第四章向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性1.线性表示2.线性相关性3.向量组的秩，最大无关组4.线性方程组的解的结构可到以下公共邮箱下载课件：caucla2013@163.com密码：2013la三、线性组合与线性表示

定义:给定向量组A:1,2,···,m,对于任何一组实数k1,k2,···,km,向量k11+k22+···+kmm称为向量组A:1,2,···,m一个线性组合,k1,k2,···,km称为这个线性组合的系数.

给定向量组A:1,2,···,m和向量b,如果存在一组数1,2,···,m,使b=11+22+···+mm则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.

定理1:向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,2,···,m)与B=(1,2,···,m,b)的秩相等.

定义:设有两向量组A:1,2,···,m与B:1,2,···,s.若B组中的每一个向量都能由A组线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组B与向量组A可以相互线性表示,则称这两个向量组等价.

定理2:向量组B:1,

2,

···,

s能由向量组A:

1,2,···,

m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,

2,

···,

m)的秩与矩阵(A|B)=(1,2,

···,

m,

1,

···,

s)的秩相等,即R(A)=R(A|B).

推论:

向量组A与向量组B等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A|B).

定理3:若向量组B能由向量组A线性表示,则R(B)R(A).(必要条件)四、线性相关性

定义:

给定向量组A:1,2,···,m,如果存在不全为零的数k1,k2,···,km,使k11+k22+···+kmm=O则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关.

定理4:向量组1,2,···,m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1,2,···,m)的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.

定理5:(1)若向量组A:1,2,···,m线性相关,则向量组B:1,2,···,m,m+1也线性相关;反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.

结论:

向量组1,2,···,m(当m2时)线性相关的充分必要条件是1,2,···,m中至少有一个向量可由其余m–1个向量线性表示.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。

(3)

设向量组A:1,2,···,m线性无关,而向量组B:1,2,···,m,线性相关,则向量必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.即j添上一个分量后得向量j.若向量组A:1,2,···,m线性无关,则向量组B:1,2,···,m也线性无关;反言之,若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.(4)设(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关

定义:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量A0:1,2,···,r,满足

(1)向量组A0:1,2,···,r,线性无关;(2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关.那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组).

最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩.五、向量组的秩向量组秩的计算方法：写成矩阵形式，求矩阵的秩！

定理6:

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.求向量组的最大无关组：1.变行阶梯形矩阵，找最大无关组，2.变行最简形矩阵，用最大无关组表示其他向量。十、齐次线性方程组向量方程;解向量.解向量的性质

(1)

若x

=

1,x

=

2为Ax

=

0的解,则x

=1+

2也是Ax

=

0的解.

(2)

若x

=

1为Ax

=

0的解,k为数,则x

=

k1也是Ax

=

0的解.

由以上两个性质可知,方程组的全体解向量所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的,因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线性方程组Ax

=

0的解空间.

定义:如果向量组1,2,···,t为齐次线性方程组Ax

=

0的解空间的一组基,则向量组1,2,···,t称为齐次线性方程组Ax

=

0的基础解系.方程组Ax

=0的基础解系是不唯一的.

定理:

设mn矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax

=

0

解集S的秩RS=

n–r

.

当R(A)=n时,方程组Ax

=0只有零解,故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间).

当R(A)=r<n时,方程组Ax=0必有含n–r个向量的基础解系1,

2,···,n-r.此时的任意解可表示为:x

=

k11+k22+···+kn-rn-r其中k1,k2,···,kn-r为任意常数.求齐次线性方程组的基础解系1.用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形:2.将第r+1,r+2,···,n列的前r个分量反号,得解1,2,···,n-r的前r个分量:

3.将其余n–r个分量依次组成n–r阶单位矩阵,于是得齐次线性方程组的一个基础解系:十一、非齐次线性方程组

(1)

设x=1及x=2都是方程组Ax=b的解,则x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解.

(2)

设x=是方程组Ax=b的解,x=是方程组Ax=0

的解,则x=+仍为方程组Ax=b的解.解向量的性质求非齐次线性方程组的特解用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形:齐次线性方程组Ax=0的基础解系1,2,···,n-r和非齐次线性方程组Ax=b的一个特解:*=(d1,d2,···,dr,0,···,0)T.非齐次线性方程组Ax=b的通解为:x

=

k11+k22+···+kn-rn-r+*.

如无特殊要求，建议用第三章的方法求解线性方程组！一、向量组线性相关性的判定方法1.从定义出发令k11+k22+···+kmm=0,即

若只有零解,则1,2,···,m线性无关;否则,1,2,···,m线性相关.方法2.利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系

给出一组n维向量1,2,···,m,就得到一个相应的矩阵A=(1,2,···,m),求R(A),则若R(A)=m,则1,2,···,m线性无关;

若R(A)<m,则1,2,···,m线性相关.利用相关定理(秩的相关性质)考试类型题九、(12分)设且向量组线性无关，证明向量组线性无关。2009期末考题(II)课后题10.2008期末考题(II)八、(6分)已知向量组1,2,,s(s2)线性无关,向量组1

=1

+2,2

=2

+3,,s=s

+1,试讨论1,2,,s的线性相关性.当s为奇数时,向量组1,2,,s线性无关.当s为偶数时,向量组1,2,,s线性相关.

提示：可用方法1和方法2证明！提示：可用方法2证明！D2011期选考题课后题9设证明向量组线性相关.2．设A=(aij)mn，若m<n,则（）(A)A的行向量组线性相关;(B)A的列向量组线性相关;(C)A的行向量组线性无关;(D)A的列向量组线性无关.2008期末考题(I)1．设1=(t,–1,–1)T,2=(–1,t,–1)T,3=(–1,–1,t)T,t是()时,1,2,3线性相关.2008期选考题2或-1B二、求向量组的秩和最大无关组及其表示求一个向量组的秩,转化为求矩阵的秩，通过做行初等变换变为行阶梯形矩阵，求出最大线性无关组；进一步变为行最简形矩阵可以求出其他向量的最大无关组表示。

2011年期末考试题四、（8分)设向量（1）求向量组的秩；（2）试问：该向量组是线性相关，还是线性无关？（3）求向量组的一个极大无关组。2009期末考题(II)2011年选考题2012年选考题2012年期末考试题2、设向量组则该向量组的最大线性无关组为（）1,2,3;B.1,2,4;C.1,2,5;D.1,2,4,5;B2010选考题B3.设向量组1=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14)4=(1,-2,2,0),5=(2,1,5,10),则该向量组的最大线性无关组为（）1,2,3;B.1,2,4;C.1,2,5;D.1,2,4,5;2010期末考题(I)相同的2.已知向量组所生成的向量空间的维数是2，则k=_______2010期末考题(II)-13.一个向量组可能有多个极大无关组，它们所含向量的个数是

2009期末考题2、已知向量组1=(1,2,-1,1),2=(2,0,t,0),3=(0,-4,5,-2)的秩为2,则t=.32010期末考题(I)-32、已知向量组1=(1,4,3)T,2=(2,t,-1)T,3=(-2,3,1)T的秩为2,则t=.2010选考(I)四、求基础解系和非齐次线性方程组通解2010选考题2010期末考题(I)提示：利用非齐次线性方程组解的性质课后题302008年期末考题(I)七、(8分)设n阶矩阵A的行列式|A|=0,且有某一元素akl代数余子式Akl0,证明齐次线性方程组Ax=0的通解为

x=c(Ak1,Ak2,,Akl,,

Akn)T。证明：由Akl0

及|A|=0得r(A)

=n-1,齐次线性方程组Ax=0的基础解