11.2.2 三角形的外角

11.2.2三角形的外角学习目标1.理解并掌握三角形的外角的概念．2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（重点）1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,则∠C=

.2.在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC是

三角形3.什么是三角形的内角？其和等于多少？48°直角三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180°.复习引入三角形的外角的概念定义:如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.ABCD(∠ACD是△ABC的一个外角画一画：画出△ABC的所有外角，请指出来有哪几个.△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系和数量关系）（（（（（（AB123456AB有6个，它们是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6.∠1和∠4,是对顶角，相等；∠2和∠5,是对顶角，相等；∠3和∠6,是对顶角，相等.三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角。通常每个顶点处取一个外角。C1.如图,下列各角是△ABC的外角的是()A.∠1B.∠2C.∠3D.∠4C练一练2.如图,以∠AOD为外角的三角形是_______________．△AOB和△COD练一练填一填：(1)如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,则∠ACD=

.(2)任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有（1）中这种关系呢？ABCD(((130°∠ACD=∠A+∠B.三角形内角和定理的推论ABCD(((三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠B.

注意三角形外角与内角的关系：

（1）位置关系：相邻和不相邻.

（2）数量关系：外角与相邻内角互补，补充:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.练一练

说出下列图形中∠1和∠2的度数：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°30°(2)∠1=40°,∠2=140°∠1=20°,∠2=130°1.如图，在△ABC中,∠B＝40°,∠C＝30°,

延长BA至点D,则∠CAD的大小为()A.110°B.80°C.70°D.60°C练一练2.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1＝30°,∠2＝50°,则∠3的度数为_______．20°练一练3.如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是()A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1B练一练4.如图,在△ABC中,∠B＝∠C,AE平分△ABC的外角∠CAD.

求证：AE∥BC.练一练三角形的外角和

如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你还有其他解法吗？方法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213三角形的三个外角和等于360°.ABCEFD((((((213∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.当堂练习1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）1.如果一个三角形的两个外角的和等于270°,则这个三角形一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形2.已知三角形三个外角的度数比为2∶3∶4,则它的最大内角的度数为__________．B100°练一练例1

(一题多解）如图，计算∠BDC.ABCD(((51°20°30°ABDEACDE思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.ABCD(((51°20°30°解：（解法一）连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4ABCD(((51°20°30°E

)1（解法二）延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）)2ABCD(((132(重要发现∠BDC=∠1+∠2+∠3.例2.下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题.根据下列线索推理出这个三角形有关的角.线索1：在△ABC中，∠B=∠C；线索2：它的一个外角是100º；问题：它的各个内角各是多少度？BCA50°，50°，80°或80°，80°，20°.答：它的各个内角分别为100°BCA例3.（1）如图，∠BDC是________的外角,也是

的外角.(2)请指出∠BDC,∠DEA，∠ECA三者的大小关系.(3)若∠B=45°，∠BAE=36°,∠BCE=20°,试求∠AEC的度数.ABCDE△ADE△ADC∠BDC>∠DEA>∠ECA解：根据三角形外角的性质有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE.所以∠AEC=∠B+BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.例4

.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.在△ABC中：∠B+∠BAC+∠C=180°，∠C=180º-40º-70º=70°.解：因为∠ADC是△ABD的外角.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因为∠B=∠BAD，40°AB70°80°CD123BACPNMDEF

能力提升1.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿.360°2．如图，在△ABC中，沿图中虚线截去∠C，

若