上外附中直升考题组二

上外附中直升考题组二

1、已知y=2x+1，求x=7时的y值。改写：已知线性函数y=2x+1，求当x=7时的函数值y。答案：y=15。2、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，AC=2AD，BC=？改写：已知等腰梯形ABCD，其中AB∥CD，CD=2，AC=2AD，求BC的长度。答案：BC=3。3、已知△ABC中，D为BC的中点，AD=S△FBC：S△ABC=？改写：已知△ABC和△FBC，其中D为△ABC中BC边的中点，求S△FBC与S△ABC的比值。答案：S△FBC：S△ABC=1：4。4、某商品进价500元，标价750元出售，要求利润不低于5%，最多可以打多少折？改写：某商品的进价为500元，标价为750元，要求利润不低于5%，求最大可打的折扣。答案：最多可以打8折。5、已知AB为一条线段，CE=AC，EB、CD交于点F，求tana+cota的值。改写：已知△ABC和点D、E，其中CE=AC，EB、CD交于点F，求tana+cota的值。答案：tana+cota=5/3。6、已知二次函数y=(k+2)x^2-2kx+3k，当k=2时，该函数的图像的顶点在x轴上，求k=2时该函数的零点。改写：已知二次函数y=(k+2)x^2-2kx+3k，当k=2时，该函数的图像的顶点在x轴上，求该函数的零点。答案：k=2时，该函数的零点为(1,0)和(3,0)。7、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为高，AB：CD=4：3，求∠B的度数。改写：已知直角三角形ABC，CD为BC边上的高，且AB：CD=4：3，求∠B的度数。答案：∠B=63°。8、已知直线y=x/3，求该直线与双曲线y=(x>0)的交点坐标。改写：已知直线y=x/3和双曲线y=(x>0)，求它们的交点坐标。答案：交点坐标为(3,1)。9、已知梯形ABCD，其中AB∥CD，BC=CD=7，AD=6，BD⊥AD，求该梯形的面积。改写：已知梯形ABCD，其中AB∥CD，BC=CD=7，AD=6，BD垂直于AD，求该梯形的面积。答案：梯形ABCD的面积为27。11、将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度。改写：将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知△ABC中AB=AC=3，BC=4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度。答案：BF=16/9。12、已知a、b是方程x^2-2x-4=0的两个实数根，求a+8b+6的值。改写：已知方程x^2-2x-4=0有两个实数根a和b，求a+8b+6的值。答案：a+8b+6=14。13、一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴2个女婴的概率是多少？改写：一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，求这3个婴儿中，出现1个男婴2个女婴的概率。答案：概率为3/8。14、在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长度。改写：已知正方形ABCD和点E、G、F，其中E为AB边的中点，AG=1，BF=2，且∠GEF=90°，求GF的长度。答案：GF=√5。15、已知方程组{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2{x=3的解为{x=3，y=4，求方程组{a1x+b1y=c1，{a2x+b2y=c2的解。改写：已知方程组{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2{x=3，y=4的解为{x=3，y=4，求方程组{a1x+b1y=c1，{a2x+b2y=c2的解。答案：解为{x=-2，y=5}。16、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（2，4）。点C是点B关于x轴的对称点，因此C的坐标为（2，-4）。经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=-x^2+10x，点P为抛物线上异于C的点，且△OAP是直角三角形。由于O是抛物线的顶点，因此P在x轴上，设其横坐标为p，则纵坐标为-y(p)^2+10y(p)。由于△OAP是直角三角形，因此OP与AP垂直，即斜率之积为-1，即(10-p)/p=-p/y(p)，解得p=5，y(p)=5。因此，点P的坐标为（5，-25）。若抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点M，需要探究抛物线对称轴上是否存在异于点D的点Q，使△AQD是等腰三角形。由于D是抛物线的顶点，因此其横坐标为5。设点Q的横坐标为q，则其纵坐标为-q^2+10q。由于△AQD是等腰三角形，因此AQ=QD，即QA^2=QD^2，代入坐标得到(q-10)^2+q^4-20q^3+100q^2-200q+100=q^4-20q^3+100q^2-200q+100，化简得到(q-5)^2=0，因此Q的横坐标为5，纵坐标为-20。因此，点Q的坐标为（5，-20）。17、在锐角△ABC中，BD、CE为它的高，交于O，连接DE，则△BOD与△COE相似，△BOE与△COD相似。18、在△ABC中，∠C=9°，∠B=6°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且CD=2，DE=1。由正弦定理得到BC/sinC=AC/sinB，代入角度和公式得到sinA=sin(180°-B-C)=sin(165°)，因此A=165°。由余弦定理得到AD=AC*cosA=2cos15°，BD=AD*cosB=2cos15°cos6°，DE=AD*sinB=2cos15°sin6°，因此AE=AD+DE=2cos15°(1+sin6°)。由勾股定理得到BE^2=AB^2+AE^2=25+4cos^2(15°)(1+sin6°)^2，因此BC=2cos15°cos6°+√(25+4cos^2(15°)(1+sin6°)^2-4cos^2(15°)cos^2(6°))。19、由tan(A+B)=1可得tanA+tanB=1/(1-tanAtanB)。因此，tanA*tanB=1当且仅当tan(A+B)=0，即A+B为180°的整数倍。