第1章集合与逻辑全章复习与测试

第1章集合与逻辑全章复习与测试【知识梳理】一．集合的含义1、集合的含义：集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．二．元素与集合关系的判断1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．三．集合的确定性、互异性、无序性集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．【解题方法点拨】解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．【命题方向】本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．四．集合的表示法1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．五．集合的相等（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．六．集合的包含关系判断及应用概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．七．子集与真子集1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．八．集合关系中的参数取值问题两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．【解题方法点拨】求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．【命题方向】集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．九．并集及其运算由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算形状：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．十．交集及其运算由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．十一．补集及其运算一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．十二．交、并、补集的混合运算集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．十三．Venn图表达集合的关系及运算用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．运算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．十四．充分条件与必要条件1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．十五．命题的真假判断与应用判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．十六、反证法的定义：反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据HYPERLINK\t"/item/%E5%8F%8D%E8%AF%81%E6%B3%95/_blank"排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【考点剖析】一．集合的含义（共3小题）1．（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上①②④．①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解．【分析】根据已知条件，结合集合的含义，即可求解．【解答】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确，②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正确，③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误，④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解，即原不等式的集合为{1，2，3}，符合集合的定义，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查集合的含义，属于基础题．2．（2022秋•松江区校级期中）定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B＝{0，6，12}【分析】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键，集合中元素不多时，将各个元素列举出来从而得到所求的集合．【解答】解：当x＝0，y＝2时，z1＝0；当x＝0，y＝3时，z2＝0；当x＝1，y＝2时，z3＝1×2×（1+2）＝6；当x＝1，y＝3时，z4＝1×3×（1+3）＝12，∴A⊙B＝{0，6，12}．故答案为：{0，6，12}．【点评】本题考查学生对新定义的题型的理解和把握程度，弄准集合中元素的构造方式，考查列举法写集合，分类讨论思想．3．（2022秋•松江区校级期中）设全集U＝{x∈Z|﹣1≤x≤5}，集合A＝{x∈R|（x﹣1）（x﹣2）＝0}，集合B＝，分别求集合∁UA、A∪B、A∩B．【分析】先化简集合U以及集合A和集合B，然后利用补集的定义求出∁UA，最后再利用交集与并集的定义求出A∪B、A∩B即可．【解答】解：全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{0，1}可得∁UA＝{﹣1，0，3，4，5}，A∪B＝{0，1，2}，A∩B＝{1}．【点评】本题主要考查了集合的含义，以及并集及运算和补集及其运算，属于基础题．二．元素与集合关系的判断（共6小题）4．（2022秋•浦东新区期末）已知集合A＝{2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为﹣1或﹣2．【分析】根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解．【解答】解：集合A＝{2，a2+3a+3}，且1∈A，则a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或﹣2．故答案为：﹣1或﹣2．