18-空间向量与立体几何-五年（2018-2022）高考数学真题按知识点分类汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编18-空间向

量与立体几何（含解析）

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）在正方体4BCD-中,E,F分别为的中

点，则（）

A.平面■平面8。〃B.平面与EF_L平面48。

C.平面用EF//平面4/CD.平面耳斯〃平面4G。

2.（2018•全国•高考真题）在长方体/BCO-z/EGA中，AB=BC=\,AAt=73,则

异面直线ADi与DB、所成角的余弦值为

A.-B.正C.—D.也

5652

二、多选题

3.（2021•全国•统考高考真题）在正三棱柱/8C-44G中，AB=AAX=\,点尸满足

BP=ABC+juBBt,其中则（）

A.当a=1时，的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸的体积为定值

C.当2=g时，有且仅有一个点P,使得4尸，8尸

D.当〃=；时，有且仅有一个点尸，使得48,平面

三、解答题

4.（2022・全国•统考高考真题）如图，直三棱柱/8C-44G的体积为4,A48c的面

积为2啦.

⑴求4到平面48c的距离;

(2)设。为4c的中点，AAt=AB,平面4BC_L平面求二面角力-8D-C的正

弦值.

5.(2022・全国•统考高考真题)如图，四面体中，

AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为ZC的中点.

(1)证明：平面平面ZCD；

(2)设/B=BD=2,N/C8=60。，点尸在8。上，当的面积最小时，求CF与平面

所成的角的正弦值.

6.(2022•全国•统考高考真题)在四棱锥尸中，底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=y/3.

(1)证明：BDLPA

(2)求尸。与平面尸N8所成的角的正弦值.

7.(2022・全国•统考高考真题)如图，尸。是三棱锥的高，PA=PB,AB1AC,

E是P5的中点.

⑴证明：OE〃平面P/C；

(2)若480=NC8O=30。，尸。=3,PA=5,求二面角C-4E-8的正弦值.

8.(2022・浙江•统考高考真题)如图，已知/BCD和COE/都是直角梯形，AB//DC,

DC//EF,AB=5,DC=3,EF=\,NBAD=NCDE=60°,二面角尸-OC-8的平

面角为60。.设A/,N分别为/E,BC的中点.

EF

—＜、

(1)证明：FN1AD；

(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

9.(2022•北京•统考高考真题)如图，在三棱柱N8C-/4G中，侧面8CC圈为正方形,

平面8CGB,J.平面力8旦4，AB=BC=2,M,N分别为/C的中点.

(1)求证：MN〃平面BCCe；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线与平面BMN所成

角的正弦值.

条件①：ABLMN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

10.(2022•天津•统考高考真题)直三棱柱N8C-44G中，

AAt=AB=AC=2,AA1±AB,AC1AB,。为&玛的中点，E为的中点，尸为C。的

中点.

(1)求证：EF〃平面4BC；

(2)求直线BE与平面CCQ所成角的正弦值:

(3)求平面A.CD与平面CC、D所成二面角的余弦值.

11.(2021•全国•统考高考真题)已知直三棱柱/8C-44G中，侧面工/£8为正方形,

AB=BC=2,E,E分别为/C和CG的中点，。为棱4瓦上的点.BF1AtB.

(1)证明：BF1DE：

（2）当4。为何值时，面加3CC与面。”所成的二面角的正弦值最小？

12.（2021•全国•统考高考真题）如图，四棱锥P-48CZ）的底面是矩形，底面

ABCD,PD=DC=1,A/为BC的中点，Si.PBl.AM.

（1）求8C；

（2）求二面角N-PM-8的正弦值.

13.（2021•全国•统考高考真题）在四棱锥。-N3C。中，底面是正方形，若

AD=2,0。=QA=亚,QC=3.

（1）证明：平面•平面/8CO；

（2）求二面角8-。。-4的平面角的余弦值.

14.（2021・浙江•统考高考真题）如图，在四棱锥尸-Z8C。中，底面N8CD是平行四边

形，乙48c=120。,/8=1,8C=4,尸/=JT，M,N分别为8C,PC的中点，

PD1DC,PM1MD.

(1)证明：ABLPM；

(2)求直线NN与平面PDM所成角的正弦值.

