第一讲线段角的计算与证明问题

第一讲线段、角的计算与证明问题(本卷须知答题前，考生先将自己的姓名、准考据号填写清楚，将条形码正确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2、选择题一定使用2B铅笔填涂；非选择题一定使用0.5毫米黑色笔迹的署名笔书写，字体工整、笔迹清楚。3、请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效；在底稿纸、试题卷上答题无效。4、保持卡面洁净，不要折叠，不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀。【序言】中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或许中档题，目的在于观察基础。第二部分常常就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或许叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题那么将线段角问题与旋转，动向问题联合，放在了更有难度的倒数第二道以致压轴题中间。能够说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不只是在于获取分数，更重要的是关于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结概括，剖析研究，来研究线段，角计算证明问题的解题思路。第一部分真题精讲【例1】〔2017，崇文，一模〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD

CD，

BDC

90°，AD

3，BC

8、求

AB

的长、【思路剖析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相像，直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行观察的。因此这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，而且熟知梯形的协助线做法。这道题中未知的是AB，的是AD，BC以及△BDC是等腰直角三角形，因此要把未知的AB也放在条件中间去观察.做AE，DF垂直于BC，那么很轻易发现我们将AB带入到了一个有大批条件的直角三角形中间.于是有解以下.【分析】作AE

BC

于

E，DF

BC

于

F．AE∥DF，AD∥BC，四边形AEFD是矩形、EFAD3，AEDF．BDCD，DFBC，DF是△BDC的BC边上的中线、BDC90°，DF1BCBF4．2AE4，BEBFEF431．在Rt△ABE中，AB2AE2BE2AB2217．41【例2】〔2017，海淀，一模〕：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DCB90，ACBD于点O，DC2,BC4，求AD的长.ADOBC【思路剖析】这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.关于这种对角线之间或许和其余线段角有特别关系〔比如对角线均分某角〕的题，一般思路是将对角线提出来结构一个三角形.关于本题来说，直接将AC向右平移，结构一个以D为直角极点的直角三角形.这样就将AD转变成了直角三角形中斜边被高分红的两条线段之一，而另一条线段BC是的.于是问题水到渠成.DOBCE【分析】过点D作DE//AC交BC的延伸线于点E.BDEBOC.∵ACBD于点O，∴BOC90.BDE90.AD//BC，∴四边形ACED为平行四边形.ADCE.BDE90,DCB90，∴DC2BCCE.∵DC2,BC4，∴CE1.∴AD1本题还有很多其余解法，比如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD和△DBC相像，进而利用比率关系直接求出CD。有兴趣的考生能够多发散思想去研究。【例3】〔2017，东城，一模〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，B90，AD=2，BC5，E为DC中点，4tanC、求AE的长度ADEBC、【思路剖析】这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不可以.那该如何做协助线呢？答案就隐蔽在E是中点这个条件中.在梯形中，一腰中点是很特别的.一方面中点自己是多对全等三角形的公共点，另一方面中点和其余底，腰的中点连线就是一些三角形的中线，利用中点的比率关系就能够将条件代入.比方这道题，过中点E做BC的垂线，那么这条垂线与AD延伸线，BC就组成了两个全等的直角三角形.而且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.DAMEBFC【分析】过点E作BC的垂线交于BC点F，交AD的延伸线于点M.在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，∴MMFC，DECE在MDE和FCE中，MMFCDEMCEFDECEMDE≌FCE.EFME，DMCF∵AD2，BC5，∴DMCF32.tanC4EF在Rt3CF，FCE中，∴EFME2.2AE222365在RtAME中，22【总结】以上三道真题，都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的协助线来解决.协助线的整体思路就是将梯形拆分或许填补成矩形＋三角形的组合，进而达到利用求未知的目的.一般来说，梯形的协助线主要有以下5类：过一底的两头做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形＋一矩形平移一腰，分梯形为平行四边形＋三角形延伸梯形两腰交于一点结构三角形平移对角线，转变为平行四边形＋三角形连结极点与中点延伸线交于另一底延伸线修建两个全等三角形或许过中点做底边垂线修建两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般协助线做法。关于角度问题，其实思路也是同样的。经过做协助线使得角度经过平行，全等方式转移到未知量邻近。以前三道例题主假如和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例4】〔2017，延庆，一模〕如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB均分ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延伸线于点E，且C2E，BDC30，AD3，求CD的长、ABECD【思路剖析】本题相对照较简单，不需要做协助线就能够得出结果。可是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。比如对角线均分某角，而后有角度之间的关系。面对这种题目仍是需要将的角度关系理顺。第一依据题目中条件，特别是利用平行线这一条件，能够得出〔见下列图〕角C与角1，2，3以及角E的关系。于是一系列转变事后，发现角C＝60度，即三角形DBC为RT三角形。于是得解。【分析】：AE∥BD∴13，2E∵12∴3E∴ADC3E2EC2E∴ADCBCD60∴梯形ABCD是等腰梯形∴BCAD3230，BCD60DBC90在Rt△DBC中，∵230，BC3∴CD6【例5】〔2017，西城，一模〕：PA2，PB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的双侧.如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；【思路剖析】这是昨年西城一模的压轴题的第一小问。假如线段角的计算出此刻中间部分，往往意味着难度其实不会太高。可是一旦出此刻压轴题，那么有的时候常常比函数题，方程题更加棘手。这题求AB比较简单，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB分红两个有很多量的RT△。可是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，因此就需要我们将PD放在一个直角三角形中试一试看。修建包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延伸线的垂线交DA于F，DF交PB于G。这样一来，获取了△PFA△AGE等多个RT△。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。【分析】：如图，作AE⊥PB于点E、∵△APE中，∠APE＝45°，PA2，AEPAsinAPE212∴2，