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．5．（2022秋•浦东新区期末）∈R．（用符号“∈”或“∉”填空）．【分析】根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解．【解答】解：∈R．故答案为：∈．【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题．6．（2022秋•徐汇区期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，则x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合{1，0，﹣1}是好集；②对任意一个“好集”A，若x、y∈A，则x+y∈A．以下判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可．【解答】解：对于①，因为1∈{1，0，﹣1}，﹣1∈{1，0，﹣1}，而﹣1﹣1＝﹣2∉{﹣1，0，1}，所以集合{1，0，﹣1}不是“好集”，故①错误；对于②，因为集合A是“好集”，所以0∈A，0﹣y＝﹣y∈A，所以x﹣（﹣y）＝x+y∈A，故②正确，所以①为假命题，②为真命题，故选：D．【点评】本题主要考查了集合的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于基础题．7．（2022秋•长宁区校级期末）对于x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，定义在R上的函数f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]，若A＝，则A中所有元素的和为（）A．12 B．3 C．14 D．15【分析】由已知结合新定义对x进行分类讨论，求出f（x）的取值，进而可求．【解答】解：当0时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+0+0＝0，当时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+0+1＝1，时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+1+2＝3，当时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝0+1+3＝4，x＝时，f（x）＝[2x]+[4x]+[8x]＝1+2+4＝7，故A＝{0，1，3，4，7}，元素和为0+1+3+4+7＝15．故选：D．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合元素的确定，属于基础题．8．（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{2，2a﹣1}，且1∈A，则实数a的值为1．【分析】由题意可知2a﹣1＝1，求出a的值即可．【解答】解：∵1∈A，∴2a﹣1＝1，解得a＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．9．（2022秋•闵行区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标；（2）先由点（a，b）是点（c，d）的“上位点”得＞，作差化简得ad﹣bc＞0，结合所得结论、定义，利用作差法可判断出点P（）是否是点（a，b）的“下位点”；（3）借助（2）的结论，证明点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数n的值．【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点（3，5）的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为（3，4）和（3，7）．（2）点P（，）是点（a，b）的“下位点”．证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，∴﹣＝＝＜0，∴，∴点P（）是点（a，b）的“下位点”．（3）可证点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，∴﹣＝＝＝＞0，即＞，∴点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，同理得＝＝，即，∴点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”，∴点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，根据题意知点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”对m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}时恒成立，根据上述的结论知，当n＝2022+2023＝4045，k＝2m+1时，满足条件，故n＝4045．【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．三．集合的表示法（共5小题）10．（2022秋•奉贤区校级期末）用列举法表示中国国旗上所有颜色组成的集合{红色，黄色}．【分析】利用列举法直接写出答案即可．【解答】解：由题意知，中国国旗上所有颜色组成的集合为{红色，黄色}，故答案为：{红色，黄色}．【点评】本题考查了集合的表示法的应用，属于基础题．11．（2022秋•崇明区期末）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为{（x，y）|x＜0，y＞0}．【分析】根据第二象限点的符号特征求解即可．【解答】解：直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为：{（x，y）|x＜0，y＞0}．故答案为：{（x，y）|x＜0，y＞0}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．12．（2022秋•徐汇区校级期末）若函数f（x）＝4|x|+（2|x|﹣14）2|x|+x2﹣14|x|+33有零点，则其所有零点的集合为{﹣3，﹣1，1，3}.（用列举法表示）．【分析】注意到f（x）＝（2|x|+|x|﹣11）（2|x|+|x|﹣3），令f（x）＝0，结合x＞0时，偶函数g（x）＝2|x|+|x|﹣11，h（x）＝2|x|+|x|﹣3均在（0，+∞）上单调递增可得答案．