15.(2021・北京•统考高考真题)如图：在正方体48co-中，E为4A中点,

MG与平面CQE交于点尸.

(1)求证：尸为用G的中点；

(2)点M是棱4及上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为更，求罂的值.

344

16.(2021・天津•统考高考真题)如图，在棱长为2的正方体N8CD-44GA中，E为

棱8c的中点，F为棱8的中点.

(I)求证：。尸//平面4EG；

(II)求直线"G与平面4EG所成角的正弦值.

(III)求二面角4-4G-E的正弦值.

17.(2020•全国•统考高考真题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为

底面直径，AE=AD.是底面的内接正三角形，P为。。上一点，PO=—DO.

6

(1)证明：P/1平面PBC；

(2)求二面角8-PC-E的余弦值.

18.(2020・海南・统考高考真题)如图，四棱锥P-Z88的底面为正方形，PO_L底面

ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为/.

P

(1)证明：/_L平面PAC；

(2)己知尸。=/。=1,。为/上的点，求P8与平面。CD所成角的正弦值的最大值.

19.(2020・天津•统考高考真题)如图，在三棱柱N8C-48G中，平面

ABC,ACA-BC,AC=BC=2,CC；=3,点。，E分别在棱/4和棱CC,±,且

AD=\CE=2,用为棱4区的中点.

(I)求证：CXMYB.D.

(ID求二面角B-qE-D的正弦值；

(III)求直线48与平面。瓦E所成角的正弦值.

20.(2020・北京•统考高考真题)如图，在正方体/88-4型/中，£为四的中点.

(I)求证：8£//平面/。£；

(II)求直线4%与平面力。£所成角的正弦值.

21.(2020•海南•高考真题)如图，四棱锥P-/BCZ)的底面为正方形，PO_L底面/BCD设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

(1)证明：/_1_平面以"7；

(2)已知尸。=/。=1,。为/上的点，QB=6,求P8与平面。。所成角的正弦值.

22.(2020•江苏•统考高考真题)在三棱锥4一88中，已知CB=CDf,BD=2,。为

8。的中点，/OJ_平面8C£),A0=2,E为ZC的中点.

(1)求直线与。E所成角的余弦值；

(2)若点尸在BC上，满足设二面角厂一OE—C的大小为仇求sin。的值.

23.(2019•全国•高考真题)如图，直四棱柱的底面是菱形，AAt=4,

AB=2,NB4D=6G°,E,M,N分别是8C,BB1,小。的中点.

(1)证明：MV〃平面GDE；

(2)求二面角/-K4/-N的正弦值.

24.(2018•全国•高考真题)如图，在三棱锥尸-48C中，AB=BC=2立,

PA=PB=PC=AC=4,。为NC的中点.

(1)证明：尸0,平面Z8C；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-P/-C为30。，求PC与平面P/A/所成角的正

弦值.

25.(2018•全国•高考真题)如图，四边形/8CZ)为正方形，瓦尸分别为ND8C的中点,

以。尸为折痕把ADFC折起，使点C到达点P的位置，且PFLBF.

(1)证明：平面尸_L平面Z8ED；

(2)求。尸与平面的D所成角的正弦值.

26.(2019•全国•统考高考真题)图1是由矩形RtZ\Z8C和菱形8PGC组成的一

个平面图形，其中48=1,BE=BF=2,NFBC=60°,将其沿8c折起使得BE与8户

重合，连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的Z,C,G,。四点共面，且平面/BC_L平面8CGE：

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

图1图2

27.(2019•浙江•高考真题)如图，已知三棱柱,平面44。。，平面

ABC,ZABC=90°,NBAC=30°,A[A=A,C=AC,E,F分别是AC,g的中点.

(1)证明：EFJ.BC；

(2)求直线EF与平面48c所成角的余弦值.

28.(2018•全国•高考真题)如图，边长为2的正方形Z8CO所在的平面与半圆弧①所

在平面垂直，/是也上异于C,。的点.

(1)证明：平面4WZ)J.平面8MC；

(2)当三棱锥M-48C体积最大时，求面与面MCZ)所成二面角的正弦值.

29.(2019•北京・高考真题)如图，在四棱锥尸中，必_1_平面Z5CC,AD1CD,

PF|

AD//BC,PA=AD=CD=1,BC=3.E为尸。的中点，点尸在尸C上，且正=鼠

(I)求证：CD_L平面为D：

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

PG2

(III)设点G在尸8上，且为=§.判断直线4G是否在平面/E尸内，说明理由.

