第三讲数据的属性与处理方法

第一讲矩阵的基本运算第二讲向量的距离与夹角余弦第三讲数据的属性与处理方法第三讲数据的属性与处理方法安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics一、效益型、本钱型、固定型、区间型数据处理方法二、权向量的建立1.数据的处理是第i个方案关于m项评价指标的指标值向量

设有n个决策方案的集合：A=其中

即表示第i个方案关于第j项评价因素的指标值

通常评价指标分为效益型、本钱型、固定型和区间型指标.统一评价指标的属性是指:通过无量纲化，将矩阵的各元素均转化为效益型或本钱型指标.将指标矩阵A的各元素转化为效益型指标,得到效益型指标矩阵或

〔1〕效益型矩阵记分别表示效益型、成本型和固定型指标

可以有以下两种公式.

其中为第项指标的适度数值.其中为第j项指标的适度数值.将指标矩阵A的各元素转化为本钱型指标,得到本钱型指标矩阵或〔2〕本钱型矩阵记分别表示效益型、成本型和固定型指标

也有以下两种公式.

例1.下表为我国五个湖泊的实测数据,请将评价指标的元素转化为本钱型指标指标湖泊

总磷（mg/L）耗氧量(mg/L)透明度(m)总氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武汉东湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23根据湖泊水质评价标准,总磷、耗氧量、总氮都是本钱型指标，透明度是效益型指标。首先输入数据矩阵根据公式〔3〕建立无量纲化实测数据矩阵A=(aij)〔i=1,2,3,4,5；j=1，2，3，4〕X=[130,10.30,0.35,2.76;105,10.70,0.40,2.0;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.50,0.23];%输入原始数据A1=X(:,1)./130;A2=X(:,2)./10.7;A3=0.25./X(:,3);A4=X(:,4)./2.76;A=[A1,A2,A3,A4];%建立无量纲化的数据矩阵此题的红数据是目测得到，如果遇到数据较多，可以利用MAX〔X〕〔计算各列向量的最大值〕或MIN〔X〕得到。请同学们练习将评价指标的元素转化为效益型指标命令为：①变异系数法〔对评价标准矩阵Y建立权向量〕NI最后计算变异系数然后将其归一化得到权向量w=t/sum(t)首先，根据评价标准矩阵Y〔假设Y是mⅩn阶矩阵，行向量为评价指标向量〕，通过统一指标的属性，建立无量纲化评价标准矩阵B。1〕建立客观性权向量的方法2.计算评价指标的综合评价值其次，计算矩阵B的各行向量〔评价指标向量〕的均值mean(B)与标准差std(B)②夹角余弦法

首先根据指标矩阵A，通过取矩阵A各列指标的最大值和最小值，分别得到理想最正确和最劣方案〔指标为效益型取最大值，本钱型取最小值得最正确方案〕为：u和v。其次，根据公式分别得到u和v的相对偏差矩阵R，T第三，将R，T的对应列向量的夹角余弦作为初始权重，归一化后得到客观性权向量W矩阵C如果是效益型矩阵，综合评价向量H对应分量越大，该指标的排名越靠前。2〕根据权向量计算综合评价值根据指标矩阵A，通过统一指标的属性，建立无量纲化数据矩阵C。将矩阵C与权向量W乘积，得综合评价向量H矩阵C如果是本钱型矩阵，综合评价向量H对应分量越小，该指标的排名越靠前。

例2.假设我国湖泊水质评价标准如下表评价参数极贫营养贫营养中营养富营养极富营养总磷（mg/L）<1423110>660耗氧量(mg/L)<0.090.361.807.10>27.1透明度(m)>37122.40.55<0.17总氮<0.020.060.311.2>4.6根据例1,判断五个湖泊水质污染程度.输入数据矩阵和评价标准矩阵将评价标准矩阵Y统一属性,得无量纲化等级标准矩阵B程序如下:计算矩阵B的各行向量的变异系数.将变异系数归一化,得权向量矩阵W无量纲化数据矩阵与权向量矩阵相乘积得综合评价向量H=B*WX=[130,10.30,0.35,2.76;105,10.70,0.40,2.0;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.50,0.23];Y=[1,4,23,110,660;0.09,0.36,1.80,7.10,27.1;37,12,2.4,0.55,0.17;0.02,0.06,0.31,1.20,4.6];%输入原始数据注意:归一化和单位化含义不同B1=Y(1,:)./660;B2=Y(2,:)./27.1;B3=0.17./Y(3,:);B4=Y(4,:)./4.6;B=[B1;B2;B3;B4];A1=X(:,1)./130;A2=X(:,2)./10.7;A3=0.25./X(:,3);A4=X(:,4)./2.76;A=[A1,A2,A3,A4];%建立无量纲化的数据矩阵与无量纲等级矩阵(均为本钱型矩阵)b=B';t=std(b)./mean(b);%求变异系数w=t/sum(t)%归一变异系数,建立权向量H=A*w'%计算综合评价向量注意:w是指标的行向量根据权重的大小，说明总磷、耗氧量、透明度和总氮四种指标对湖泊水质富营养化所起作用.(各指标的作用很接近，比较而言总磷所起作用最大，耗氧量、总氮次之、透明度的作用最小.)结果为w=0.27670.24440.23470.2442H=0.92380.79150.10700.58930.4117请同学们用夹角余弦法计算权重向量，并计算综合评价得分。根据得分说明五个湖泊水质富营养化严重程度依次为:杭州西湖、武汉东湖、巢湖、滇池、青海湖。程序如下:X=[130,10.30,0.35,2.76;105,10.70,0.40,2.0;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.50,0.23];%输入原始数据U=[min(X(:,1:2)),max(X(:,3)),min(X(:,4))]V=[max(X(:,1:2)),min(X(:,3)),max(X(:,4))]

%理想水质和最劣水质指标R=abs(X-ones(5,1)*U)./(ones(5,1)*range(X))T=abs(X-ones(5,1)*V)./(ones(5,1)*range(X))

%相对偏差矩阵r=normc(R);%R矩阵列向量单位化t=normc(T);%T矩阵列向量单位化w=sum((r.*t))/sum(sum(r.*t))%求R,T的夹角余弦A1=X(:,1)./130;A2=X(:,2)./10.7;A3=0.25./X(:,3);A4=X(:,4)./2.76;A=[A1,A2,A3,A4];%建立无量纲化的数据矩阵(为本钱型矩阵)H=A*w'%计算综合评价向量结果为w=0.20620.30700.09910.3878H=0.96020.81640.10830.56090.4042和变异系数法的结果比较:w=0.27670.24440.23470.2442H=0.92380.79150.10700.58930.4117根据权重w=〔0.20620.30700.09910.3878〕的大小，说明各指标的作用很接近，比较而言总氮所起作用最大，耗氧量次之、总磷第三、透明度的作用最小从上面的计算可知，尽管变异系数法与夹角余弦法计算的权重不同，但是对各湖泊水质的富营养化的评价结果是一样的，说明给出的方法具有稳定性。根据得分H=0.96020.81640.10830.56090.4042说明五个湖泊水质富营养化严重程度依次为:杭州西湖、武汉东湖、巢湖、滇池、青海湖。如果