【解答】解：f（x）＝（2|x|+|x|﹣11）（2|x|+|x|﹣3），令f（x）＝0，得2|x|+|x|﹣11＝0或2|x|+|x|﹣3＝0，令g（x）＝2|x|+|x|﹣11，h（x）＝2|x|+|x|﹣3，注意到g（x），h（x）均为偶函数，g（3）＝h（1）＝0，又x＞0时，函数y＝2x与函数y＝x在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝2|x|+|x|﹣11，h（x）＝2|x|+|x|﹣3在（0，+∞）上单调递增，故g（x），h（x）在（0，+∞）上有唯一零点，得2|x|+|x|﹣11＝0⇒x＝±3，2|x|+|x|﹣3＝0⇒x＝±1．则f（x）所有零点的集合为{﹣3，﹣1，1，3}．故答案为：{﹣3，﹣1，1，3}．【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．13．（2022秋•徐汇区校级月考）用描述法表示被5除余2的正整数组成的集合为{x|x＝5k+2，k∈N}．【分析】根据描述法的表示方法结合条件即得．【解答】解：∵被5除余2的正整数可用5k+2，k∈N来表示，∴被5除余2的正整数组成的集合表示为：{x|x＝5k+2，k∈N}．故答案为：{x|x＝5k+2，k∈N}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．14．（2022秋•浦东新区期末）已知集合A＝{（x，y）|y＝4x﹣1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+2}，用列举法表示集合A∩B．【分析】求出直线y＝4x﹣1与抛物线y＝x2+2的交点坐标，即可得到集合A∩B．【解答】解：由题意可知，集合A∩B的元素为表示直线y＝4x﹣1与抛物线y＝x2+2的交点坐标，联立方程，解得或，∴A∩B＝{（1，3），（3，11）}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．四．集合的包含关系判断及应用（共4小题）15．（2022秋•金山区期末）设集合A，B，C均为非空集合．（）A．若A∩B＝B∩C，则A＝C B．若A∪B＝B∪C，则A＝C C．若A∩B＝B∪C，则C⊆B D．若A∪B＝B∩C，则C⊆B【分析】关于这几个命题真假的判断，真命题可以根据集合的运算和运算法则证明，如果命题是假命题，则可以举反例．【解答】解：由于集合A，B，C均为非空集合，所以对于A，若A∩B＝B∩C，则A＝C是假命题，例如A＝{1，2，3}，B＝{1}，C＝{1，2}，满足A∩B＝B∩C，但A≠C；对于B，若A∪B＝B∪C，则A＝C，是假命题；例如A＝{1}，B＝{1，2，3}，C＝{1，2}，满足A∪B＝B∪C，但A≠C；对于C，由于C⊆B∪C，已知A∩B＝B∪C，所以C⊆A∩B，则C⊆B成立；故C正确；对于D，若A∪B＝B∩C，则C⊆B是假命题，例如A＝{1}，B＝{1，2，3}，C＝{1，2，3，4}，满足A∪B＝B∩C，但是B⊆C．故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判断方法，还考查了集合的运算，属于基础题．16．（2023春•宝山区期末）已知集合，集合B＝{x||x﹣a|＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．【分析】用分式不等式的解法解出集合A，绝对值不等式的解法解出集合B，再根据集合的包含关系的定义，找到端点关系，从而解出参数a．【解答】解：由可得（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，故A＝{x|﹣1＜x＜1}，由|x﹣a|＜2可得﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2，故B＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，若A⊆B，则有，即﹣1≤a≤1，∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了分式不等式，绝对值不等式的解法以及集合的包含关系的应用，属简单题．17．（2022秋•青浦区校级期末）集合A＝{x|ax﹣1＝0}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，且A∪B＝B，则a的值是0或1或．【分析】解一元二次方程，可得集合B＝{x|x＝1或x＝2}，再由且A∪B＝B得到集合A是集合B的子集，最后分析集合A的元素，可得a的值是0或1或．【解答】解：对于B，解方程可得B＝{x|x＝1或x＝2}∵A＝{x|ax﹣1＝0}，且A∪B＝B，∴集合A是集合B的子集①a＝0时，集合A为空集，满足题意；②a≠0时，集合A化简为A＝{x|x＝}，所以＝1或＝2，解之得：a＝1或a＝综上所述，可得a的值是0或1或故答案为：0或1或【点评】本题以方程的解集为例，考查了集合包含关系的判断及应用，属于基础题．在解决一个集合是另一个集合子集的问题时，应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错．18．（2022秋•徐汇区期末）已知集合A＝{x||x﹣2|＜a}，集合．（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据分式不等式的解法求出集合B，再根据交集的定义求解；（2）分a≤0和a＞0两种情况讨论，根据A⊆B列出不等式组，求出a的取值范围，最后取并集即可．【解答】解：由，解得﹣2＜x＜3，即集合B＝{x|﹣2＜x＜3}，（1）当a＝1时，集合A＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x＜3}；（2）当a≤0时，A＝∅，则A⊆B满足题意，当a＞0时，A＝{x||x﹣2|＜a}＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，∵A⊆B，∴，解得0＜a≤1，综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．五．子集与真子集（共6小题）19．（2022秋•浦东新区校级月考）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x＝0，y＝6；x＝1，y＝5；x＝2，y＝2；x＝3，y＝﹣3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．