30.（2019•天津•高考真题）如图，/E_L平面/BCD,CF//AE,AD//BC,

ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求证：BF〃平面4DE；

(II)求直线CE与平面8DE所成角的正弦值；

(III)若二面角E-8。-厂的余弦值为:，求线段CF的长.

31.(2018•浙江•高考真题)如图,已知多面体48C-4，G，444B，GC均垂直于平面

ABC,/ABC=120°,4/=4,GC=1,=8C=耳8=2.

(I)求证：/4，平面4片£；

(II)求直线/G与平面力84所成角的正弦值.

32.(2018•北京•高考真题)如图，在三棱柱/8C-44G中，Cq_L平面48C,D,E,

F,G分别为44,AC,4C，84的中点，AB=BC=4S,AC=AA[=1.

Cl

F

(1)求证：/C_L平面8EF；

(2)求二面角8-CD-G的余弦值；

(3)证明：直线尸G与平面88相交.

33.(2018•江苏•高考真题)如图，在正三棱柱Z8C-//8/G中，/8=/4=2,点尸，。分

别为小以，8c的中点.

月I

(1)求异面直线BP与/G所成角的余弦值；

(2)求直线CG与平面/QG所成角的正弦值.

34.(2018•天津•高考真题)如图，4V/8C且4)=28C,HDLCD,EG"4D且EG=4D,

CDI1FG豆CD=2FG,£>G_L平面Z8CC,DA=DC=DG=2.

(I)若M为CE的中点，N为EG的中点，求证：MN”平面CDE；

(II)求二面角E—8C-F的正弦值；

(III)若点P在线段DG上，且直线8P与平面/DGE所成的角为60。，求线段OP的

长.

参考答案：

1.A

【分析】证明EF上平面即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,

设NB=2,分别求出平面々EF,A、BD,4QD的法向量，根据法向量的位置关系，即可判

断BCD.

【详解】解：在正方体/88-44G2中，

4CJ.BD且DD,±平面ABCD,

又EFu平面/BCD,所以EF1DR,

因为E,F分别为/8,8C的中点，

所以EF〃4C,所以EF工BD,

又BDCDD、=D,

所以EF工平面,

又EFu平面B,EF,

所以平面平面8。。，故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设/8=2,

则4(2,2,2)/(2』,O),F(1,2,0),8(2,2,0),4(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

G（0,2,2）,

则EF=（-1,1,0）,函=（0,1,2）,丽=（2,2,0）,西=（2,0,2）,

不（0,0,2）,就=（-2,2,0）福=卜2,2,0）

设平面尸的法向量为旭=(芭,必,zj,

m-EF--x+y-0

则有＜}]可取前=(2,2,—1),

m-£>8]=必+2i]=0

同理可得平面48。的法向量为*=,

平面4/C的法向量为0=(1,1,0),

平面4G。的法向量为^=(1,1,-1),

则加•=2-2+1=1x0,

所以平面用功与平面48。不垂直，故B错误;

一5

因为言与巧不平行，

所以平面8£尸与平面44c不平行，故C错误;

因为前与%不平行，

所以平面尸与平面4G。不平行，故D错误,

故选：A.

选项BCD解法二：

解：对于选项B,如图所示，设48nB£=〃，EFCBD=N,则MN为平面8£尸与平面

48。的交线,

在ABMN内,作8PJ.MV于点P,在AEMN内,作GPJ.的V,交£7V于点G,连结8G,

则N5PG或其补角为平面B、EF与平面A.BD所成二面角的平面角,

PG2+PN2=GN2,

底面正方形48c。中，E,尸为中点，则

由勾股定理可得NB?+NG?=BG1，

从而有：NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN)=BG；,

222

据此可得PB+PG丰BG，即ZBPG丰90,

据此可得平面平面48。不成立，选项B错误:

对于选项C,取4片的中点H,则47||8£,

由于与平面4力。相交，故平面乌政〃平面4月C不成立，选项C错误;

对于选项D,取X。的中点很明显四边形48尸河为平行四边形，则4〃||8/,

由于4"与平面4G。相交，故平面0EF〃平面4G。不成立，选项D错误;

故选：A.

