第20讲平面向量的坐标运算（教师版）

第20讲平面对量的坐标运算一．根底学问1．平面对量的坐标运算(1)向量加法．减法．数乘向量及向量的模设那么,,(2)向量坐标的求法①假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标．②设，那么2．平面对量共线的坐标表示设，其中3．平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量，那么，由此得到(1)假设，那么|或(2)设，那么两点间的距离(3)设两个非零向量，，那么二．典例分析题型一:根本概念【例1】在平面直角坐标系中，向量的方向和长度如下图，分别求它们的坐标．【解析】设那么，；，；，．因此．【变式】在平面直角坐标系中，轴的正向为正东方向，轴的正向为正北方向，质点在坐标平面内做直线运动，分别求以下位移向量的坐标．(1)向量表示沿东北方向移动了个单位长度；(2)向量表示沿西偏北方向移动了个单位长度；(3)向量表示沿东偏南方向移动了个单位长度．【解析】(1)设，那么，．(2)设，那么，．(3)设，那么，．【例2】，求．【解析】〔1〕；〔2〕；〔3〕题型二：平面对量的坐标运算【例3】点及，求点和的坐标．【解析】设，由题意可得，．那么有和解得和∴的坐标分别为和，因此．【变式】，求以下向量的坐标：(1);(2);(3)．【解析】(1)．(2)．(3)．【例4】，且，那么等于()A． B．C． D．【解析】．即答案：C【变式】假设，那么等于() B． C． D．【解析】，．答案：D题型三：平面对量共线的坐标表示及其应用【例5】，当k为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？【解析】，，．，．解得．这时．．故时，与平行且反向．【变式】向量．假设与共线，那么________．【解析】，．由题意得，解得．答案：－2【例6】如图，点，求与的交点的坐标．【解析】由题意知三点共线，可设，那么．由与共线，得，解之得， ， 即为所求． 【变式】在平面直角坐标系中，四边形的边．点，那么点的坐标为________．【解析】由于四边形的边，所以四边形为平行四边形，．设那么，解得点的坐标为答案：(0，－2)题型四：平面对量数量积的坐标表示及其应用【例7】平面对量，，，且与的夹角等于与的夹角，那么〔〕A． B． C． D．【答案】选D．【解析】，又由于与的夹角等于与的夹角，即，也就是，即得，解得．【例8】设，又，假设与的夹角为，求实数的值．【解析】而即，等价于解得【例9】设，在上的投影为，在轴上的投影为,且，那么为〔〕A．B．C．D．【解析】B由题意设，那么有，即，解得或〔舍〕【变式】平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，那么，其中〔〕A．B．C．D．【解析】由向量在向量上的投影定义知：，应选D【变式】〔1〕求与的夹角的余弦；〔2〕假设,求实数的值．【解析】【例10】平面对量．(1)假设，求的值；(2)假设，求|．【解析】(1)假设，那么．整理，得，解得或．(2)假设，那么有，即，解得或．当时，当时，综上，可知或．题型五：综合应用【例11】，设是直线上的一点(其中为坐标原点)．(1)求使取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点，求．【解析】(1)点是直线上的一点，向量与共线，设，那么当时，取得最小值，此时(2)由(1)知,【变式】，，存在实数使得且，试求的最小值．【解析】由得即将代入上式得的最小值为，此时

课后作业1．，那么点的坐标是________．【解析】,的坐标为2．假设，那么等于()．A． B．C． D．【解析】答案：B3．．求：(1);(2);(3)．【解析】(1)；(2)；(3)．4．，推断与是否共线．【解析】又，故与共线．5．是坐标原点，．当三点共线时，求的值．【解析】三点共线，，那么，解得或．三点共线时，或．6．分别确定实数的取值范围，使得：〔1〕与的夹角为锐角；〔2〕与的夹角为钝角；【解析】设与的夹角为