【解答】解：x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝﹣3；∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；∴x≥3时，y＜0；∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴该集合的真子集个数为7．故选：C．【点评】考查描述法表示集合，自然数集N，以及真子集的概念．20．（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝1或．【分析】结合已知条件，求出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可．【解答】解：若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，①当a＝1时，，满足题意；②当a≠0时，Δ＝8a+1＝0，所以，综上所述，a＝1或．故答案为：1或．【点评】本题主要考查集合子集的应用，属于基础题．21．（2022秋•黄浦区校级期中）设集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集，则满足要求的实数a＝0．【分析】根据已知条件，推得A为∅，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集，则A＝{x|ax+1＝0，x∈R}＝∅，所以方程ax+1＝0无解，即a＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查子集的定义，属于基础题．22．（2022秋•浦东新区校级期中）满足{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}的集合A共有7个．【分析】根据已知条件，结合并集的定义，以及集合之间的包含关系，即可求解．【解答】解：{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}共7个．故答案为：7．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，属于基础题．23．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，则实数k＝﹣1或﹣2．【分析】根据集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，转化为方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有一个解或两个相同的实数根即可．【解答】解：∵集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，∴方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有一个解或两个相同的实数根即可，当k＝﹣1时，，符合题意；当k≠﹣1时，Δ＝4+4（k+1）＝0⇒k＝﹣2；所以实数k＝﹣1或k＝﹣2．故答案为：﹣1或﹣2．【点评】本题主要考查了集合子集的定义，属于基础题．24．（2022秋•静安区校级期中）设集合Sn＝{1，2，3，⋯，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn奇（偶）子集．若n＝6，则Sn的所有奇子集的容量之和为47．【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和．【解答】解：n＝6时，S6＝{1，2，3，4，5，6}，含有一个元素的奇子集为{1}，{3}，{5}，含有两个元素的奇子集为{1，3}，{1，5}，{3，5}，含有三个元素的奇子集为{1，3，5}，故所有奇子集的容量之和为1+3+5+1×3+1×5+3×5+1×3×5＝47．故答案为：47．【点评】本题主要考查了集合的子集概念，属于基础题．六．集合关系中的参数取值问题（共2小题）25．（2022秋•松江区校级期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是0或1．【分析】集合A表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．【解答】解：当a＝0时，A＝{x|4x+4＝0}＝{﹣1}满足题意当a≠0时，要集合A仅含一个元素需满足Δ＝16﹣16a＝0解得a＝1故a的值为0；1故答案为：0或1【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况．26．（2021秋•宝山区校级期中）已知集合，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．【分析】＝[1，2），B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≤0}，结合间关系可解决此题．【解答】解：＝[1，2），B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≤0}，（1）∵A⊆B，∴a∈[2，+∞）；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴a∈[1，2）．【点评】本题考查一元二次不等式解法及集合间关系应用，考查数学运算能力，属于基础题．七．并集及其运算（共5小题）27．（2022春•宝山区校级期末）满足条件{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}的所有集合M的个数是（）A．4个 B．8个 C．16个 D．32个【分析】根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可．【解答】解：∵{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}∴7∈M，且9∈M∴的集合M可能为{7，9}或{1，7，9}或{3，7，9}或{5，7，9}或{1，3，7，9}或{1，5，7，9}或{3，5，7，9}或{1，3，5，7，9}故选：B．【点评】本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．28．（2022秋•崇明区期末）集合A＝{2，3x}，B＝{x，y}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝{1，2，3}．