2.C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根

据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DDi为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

£)(0,0,0),4(1,0,0),5,(1,1,73),0,(0,0,百)，所以函=(-1,0,6)，函=(1,1,6)，

ADtDB}-1+3_V5

因为cos(函，函)=,所以异面直线44与。4所成角的余弦值为

画画|一2x6-5

q,选c.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于''四破’'：第一，破“建系关”，构建恰当的空间

直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出

平面的法向量；第四，破“应用公式关

3.BD

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将尸点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数.

易知，点P在矩形8CG片内部（含边界）.

对于A,当4=1时，BP='BC+^BBi=BC+^CCt,即此时Pe线段CC-△48/周长不是定

值，故A错误；

对于B,当〃=1时，丽=2前+%=函+X而，故此时P点轨迹为线段4G,而BCJ/BC,

4G〃平面ARC,则有P到平面48c的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当；1=；时，丽=!前+〃丽，取8C,8G中点分别为。，”，则丽=阳+〃丽，

所以P点轨迹为线段不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，4y,0,1,

\/

p（o,o,"）,8（0,g,0）,则乖=（-孝,0,〃_1,而=（0,-；,〃），丽•丽=〃（“T）=0,

所以〃=0或〃=1.故均满足，故C错误：

1——1---

对于D,当〃=5时，BP=ABC^--BB],取即，CG中点为此N.而=丽+之砺，所

以P点轨迹为线段设尸（0,%,；）因为4当,0,0,所以Q=（一乎,稣,；，

（3111

—4B=一^千3，51，—1\,所以;+；%—；=0n%=—5,此时尸与N重合，故D正确.

（乙乙）J乙乙N

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

4.(1)72

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得8c工平面建立空间直角坐标系，利用空间向

量法即可得解.

【详解】(1)在直三棱柱/BC-44G中，设点4到平面48c的距离为人

则匕-48C=；S.48C,"=a=〃-"BC=g.4/=g匕BC-A跖=:'

解得力=近，

所以点4到平面48c的距离为&；

(2)取48的中点E,连接ZE,如图，因为所以

又平面&BC±平面ABB}At,平面48Cc平面ABB^A、=A.B,

且/Eu平面/8与4,所以4£_L平面48C,

在直三棱柱ABC-A^C,中，BB}±平面ABC,

由8Cu平面48C,皮:匚平面/^^:可得川&^^。，BBJBC,

又AE,8片u平面N88/且相交，所以8。/平面4BB4,

所以8C,8484两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=6,所以44=48=2,A}B=2V2,所以8c=2,

则1(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点。(1,1,1),

贝IJ丽=(1,1,1),第=(0,2,0),就=(2,0,0),

—in-BD=x+v+z=0

设平面48。的一个法向量/n=(x),z),则—\,

''[m-BA=2ny=0

可取而=(1,0,-1),

设平面BOC的一个法向量〃=(a,b,c),贝lj{亦c八，

[n-BC=2a=0

可取；=(0,1,-1),

则”/---尸\丽mn二万1宝已1

所以二面角A-BD-C的正弦值为J1-j=*.

5.(1)证明过程见解析

(2)CF与平面/BO所成的角的正弦值为逑

7

【分析】(1)根据已知关系证明△48。也△C8。，得到=结合等腰三角形三线合一

得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据勾股定理逆用得到8EIDE,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则

进行计算即可.

（1）

因为=E为/C的中点，所以4CJ.DE；

在“BD和△CRD中，因为2。=CD,Z.ADB=NCDB,DB=DB,

所以也△C8D,所以/8=C8,又因为E为ZC的中点，所以

又因为。瓦8Eu平面8互＞,DEcBE=E,所以/C_L平面8E。，

因为ZCu平面/C。，所以平面瓦沙1.平面48.

（2）

连接EF,由（1）知，NC_L平面8EQ,因为EFu平面8ED,

所以/CLEF,所以S-FC=；4c-EF,

当时，E尸最小，即尸C的面积最小.