DCPEPAcos21APE22、∵PB4，∴BEPBPE3、

AGPFEB在RT△ABE中，∠AEB＝90°，∴ABAE2BE210、如图，过点P作AB的平行线，与DA的延伸线交于F，设DA的延伸线交PB于G、在RT△AEG中，可得AG

AEAE10cosEAGcosABE3

，〔这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分红的两个小直角三角形的角度关系〕EG12PGPBBEEG3，3、PF1010PGcosFPGPGcosABEFG在RT△PFG中，可得5，15、【总结】由此我们能够看出，在波及到角度的计算证明问题时，一般状况下都是要将角度经过平行，垂直等关系过分给未知角度。因此，建立协助线一般也是从这个思路出发，利用一些特别图形中的特别角关系〔比如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系〕以及借助特别角的三角函数来达到求解的目的。第二部散发散思虑经过以上的一模真题，我们对线段角的有关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己着手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看剖析，再没思路了再看答案。【思虑1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD、假定AC⊥BD，AD＋BC＝103，且ABC60，求CD的长、AD【思路剖析】前面我已经剖析过，梯形问题不过也就那么几种协助线的做法。本题求腰，因此自然是先将腰放在某个RT三角形中。此外碰到对角线垂直这种问题，一般都是平移某一条对角线以结构更大的一个RT三角形，因此本题需要两条协助线。在这种问题中，协助线的方式常常需要交错运BC用，假如思想放不开，不敢多做，巧做，就不简单得出答案。【解法见后文】【思虑2】如图，梯形ABCD中，AD／／BC，∠B＝30°，∠C＝60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，BC＝7，MN＝3，求EF【思路剖析】本题有必定难度，要求考生不单掌握中位线的有关计算方法，也对三点共线提出了要求。假定求EF，由于BC，因此只要求出AD即可。由题目所给角B，角〔解法见后〕【思虑3】ABC，延伸BC到D，使CDBC、取AB的中点F，连结FD交AC于点E、AAE⑴求AC的值；FE⑵假定ABa，FBEC，求AC的长、BDC【思路剖析】求比率关系，一般都是要利用相像三角形来求解。本题中有一个等量关系BC＝CD，又有F中点，因此需要做协助线，利用这些关系来结构数个相像三角形就成了获取比率的重点。〔解法见后〕【思虑4】如图3，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，假定BE＝3，CF＝4，试求EF的长、【思路剖析】中点问题是中考几何中的大热门，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的重点。将三角形的中线延伸一倍，恰好能够结构出两个全等三角形，好多问题就能够轻松求解。本题中，D为中点，因此大家能够看看如安在这个里面结构倍长中线。〔解法见后〕【思虑

5】如图，在四边形

ABCD

中，

E为

AB上一点，

ADE和

BCE

都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为如何的四边形，并证明你的结论、DMCNQAPEB【思路剖析】本题也是中点题，不一样的是上题观察中线，本题观察中位线。本题需要考生对各个特别四边形的性质如数家珍，判断，证明上都需要很好的感觉。特别注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转变条件。〔解法见后〕第三部分思虑题答案思虑1【分析】：作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延伸线于F、那么四边形ADFC是平行四边形，∴ADCF，DF＝AC、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD、∴DFBD又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF、∴ΔBDF是等腰直角三角形∴DE1BF1(ADBC)5322在RtCDE中，∵DCE

60，DE

CDsin

DCE∴53

CDsin60，∴CD

10思虑2【分析】：延伸BA，CD交于点H，连结HN，由于∠B＝30°，∠C＝60°，因此∠BHC＝90°因此HN＝DN〔直角三角形斜边中线性质〕NHD＝∠NDH＝60°连结MH，同理可知∠MHD＝∠C＝60°。因此∠NHD＝∠MHD，即H，N，M三点共线〔这一点简单被遗漏，好多考生会想自然以为他们共线，其实仍是要证明一下〕因此HM＝3.5，NH＝0.5AN＝0.5因此AD＝1EF＝〔1＋7〕／2＝4思虑3【分析】⑴过点F作FM∥AC，交BC于点M、∵F为AB的中点1ACA∴M为BC的中点，FM2F由FM∥AC，得CEDMFD，EBMCDECDFMD，∴FMD∽ECDDCEC2∴DMFM3EC2FM21AC1AC∴3323AEACECAC1AC13∴ACACAC2FB1AB1⑵∵AB2aa，∴2又FBEC1aEC，∴2EC1ACAC3EC3a32∵，∴、思虑4【分析】：延伸ED至点G，使DG＝ED，连结CG，FG、那么△CDG≌△BDE、因此CG＝BE＝3，∠2＝∠B、由于∠B＋∠1＝90°，因此∠1＋∠2＝∠FCG＝90°、由于DF垂直均分EG，因此FG＝EF