椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值椭圆中最长的直径为AA=2a，最短的直径为BB=2b；1212b2椭圆中最长的焦点弦为AA二2a，最短的焦点弦为通径(一)；12 a椭圆中最大的焦半径为a+c,最小的焦半径为a-c；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c；二．椭圆中常见角的最值设点P为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角 ZFPF的最大值为ZFBF，且1212cosZFPF>1-2e2， S 的最大值为be； ZAPA的最大值为ZABA；12 af!pf2 1212x2y2例1.P为椭圆a+务=1上的一点，F、F为椭圆的两个焦点，则cosZFPF最小值94 12 12为三.平面内任一点到两定点的距离之和(差)的最值问题设P为平面内一动点，A、B为两定点，则IPAI+1PB1>1ABI当且仅当点P在线段AB上时取得最小值；P图1-1ABI<IPAI-1PBI<IABI当且仅当点P在线段AB(或BA)的延长线时取等号P图2例2.(1)已知点A(-3,3)，点B(5,1)，点P在x轴上移动，使得IPMI+1PBI最小,则点P的坐标为 x2y2⑵已知椭圆-+了=1的右焦点为F，M(3,2)，点p在椭圆上，则1PMI+1PFI的x2y2例3.已知椭圆才+奇=1内有一点P(1,-1),Fx2y2例3.已知椭圆才+奇=1内有一点P(1,-1),F为右焦点，在椭圆上有一动点M,则IMPI+IMFI的最大值为 ，最小值为 .四.平面内一动点P到一定点M和定直线l的距离之和的最小值问题设P为平面内一动点，M为定直线l外的一定点，d为P至强的距离,距离，则IPMI+d的最小值为d.0x2y2例4.已知定点A(2,1),件为椭圆C:25+16=1的左焦点，点P为C上的动点，则3IPAI£叫的最小值为.五.直线上一动点与两定点的视角的最大值问题A、B是直线l同侧两定点，且直线AB丄l，点P为直线l上一动点，则ZAPB有最大值.使ZAPB最大的点P有何几何意义呢？由于点A、B是定点，l为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A、B、P的圆，(如图5、6)当点P在直线l上运动时，过三点A、B、P的圆O与直线l的关系是相交或相切，当圆O与直线l相交时，l上总存在点Q在圆图6内且使ZAQB>ZAPB；当且仅当圆O与直线l相切时，直线上除切点外，其余点均在圆O外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时ZAPB最大，切点即为所求.x2y2例5.F、F是椭圆〒+斗=1的左右焦点，l是椭圆的准线，点Pel，求ZFPF的最124212大值.(30)解法2：因为当过F、F、P三点的圆与准线l相切时，ZFPF最大，1212由切割线定理得IKP|2=|KFI-1KFI二6，故IKP12六.当直线l与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l的距离有最大(小)值的点方法1：设P(acos0,bsin0)，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值；方法2：设与l平行的直线系l'――与椭圆方程联立消元一一令A=0――得出与l平行的椭圆的两条切线l、l――求出l与l、l与l的距离即为所求.1212X2y2 3j5例6.设F(2,0)是椭圆—+—=1(a>b>0)的右焦点，以F为圆心，-为半径的a2b2 54石圆与椭圆相交于A、B两点，且1AB5—. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y=kx+2交椭圆于M、N两点，O为原点，求△M0N面积的最大值.练习1.()已知点P是抛物线y2二2x上的动点，点P在y轴上的射影是M,点A的坐7标为A(2,4)，则IPAI+1PM