因为4ABD咨4CBD,所以C8==2,

又因为4c8=60。，所以ABC是等边三角形，

因为E为/C的中点，所以NE=EC=1,BE=6,

因为力所以。E=；ZC=1,

在AOEB中，DE2+BE2=BD-＞所以BEJ.DE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-初z,

则4（1,0,0）,8（0,百,0）,£＞（0,0,1）,所以亚=（-1,0,1）,荔=卜1,6,0卜

设平面48。的一个法向量为"=（x,y,z）,

n-AD--x+z-0

则取y=6则1=（3,仃,3）,

n-AB=-x+yf3y=0

又因为C（T0,0）,尸0卓:,所以酒卜当

设C尸与平面力8。所成的角的正弦值为

所以sin0='sCF）卜＞

所以5与平面48。所成的角的正弦值为逋.

6.(1)证明见解析:

⑵冬

【分析】(1)作。于E,CF上AB于-F,利用勾股定理证明4。/8。，根据线面垂

直的性质可得产。，8。，从而可得2。工平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

(1)

证明：在四边形/8C。中，作DE上AB于E,CFJ.AB于F,

因为CD//N8,4E>=CO=C5=1,45=2,

所以四边形N8CO为等腰梯形，

所以/E=8尸=1,

2

故DE=——■，BD=A/DE~+BE~=-^3，

^i^AD2+BD2=AB2，

所以月DqBD,

因为PZ)_L平面48cZ),8Ou平面Z8CZ),

所以POJ.BO,

又PDnAD=D，

所以8。/平面P4D,

又因为尸4u平面尸49,

所以8D_LP/；

(2)

解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

80=6，

则J(1,0,0),B(0,6,0),耳0,0,73),

则》=,丽=(0,$桶,DP=(0,0/3),

设平面尸N5的法向量3=(x,y,z),

,n-AP=-x+yfiz=0_,、

则有｛一二「，可取"=,

H-SP=-V3y+V3z=0

则"，加"牖害

所以PD与平面48所成角的正弦值为冬

7.(1)证明见解析

【分析】(1)连接80并延长交/C于点。，连接04、PD,根据三角形全等得到04=08,

再根据直角三角形的性质得到即可得到。为8。的中点从而得到0E//尸。，即可

得证：

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同

角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】(1)证明：连接80并延长交ZC于点。，连接。/、PD,

因为P0是三棱锥尸-Z5C的高，所以平面/8C,/。,8。＜=平面48。，

所以「。_LZ。、POLB0,

又PA=PB,所以△POAMMOB,即。4=08,所以=

又ABJ.AC,即N8/C=90°,所以/0Z5+N3。=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以N0O4=N(24D

所以/。=。0,即/。=。0=08,所以。为8。的中点，又E为总的中点，所以0E//PD,

又OEa平面P/C,尸。u平面P/C,

所以OE//平面P/C

p

（2）解：过点A作Zz〃OP,如图建立平面直角坐标系,

因为PO=3,AP=5,所以0/=尸2一尸=4,

又NOBA=NOBC=30°,所以8。=2。/=8,贝lJ/LD=4,AB=46

所以ZC=12,所以O（262,0）,川4"0,0）,网2百,2,3）,C（0,12,0）,

所以《3仃,1,£|,

则亚6而=（4百,0,0）,就=（0,12,0）,

n-AE=3>/3x+y+—z=0

设平面4E8的法向量为）=（xj,z）,则，"2，令z=2,则产-3,

万•布=4瓜=0

x=0,所以〃=(0,-3,2)；

-.—in-AE=3y/3a+b+—c=0

设,rl平面4EC的法向量为=(a,b,c),贝“2,

庆.衣=12b=0

令a=61则。=一6,b=0,所以加=(S\o,-6)；

n-m-12

所以C叫〃,叩=酮=而诉

13,

设二面角C-4E-8的大小为6,

所以sin。=Ji二寿）=1,即二面角C-/E-8的正弦值为

8.(1)证明见解析；

⑵答.

【分析】(1)过点E、。分别做直线DC、的垂线EG、。，并分别交于点G、H,由

平面知识易得FC=8C,再根据二面角的定义可知I,ZBCF=60°.由此可知，FN工BC,

FNICD,从而可证得平面力8c0,即得月V_L/。：

(2)由(1)可知尸N平面ABCD，过点N做48平行线NK,所以可以以点N为原点，NK,

NB、N?所在直线分别为x轴、》轴、z轴建立空间直角坐标系N-xyz,求出平面NDE的

一个法向量，以及两，即可利用线面角的向量公式解出.