【分析】根据A∩B＝{3}可得出3∈A，3∈B，然后即可求出x，y的值，从而得出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B，∴3x＝3，解得x＝1，∴y＝3，∴A＝{2，3}，B＝{1，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．【点评】本题考查了交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．29．（2022秋•上海期末）已知A＝（﹣∞，0]，B＝[a，+∞），且A∪B＝R，则实数a的取值范围为（﹣∞，0]．【分析】利用并集定义能求出结果．【解答】解：∵A＝（﹣∞，0]，B＝[a，+∞），且A∪B＝R，∴a≤0，∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．30．（2022秋•徐汇区校级期中）全集I＝{x|x＝2n，1≤n≤10，n∈Z}，A＝{2，4，6}，B＝{4，6，8，10，12}，则＝{14，16，18，20}．【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．【解答】解：A＝{2，4，6}，B＝{4，6，8，10，12}，则A∪B＝{2，4，6，8，10，12}，∵I＝{x|x＝2n，1≤n≤10，n∈Z}＝{2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}，∴＝{14，16，18，20}．故答案为：{14，16，18，20}．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．31．（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝[0，+∞）．【分析】求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∪B＝[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．八．交集及其运算（共4小题）32．（2022秋•金山区校级期末）设A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{x＝1，y＝2} C．{（1，2）} D．{（x，y）|x＝1或y＝2}【分析】联立方程组，解出x，y，再结合交集的定义，即可求解．【解答】解：A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，联立，解得，故A∩B＝{（1，2）}．故选：C．【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．33．（2022秋•闵行区校级期末）已知A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≤2，x∈N}，则A∩B＝{0，1，2}．【分析】求出集合B，利用交集的定义可求得集合A∩B．【解答】解：因为集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，因此，A∩B＝{0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义，属于基础题．34．（2022秋•浦东新区校级期末）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则A∩B＝{x|1＜x≤3}．【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则A∩B＝{x|1＜x≤3}．故答案为：{x|1＜x≤3}．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．35．（2022秋•奉贤区校级期末）已知m是实数，集合M＝{2，3，m+6}，N＝{0，7}，若M∩N＝{7}，则m＝1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：m是实数，集合M＝{2，3，m+6}，N＝{0，7}，M∩N＝{7}，∴m+6＝7，则m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查交集定义、集合中元素性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．九．补集及其运算（共3小题）36．（2022秋•浦东新区校级期末）设集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，全集U＝R，则＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】求解不等式|2x﹣1|＜3得到集合A，再求．【解答】解：由|2x﹣1|＜3，得﹣1＜x＜2，故A＝{x|﹣1＜x＜2}，所以当全集U＝R时，＝{x|x≤﹣1或x≥2}．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．37．（2022秋•松江区校级期末）设全集U＝{x|0≤x≤7，x∈Z}，A＝{2，4，6，7}，则＝{0，1，3，5}．【分析】先求出全集U，再结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集U＝{x|0≤x≤7，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，则A＝{2，4，6，7}，故＝{0，1，3，5}．故答案为：{0，1，3，5}．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．38．（2022秋•闵行区校级月考）已知全集U＝R，集合，则＝{x|﹣1≤x≤0}．【分析】解分式不等式化简集合，再利用补集的定义求解作答．【解答】解：不等式化为：，即，x（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞0，则M＝{x|x＜﹣1或x＞0}，所以．故答案为：{x|﹣1≤x≤0}．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．一十．交、并、补集的混合运算（共7小题）39．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合S＝{x|x＞﹣2}，T＝{x|x2+3x﹣4＝0}，则（∁RS）∪T＝{x|x≤﹣2或x＝1}．【分析】先得出∁RS，再与T取并集即可．【解答】解：∵S＝{x|x＞﹣2}，∴∁RS＝{x|x≤﹣2}，∵T＝{x|x2+3x﹣4＝0}＝{﹣4，1}，∴（∁RS）∪T＝{x|x≤﹣2或x＝1}．