cotA*cotB=1当且仅当tanAtanB=1，即A+B为45°的整数倍。sin2A+sin2B=1当且仅当cos2A+cos2B=1，即A+B为90°的整数倍。因此，不成立的是选项C。对于函数y=2mx^2+(1-m)x-(1+m)，其顶点坐标为(-1/4m,1+1/4m)，因此当m=-3时，顶点坐标为(3/4,-2)，因此正确的结论为1、2、3。21、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD‖BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°。将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M。由于BC=CD，因此梯形ABCD是等腰梯形，因此AE=CD=BC=5。又因为∠BEC=90°，因此△BEC是直角三角形，由勾股定理得到BE=√(AE^2-AB^2)=4。将△BEC绕C点旋转90°得到△DCF，因此CF=BE=4。由勾股定理得到DF=√(DC^2-CF^2)=√(5^2-4^2)=3。由相似三角形可得DM/CM=EM/CF，代入数值得到DM:MC=1:2。22、不等式组化简为5a+44>33(x+1)+ax，即ax-33x>-11-5a。当a=0时，不等式组无解；当a≠0时，可以将不等式组化为x>(33/a)x-11/a-5，即x>kx+b的形式，其中k=33/a，b=-11/a-5。由于不等式恰有两个整数解，因此k为分数，且b为整数。由于x>kx+b对于所有整数x都成立，因此k>1，即a<33。又由于k为分数，因此a不能取到33，因此取值范围为a<33。23、（1）将方程化简得到6x^2-15x-15=0，解得x=1或x=-5/2。将方程组化为x^2+y^2-xy=61和xy=7的形式，代入得到y^2-xy+7^2/4=61，即y^2-xy+49/4=0，解得y=(x±√(x^2-4*49/4))/2，因此x^2-4*49/4=t^2，其中t为整数，解得x=t/2±35/2，代入xy=7得到y的值。因此方程组的解为(1,7)和(-5/2,-14/5)。（2）将方程组化简得到x^2-3xy+y^2+2x+2y-5=0和2x^2-xy+2y^2-6x-6y+10=0，将第一个方程两边加上4xy得到(x-y)^2+2(x-y)(x+2y)+(x+2y)^2+8x+8y-20=0，令u=x-y，v=x+2y，代入得到u^2+2uv+v^2+8u+8v-20=0。将第二个方程两边加上x^2+y^2得到3x^2+y^2-3xy+2x+2y+10=x^2+xy+y^2+2x^2+2y^2-6x-6y+10，化简得到3x^2-2xy+3y^2-4x-4y=0，即(3x-y)^2+8y^2-12y-4=0，解得y=1/2，或者x=(y±√(16-8y^2))/3，代入得到x的值。因此方程组的解为(1,-2)和(2,1)。24、由正弦定理得到AB=AD/sinA=2/√3，因此AF=AB/2=1/√3。又因为AD=AG=1，因此△AFG是等边三角形，因此∠AFG=60°。由余弦定理得到FG^2=AG^2+AF^2-2AG*AF*cos∠AFG=1+1/3-2/3*cos60°=4/3，因此FG=2/√3。由勾股定理得到EG^2=EF^2+FG^2=1/3+4/3=5/3，因此EG=√(5/3)。由余弦定理得到∠AED=arccos((AD^2+DE^2-AE^2)/(2AD*DE))=arccos((1+5/4-3/4)/(2*1*√(5/4)))=arccos(1/√5)，因此∠BED=∠AED/2=arccos(1/(√5*2))。由正弦定理得到BD=DE/sin∠BED=2√5/(√5-1)。因此ABCD是等腰梯形，由相似三角形可得AN/ND=AM/MB=√5-1。又由于△ABM和△CND相似，因此AN/ND=AM/MB=AB/CD=1/2，解得AM/MB=ND/AN=1/√5。因此AN:ND:DM=1:√5:2。由勾股定理得到BM^2=AB^2+AM^2=3，因此BM=√3。由勾股定理得到DN^2=ND^2-AD^2=3/4，因此DN=√(3/4)。因此AM:MB:DN=√5-1:√3:√(3/4)。25、如图所示，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。我们可以得到以下相似三角形：△ABP∽△DQB，△ABR∽△CQR，△BPR∽△QDR。现在我们需要求出BP：PQ：QR的比值。426、台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动。已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处。我们需要求出这次台风影响B市的时间。27、如图所示，点C将线段AB分成两部分，如果AC：CB=AB：AC+CB，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1：S2=（1+√5）/2，那么称直线l为该图形的黄金分割线。（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）三角形的中线不是该三角形的黄金分割线。（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任做一条直线交AB于点E，再过点D做直线DF平行于CE，交AC于点F（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线。（4）如图4所示，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF平行于AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线。我们需要画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD的任何边的黄金分割点。628、如图1所示，抛物线经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B。我们需要求出此抛物线的解析式。（1）根据已知条件，我们可以列出方程组：a-b+c=0，9a+3b+c=2，aD^2+bD+c=0。解得a=1，b=-3，c=2，因此此抛物线的解析式为y=x^2-3x+2。（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，我们需要