二次根式的定义课件

1知识点二次根式的定义思考用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S的正

方形的边长为__________.(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则

它的宽为________m.

知1－导知1－导(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t

(单

位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关

系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______.

上面问题的结果分别是

，它们表示一些正数的算术平方根.

我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式(quadraticradical)，“”称为二次根号.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式；其中“”称为

二次根号，a称为被开方数(式)．要点精析：(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，

必须含有二次根号“”；“”的根指数为2，即

，“2”

一般省略不写．(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，

但前提是a必须大于或等于0.(3)在具体问题中，已知二次根式

，就意味着给出了a≥0这

一条件．(4)形如b(a≥0)的式子也是二次根式；b与

是相乘的关系，

当b为带分数时，要写成假分数的形式．知1－讲导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具

备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．解：(1)∵的根指数是3，∴不是二次根式．(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．(3)当－5a≥0，即a≤0时，

是二次根式；

当a＞0时，－5a＜0，则

不是二次根式．∴不一定是二次根式．(4)＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为

二次根式．例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．(1)；(2)；(3)；(4)＋1(a≥0);(5)；(6)；(7)；(8)知1－讲知1－讲(5)当x＝－3时，

无意义，∴也无意义；

当x≠－3时，

＞0，∴是二次根式．∴不一定是二次根式．(6)当a＝4时，a－4＝0，

是二次根式；

当a≠4时，－(a－4)2＜0，

不是二次根式．∴不一定是二次根式．(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．(8)∵|x|≥0，∴是二次根式．总

结知1－讲二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．1

下列各式中，一定是二次根式的是（

）A.B.

C.

D.2下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.3下列式子：

中，一定是二次根式的有(

)A．2个B．3个C．4个D．5个知1－练2知识点二次根式有意义的条件知2－讲(1)式子

只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是

为二次根式的前提条件.式子

就不是二次根

式，但式子

却又是二次根式．

（a≥0）实际上就是非负数a的算术平方根，既可

表示开方运算,也可表示运算的结果.同时

（a≥0）

也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的

双重非负性.总

结知2－讲1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反

之也成立，即：

有意义⇔a≥0.2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之

也成立，即：

无意义⇔a＜0.知2－讲例2当x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？解：由x-2≥0，得x≥2.

当x≥2时，

在实数范围内有意义.总

结知2－讲

求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数幂，则必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则需满足分母不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组．第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围．1

当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有

意义？(1)(2)(3)(4)知2－练知2－练2

(中考·巴中)要使式子

有意义，则m的取值

范围是(

)A．m>－1B．m≥－1C．m>－1且m≠1D．m≥－1且m≠1知2－练3(2015·滨州)如果式子

有意义，那么x的取值

范围在数轴上表示正确的是(

)知3－讲3知识点二次根式的“双重”非负性（a≥0，

≥0）

二次根式的“双重”非负性（a≥0，

≥0）1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥

0时，

表示a的算术平方根，因此

≥0.

所以“二次根式”包含有两个“非负”即：①被开

方数非负：a≥0；②二次根式的值非负：

≥0.2.若+=0,则

a=0,b=0.由于二次根式

和

都是

非负数，所以它们的值都为0.例3若

，则x-y

的值为( )A．1B．－1 C．7 D．－7知3－讲分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入

代数式进行计算即可得解．因为+(y+3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=0，

，所以y+3=0，x+y-1=0，

解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．C总

结知3－讲两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．1

若=0，求a2012+b2012的值．2已知实数x，y满足|x－4|＋

＝0，则以x，y的