故答案为：{x|x≤﹣2或x＝1}．【点评】本题考查了并、补集的混合运算，属于基础题．40．（2022秋•青浦区校级月考）设全集U为自然数集N，记E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}，那么N可以表示为（）A．E∪F B． C． D．【分析】先分析集合E，F的关系，然后检验各选项即可判断．【解答】解：因为E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}＝{x|x＝2•2n，n∈N}，故F⊆E，所以E∪F＝E，不符合题意；∪F≠N，B不符合题意；E＝N，C符合题意；＝，D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．41．（2022秋•浦东新区校级期中）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}【分析】直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可．【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝{0，1，2}∩{﹣2，0，1}＝{0，1}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集，补集的运算法则的应用，是基础题．42．（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求；（2）若C＝{x|a﹣1≤x≤2a}，且A∩C＝C，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据指数不等式的解法求出集合A，再求出集合B的补集，然后根据并集的定义即可求解；（2）由已知可得C⊆A，然后根据C＝∅与C≠∅两种情况讨论，根据集合的包含关系分别建立不等式，进而可以求解．【解答】解：（1）解不等式1≤3x≤27可得：0≤x≤3，所以集合A＝[0，3]，又由已知可得＝（﹣∞，1]，所以A＝（﹣∞，3]；（2）因为A∩C＝C，则C⊆A，当C＝∅时，a﹣1＞2a，解得a＜﹣1满足题意，当C≠∅时，只需，解得1，综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查了集合的交集，补集，并集的混合运算，涉及到指数不等式的应用以及集合的包含关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．43．（2022秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣9≥0}，B＝{x||x﹣4|＜2}，C＝{x|＜0}．（1）求A∩B、A∪C；（2）若全集U＝R，求∩B．【分析】（1）求出集合A，B，C，利用并集和交集定义能求出结果；（2）求出，由此能求出∩B．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣9≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{x||x﹣4|＜2}＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|＜0}＝{x|﹣2＜x＜8}，∴A∩B＝{x|3≤x＜6}，A∪C＝{x|x≤﹣3或x＞﹣2}；（2）∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣9≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{x||x﹣4|＜2}＝{x|2＜x＜6}，∴＝{x|﹣3＜x＜3}，∴∩B＝{x|2＜x＜3}．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．44．（2022秋•黄浦区校级期中）已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（）A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪【分析】举例说明ABC错误，分类分析D正确即可．【解答】解：取A＝R，则对任意集合B，都有A∪B＝A∪，故A错误；取A＝∅，则对任意集合B，都有A∩B＝A∩，故B错误；取＝B，则∩B＝∪B，故C错误；对于D，若A＝R，B＝∅，则∩B＝∅，A∪＝R，∩B≠A∪；若A＝∅，B＝R，则∩B＝R，A∪＝∅，∩B≠A∪；若A＝B，则∩B＝∅，A∪＝R，∩B≠A∪；若A∩B＝∅，如图，则∩B＝B，A∪＝，∩B≠A∪；若A∩B≠∅，如图，则∩B为图中阴影部分，A∪为图中非阴影部分，∩B≠A∪；若A⊂B，如图，则∩B为图中阴影部分，A∪为图中非阴影部分，∩B≠A∪；若A⊃B，如图，则∩B＝∅，A∪＝，∩B≠A∪．综上所述，∩B＝A∪恒不成立．故选：D．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题．45．（2022秋•徐汇区校级期中）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S＝{x|x∈（M∩N）∪（N∩S）∪（S∩M）且x∉M∩N∩S}．假设集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e．计算A⊙B⊙C＝{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．【分析】根据题意得出a＜c＜e＜0＜b＜d＜f，计算A∩B、B∩C和C∩A，从而求出A⊙B⊙C．【解答】解：因为A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，所以a+b＜c+d，所以a﹣c＜d﹣b，因为b﹣a＝d﹣c，所以a﹣c＝b﹣d，所以b﹣d＜d﹣b，所以b＜d；同理，d＜f，所以b＜d＜f；由（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e；所以a＜c＜e＜0＜b＜d＜f；所以A∩B＝{x|c＜x＜b}，B∩C＝{x|e＜x＜d}，C∩A＝{x|e＜x＜b}；所以A⊙B⊙C＝{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．故答案为：{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是难题．一十一．