人群的数量，总人口的数量，出生率，死亡率等，其中易感人群的数量是主要的决定因素．由于HIV携带者是由易感者转化来的，所以HIV携带者数量的增长会抑制易感人群的增长。从图9可以看出，美国hiv携带者的数量占人群总数的比例

随时间的变化分为两个阶段：增长期和稳定期．在增长期中，

该比例随时间以罗杰斯迪曲线的形式增加，最后达到一个峰值．这是因为在增长期的前段，环境承受能力大于HIV携带者的数量，所以ＨＩＶ携带者数量以指数增长，而在增长其后段HIV携带者的数量越来越接近环境的承载能力，所以其增长速率减慢，以至为０．在稳定期，该比例随时间以罗杰斯迪曲线的形式减少，最后趋近一个稳定值．合理性分析(IV)这是因为种群数量超过了环境的承载能力．但是为什么当种群数量达到环境承载能力时，它不立即停止增长以至于超过了环境的承载能力呢？为了对这个问题作出解释，我们引入人口惯性的概念．所谓人口惯性就是人口抵抗自身变化的趋势。正是由于人口惯性的存在，当群数量达到环境承载能力时，种群数量增长不会立即停止，而是在一个稳定值周围以罗杰斯迪曲线的速率来回摆动，正如物理学中波的传播．图示如下：1000000.20.4time(year)proportions

of

HIV

carriers

to

total

population150020000.50182000

10000.50190.50190.6

0.502合理性分析(V)0.8

0.5021400

1600

1800

20000.50190.50190.50190.50190.50190.50191800

1850

1900

19500.50190.50190.50190.50192000

1990

1992

1994

1996

1998

20000.50190.50190.50190.5019Figure

10The

curves

of

oscillating

convergence

in

the

stable

phas。合理性分析(VI)由于这种摆动的幅度越来越小，所以在稳定期的后期，它可以被忽略．这也就是稳定期存在的原因．在自然界中实事也确实如此，就以罗杰斯地曲线为例当种群数量一开始无论是增长还是减少的变化率在一开始时却都是很慢的，随后才慢慢增大的，这就好比用一个外力在拉一个静止的物体，物体的速度也是由慢到快增长的，并且物体的运动方向是与外力同方向的。那么在种群变化中是谁扮演了外力的角色，我们队伍经过讨论认为应当是环境能够承载此物种数量的上限扮演了这种外力，当环境能够承载此物种数量的上限大于物种现有的数量时物种的数量会增大，环境能够承载此物种数量的上限小于物种现有的数量时物种的数量会减小。但是按照达尔文的进化理论物种应当都是希望能够壮大自己的数量好保存自己在自然界中竞争的实力，合理性分析(VII)那么为什么物种在有机会增大其数量的时候却不愿意是自身的数量增大呢？这一点似乎与物种数量具有人口惯性使矛盾的，由于时间有限在加上这方面相关的解释也难以查到，所以很

遗憾论文中不能给出对于上述问题的回答。任务2的模型图示natural

deathnaturaldeathnatural

deathnatural

deathS1HIV/AIDS-prone

peoplewhodonottakedrugsS2HIV/AIDS-prone

peopleH1HIV

carrierswhodonottakedrugsH

2HIV