复变函数与积分变换2011 20122第七章1讲

第二部分积分变换傅立叶积分变换（傅氏变换）拉普拉斯积分变换（拉氏变换）简介1、何为积分变换：一般地，称ba记为k(t,w)f

(t

)dt

F

(w)为f

(t

)的积分变换所谓积分变换，实际上建立了从一类函数f(t)到另一类函数F(w)的一种映射。变换（映射）前的f(t)称为原象函数变换（映射）后的F(w)称为象函数K(t,w)称为变换的核2、积分变换的产生及作用：数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解！原问题原问题的解直接求解困难变换较简单问题变换后问题的解求解逆变换如：初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算。再如：高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，其解决问题的思路都属于这种情况。基于这种思想，为解决某些问题的需要，便产生了积分变换。其主要作用体现在：数学上：求解常微分、偏微分方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具3、积分变换的任务：建立正变换T和逆变换T-1的表达式（定义）研究变换T和T-1的性质进行基本运算T[f(t)],T-1[F(w)]4)

应用积分变换4、常见积分变换：

jwtf

(t

)e

dt0

stf

(t

)e

dt拉普拉斯变换

f

(t

)

dt希尔伯特变换f

(t

)dt

t

s(z

t

)a欧拉变换傅立叶变换c本课程讨论前两种：拉普拉斯变换傅立叶变换第7章 傅立叶变换傅立叶变换是由傅立叶积分公式引出的。§1傅立叶级数与傅立叶积分一、傅立叶级数的复指数形式：设周期为T的函数fT(t)满足狄里克莱条件，即在一个周期之内满足：

1）连续或只有有限个第一类间断点;2）有有限个极值点.则在连续点处可展成傅立叶级数：2n1Tf

(t

)

a0

(an

cos

nt

bn

sin

nt

)（间断点收敛情况如何？）其中：

2

,2n

0,1,2,TTT2bn

f

T

(t

)

sin

ntdt

,,2ieint2

e

inte

in

t

e

in

t由欧拉公式：

cos

n

t

sin

nt

代入fT(t)表达式中，得2T2nT2T

TT2f

(t)

cos

ntdta

022Ta(

ann1

bni

eint

bni

eint

)f

(t)

an

00222na,

cc

n

an

bni

,2若记：c

an

bni

,

则1T2nTT2T

T2T1f

(t

)e

t

dt

inc

f

(t

)[cos

nt

i

sin

nt

]dtT1T2T2TTf

(t

)eint

dt

nc

02T21T2TTf

(t)dtTc

至此我们得到了傅立叶展式的指数表达式：Tnc

eintnf

(t)

21T2nTf

(t

)eT

inc

t

dt,

n

0,

1,

2,T

2

(频率）将它们合写成一个式子，即T若令n

n，则nTnc

ei

tf

(t)

n二、傅立叶积分公式：任何一个非周期函数f(t),都可看成是有某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。于是有nTnc

ei

tT

T

f

(t)

lim

f

(t)

limn21nT2TTintf

(

)ed

]ei

T

n

lim

[nT注意到

n

n

2

,nT

2

2

2n

n11

1

1

(

)

1

就有当T

+时，有n

0.所以前面式子可以写为2nT

2T

Tnf

(

)e2

i

n

d

0f

(t

)

limei

n

t

n

1

n

0

n

lim

T

(

n

)

n记为根据定积分的定义，可得[)e

d

]eitf

(

d

1

2

if

(t)

()dT

n

n2

i

intf

(

)e

n

d

e

(

)

(

)

1

显然，当n

0，即T

时，这个公式称为函数f(t)的傅立叶积分公式（简称傅氏积分公式）。傅立叶积分定理：若f

(t

)定义在(,)上，且满足：在任一有限区间上满足狄里克莱条件在（-∞，+∞）上绝对可积，即f

(t

)

dt

则有：[itf

(

)ed

]e

d

1

2

if

(t)

注：同傅立叶级数展开一样，上面公式也仅在f(t)的连续点处成立！间断点处，左端应换为f(t)的左、右极限的平均值§2

傅立叶积分变换1、傅立叶变换的概念上一节介绍了：当f(t)满足一定条件时，在f(t)的连续点处有：[

1

2f

(t

)

f

(

)e

i

d

]eit

d.(2)(1)

1

2F

(

)e

d.f

(t

)

dt

,f

(t

)eF

(

)

i

t

i

t则从上式出发，设的傅立叶变换f

(t

)e

dt为f

(t

)i

t称(1)式，即F

()简称傅氏变换,记为F

()F

[f

(t

)];为傅立叶逆变换

i

tF

()e

d

1

2称(2)式，即f

(t

)简称傅氏逆变换,记为f

(t

)

F1[F

()].(1)式和(2)式，定义了一个变换对F

()和f

(t

).也称F

()为f

(t

)的像函数；f

(t

)为F

()的原像函数.还可以将f

(t)和F(w)用箭头连接:f

(t)

F(w)

.的傅氏变换及e

,

t

0

0,

t

0例1

求函数

f

(t

)

tt

o其积分表达式,其中

0.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.f(t)解:根据定义,有

0e

e

dtf

(t

)e

dt

t

i

ti

tF

()

这就是指数衰减函数的傅氏变换.

0dte(

i

)t

2

2

i

.1

i

i

t

222

1

i

ei

t

dF

()e

d

1

2f

(t

)

根据积分表达式的定义,有注意到ei

t

cost

i

sint.2

2

f

(t

)

1

i

(cos

t

i

sin

t

)d

20

2

1

cos

t

sin

t

d

.

20

t0,

t

0,

/

2,

t

0,e

,

t

0.d

2

2

cost

sint因此2、傅立叶变换的物理意义周期函数的频谱：考虑以T为周期的非正弦函数f(t)，其傅氏展式为它的n次谐波(

n

n

)为an

cosnt

bn

sin

nt

An

sin(nt

n

)其振幅为2

2nAn

an

b在复指数形式中，n次谐波为2n

nnc

eintn1

nf

(t)

a0t

b

sin

nt)

(a

cos

n22

2n

nn

n

na

2n

n显然，|

c

||

c

|=

1

b

1

A

，即A

2

|

c

|我们通常称An为f(t)的振幅频谱（简称为频谱），所谓频谱图，是指频率和振幅的关系图。由于频率不是连续的，所以称之为离散频谱。频谱图能够清楚地表明周期函数包含了那些频率分量及各分量所占的比重（振幅大小）。22nnc

na

ibn

,

an

ibn其中,c

nc

einteint

,

n

c,

nc

ein

tn

1

2F

()e

d,fT

(t

)

f

(t)

i

t12T2Tdt,f

(t

)eTc

Tnint

f

(t

)e

dt

.i

tF

()

非周期函数的频谱如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式由于积分本质上以及cn和F

(

)的表达式也是一种求和，所以F

()相当于c

的作用。只不过n这里频率是连续变化的而已。由此引出以下术语：f

(t)

e

dtf

(t)

sin

tdt,i

tF

()

f

(t)

costdt

i在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f

(t)的振幅频谱(亦简称为谱).由于是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.显然，振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数,即|

F

(

)

||

F

(

)

|

.这是因为,2

2

f

(t

)

sin