Venn图表达集合的关系及运算（共4小题）46．（2022秋•浦东新区校级期中）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，4，5，7}，B＝{1，4，7，8}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（）A．{3，6} B．{4，7} C．{1，2，4，5，7，8} D．{1，2，3，5，6，8}【分析】阴影部分对应的集合为A∪B的补集，根据集合的基本关系即可得到结论．【解答】解：阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），∵A＝{2，4，5，7}，B＝{1，4，7，8}，∴A∪B＝{1，2，4，5，7，8}，则∁U（A∪B）＝{3，6}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．47．（2022秋•青浦区校级期中）如图，U是全集，A，B都是U的子集，则阴影部分表示的集合是（）A．（∁UA）∪B B．∁U（A∪B） C．（∁UA）∩B D．∁U（A∩B）【分析】由阴影部分的元素的特点可直接得到结果．【解答】解：由Venn图知：阴影部分的元素属于集合B，不属于集合A，∴阴影部分表示的集合为：（∁UA）∩B，故选：C．【点评】本题考查Venn图表达集合之间的关系，属于基础题．48．（2022秋•普陀区校级月考）50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为14．【分析】根据题意得英语、日语至少会一门的人数，可设既会英语又会日语的为x人，分别表示出只会英语、日语的人，再列等式可解．【解答】解：根据题意，英语、日语至少会一门的人数为50﹣8＝42人，设既会英语又会日语的为x人，则只会英语为（36﹣x）人，只会日语的有（20﹣x）人，则（36﹣x）+x+（20﹣x）＝42，得x＝14，故答案为：14．【点评】本题考查利用集合的思想解决实际问题，属于基础题．49．（2022秋•宝山区校级期中）行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是18．【分析】根据给定的条件，利用集合思想结合容斥原理列式求解．【解答】解：记该班全体同学形成集合U，该班学生人数为n，参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合A，则card（A）＝，参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合B，则card（B）＝，两个科目都参加选拔的人数为card（A∩B），∴card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）＝+3﹣card（A∩B），两个科目都不参加的学生人数为card（A∩B）+7，依题意card（A∩B）+7card（A∪B）＝n，∴，解得n＝40，则card（B）＝．故答案为：18．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质、集合中元素个数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．一十二．充分条件与必要条件（共3小题）50．（2023春•宝山区校级期中）“”是“函数f（x）＝cos（x+α）为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．【解答】解：α＝时，函数f（x）＝cos（x+α）＝﹣sinx，是定义域R上的奇函数，充分性成立；函数f（x）＝cos（x+α）是奇函数时，α＝kπ+，k∈Z，所以必要性不成立；所以α＝是函数f（x）＝cos（x+α）的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．51．（2022秋•浦东新区校级期末）在坐标轴的单位圆上任取3个不重合的点，从上至下依次记为点A、B、C，记命题（Ⅰ）为“点A、B、C的纵坐标的数值是等差数列”，命题（Ⅱ）为“该3个点所对应的角A、B、C的正弦值是等差数列”，那么命题（Ⅰ）是命题（Ⅱ）的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等差数列的性质判断即可．【解答】解：若点A、B、C的纵坐标的数值是等差数列，即2yB＝yA+yC，又∵2sinB＝2yB，sinA＝yA，sinC＝yC，∴2sinB＝sinA+sinC，即该3个点所对应的角A、B、C的正弦值是等差数列，若该3个点所对应的角A、B、C的正弦值是等差数列，则2sinB＝sinA+sinC，又∵2sinB＝2yB，sinA＝yA，sinC＝yC，∴2yB＝yA+yC，所以命题（Ⅰ）是命题（Ⅱ）的充要条件．故选：C．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．52．（2022秋•松江区校级期末）已知ab≠0，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【分析】利用举实例判断充分性，利用不等式的性质判断必要性．【解答】解：①当a＝﹣2，b＝1时，满足＜1，但＞1不成立，∴充分性不成立，②∵⇔a（a﹣b）＜0⇔或⇔b＞a＞0或b＜a＜0，∴成立，∴必要性成立，则是成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一十三．反证法（共3小题）53．（2022秋•徐汇区校级月考）用反证法证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”为真命题时，第一个步骤是假设x＝2且y＝3．【分析】根据反证法的概念即可求解．【解答】解：根据反证法可知证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”为真命题时，第一个步骤是：假设原命题结论不成立，写出结论的否定，即假设x＝2且y＝3．故答案为：假设x＝2且y＝3．【点评】不通过考查反证法的概念，属基础题．54．（2022秋•青浦区校级期末）已知a、b∈R，用反证法证明命题：“若a2+b2＝0，则a、b全为零”时的假设是a，b不全为0．【分析】把要证结论否定即可．【解答】解：用反证法证明命题：若a，b∈R，且a2+b2＝0，则a，b全为0时，要做的假设是证明结论的反面，即a，b不全为0．故答案为：a，b不全为0．【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题．55．（2022秋•普陀区校级期末）设n∈Z．用反证法证明：若n3是奇数，则n是奇数．【分析】假设n不是奇数，然后推导出n3为偶数，与已知矛盾，即得证．【解答】证明：假设n不是奇数，则n是偶数，设n＝2k，k∈Z，则n3＝8k3，因为k∈Z，则k3∈Z，所以8k3是偶数，即n3为偶数，这与已知n3为奇数矛盾，所以假设不成立，即n是奇数．【点评】本题考查反证法的运用，属于基础题．【过关检测】一．填空题（共10小题）1．设集合A＝{（x，y）|y＝x2，x∈R}，B＝{（x，y）||y|＝1，x∈R，y∈R}，则A∩B用列举法可表示为{（1，1），（﹣1，1）}．【分析】由A＝{（x，y）|y＝x2，x∈R}，B＝{（x，y）||y|＝1，x∈R，y∈R}，知A∩B＝{（x，y）|}．由此能求出结果．【解答】解：∵A＝{（x，y）|y＝x2，x∈R}，B＝{（x，y）||y|＝1，x∈R，y∈R}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，1），（﹣1，1）}．故答案为：{（1，1），（﹣1，1）}．【点评】本题考查交集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意集合的运算．2．用列举法表示集合{x|x2﹣2x＝0，x∈R}为{0，2}．【分析】解方程x2﹣2x＝0得0，2，从而写出即可．【解答】解：方程x2﹣2x＝0的解为0，2，故{x|x2﹣2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故答案为：{0，2}．【点评】本题考查了集合的表示法的应用，属于基础题．3．下列各命题中正确的序号为（2）（3）．（1）a＞b⇒ac2＞bc2；（2）a3＞b3，ab＞0⇒；（3）＞⇔a＞b，c≠0；（4）＞⇒a＞b．【分析】直接利用不等式的性质和作差法的应用判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】解：对于（1）由于a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，故（1）错误．对于（2）＞0，整理得a﹣b＞0且ab＞0，所以a＞b＞0或0＞a＞b，整理得，故（2）正确；对于（3）＞整理得，即a＞b且c≠0，故（3）正确；对于（4），当c＜0时，a＜b，故（4）错误．故答案为：（2）（3）．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，作差法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4．已知A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝[﹣1，1）．【分析】由交集的定义求解即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝[﹣1，1），故答案为：[﹣1，1）．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．已知集合A＝{x|1≤x≤4}，集合B＝{x|3＜x＜5}，则A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤3}，（∁RA）∪B＝{x|x＜1或x＞3}．【分析】根据已知条件，结合交、并、补集的混合运算，即可求解．【解答】解：∵集合B＝{x|3＜x＜5}，∴∁RB＝{x|x≥5或x≤3}，∵A＝{x|1≤x≤4}，∴A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤3}，∵（∁RA）＝{x|x＞4或x＜1}，∴（∁RA）∪B＝{x|x＜1或x＞3}．故答案为：{x|1≤x≤3}；{x|x＜1或x＞3}．【点评】本题主要考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．6．已知命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，若q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是[0，4]．【分析】先化简q，再由q是p的必要不充分条件建立a的不等式可求解．【解答】解：∵命题p：a≤x≤a+1，命题q可化为：0≤x≤4，设P＝[a，a+1]，Q＝[0，4]，又q是p的必要不充分条件，∴P⫋Q，∴，且两等号不同时取得，∴a∈[0，4]，故答案为：[0，4]．【点评】本题考查充分与必要条件概念，集合关系，属基础题．7．已知有限集A＝{a1，a2，a3，…，an}（n≥2，n∈N）．如果A中元素ai（i＝1，2，3，…n）满足a1a2…an＝a1+a2+…+an，就称A为“创新集”，给出下列结论：①集合{}是“创新集”；②若集合{2，a2}是“创新集”，则a＝；③若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“创新集”，则a1a2＞4；④若a1，a2∈N*“创新集”A有且只有一个，且n＝3．其中正确的结论是①④．（填上你认为所有正确的结论序号）【分析】根据已知中“创新集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案【解答】解：①∵（3+）（3﹣）＝9﹣3＝6＝3++3﹣＝6，满足新定义集合；故①是正确的；②若集合{2，a2}是“创新集”，则2+a2＝2a2，解得a＝；故a＝错误；故②错误；③若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“创新集”，不妨设a1+a2＝a1a2＝t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t＝0的两个根，由Δ＞0，可得t＜0，或t＞4，故③错；当n＝3时，a1a2＜3，故只能a1＝1，a2＝2，求得a3＝3，于是“创新集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…an﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说“创新集”A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）＝n2﹣3n+2＝（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．故答案为：①④【点评】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“创新集”的含义是解答的关键，难度较大．8．已知全集U＝{1