【详解】(1)过点E、。分别做直线。C、的垂线EG、。，并分别交于点G、H.

V四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB!IDC,CDI/EF,AB=5,DC=3,EF=1,

/.BAD=Z.CDE=60°,由平面几何知识易知，

DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°,则四边形EFCG和四边形DCBH是矩

形，.,.在RtAEG。和,EG=DH=2日

VDC1CF,DC1CB,且C/cCB=C,

/.0c_L平面8c£N8CF是二面角尸-OC-8的平面角，则N8CF=60,，

二△BCF是正三角形，由。Cu平面力BCD,得平面/8CZ)平面■BCF,

♦.♦%是8。的中点，，可_1_8。，又DCL平面BCF,FNu平面8c尸，可得FNJ.C。，

而8CcCD=C,.•.尸N_L平面/BCD,而u平面/BCD，FN_L.

(2)因为尸平面/8CD,过点N做平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、

N尸所在直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系N-孙z,

(百3、

设4(5,百,0),8(0,百,0),。(3,-0,O),E(1,O,3),则M3,—，T

二百3

BM=3,j~，而=(-2,-R3,0),瓦=(-2八，3：

22

设平面4DE的法向量为斤=(xj,z)

n-AD=Og-2》-2底=0

由，——，得〈取斤=(3-i,5，

ii-DE^O-2x+\/3y+3z=0

设直线BM与平面ADE所成角为0,

9.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)取48的中点为K,连接”K,NK,可证平面A/KN〃平面BCC圈，从而可证历义〃

平面8。。囱.

(2)选①②均可证明平面/8C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间

向量可求线面角的正弦值.

【详解】(1)取的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱/BCFMG可得四边形”叫4为平行四边形，

而4加=MAt,BK=KA,则MK//BB,,

而MK<Z平面8CG4,84<=平面8。。田，故〃平面8CG31，

而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得NK〃平面8。。百，

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN//平面BCGB、,而MNu平面MKN,故MN//平面BCC圈,

（2）因为侧面8CCe为正方形，故C8L8用，

而CBu平面BCCA,平面CBB£，平面ABB,A},

平面CBBgc平面ABBtAt=BBt,故CB1平面ABB,A,,

因为NK//BC,故NK平面ABB}A},

因为/8u平面/8及4，故NK1AB,

若选①，则/8JLMV,而NK工4B,NKCMN=N,

故/平面A/NK,而MKu平面MVK,故48_L"K,

所以而CBLBB],CBc4B=B,故平面/8C,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,/（0,2,0）,N（l』,0）,A/（0,l,2）,

故加=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,丽=1,2）,

设平面5MH的法向量为〃=（x,y,z）,

n-BN-0fx+y=0—.、

则从而；.取z=-l,贝!J"=一2,2,—1,

=0&+2z=0''

设直线45与平面8MW所成的角为。，则

sin<9=|cos^,JB）|=y|j=|.

若选②，因为NK//5C,故NK_L平面力，而KWu平面A/KN,

故NKJ.KM,而B】M=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而3]B=MK=2,MB=MN,故ABB\MWAMKN,

所以NBB\M=ZMKN=90。，故1BB、,

而C4_1_，CBcAB=B,故88]_L平面43C,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,/（0,2,0）,N（l』,0）,M（0,l,2）,

故加=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,丽=@,1,2）,

设平面BMW的法向量为N=（x,y,z）,

则F,鬻从而：=°,取z=-l,则分=（-2,2,一1）,

\n-BM=0[y+2z=0'7

设直线48与平面所成的角为e,则

10.（1）证明见解析

4

⑵《

叵

10

【分析】（I）以点4为坐标原点，力/、4片、4G所在直线分别为X、夕、z轴建立空间

直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

（2）利用空间向量法可求得直线8E与平面CG。夹角的正弦值；

（3）利用空间向量法可求得平面4。与平面CC.D夹角的余弦值.

【详解】（1）证明:在直三棱柱ABC-A^C,中，e_L平面4洋G，且/C1例则4G144

以点4为坐标原点，/£、4G所在直线分别为x、>、z轴建立如下图所示的空间

则4（2,0,0）、8（2,2,0）、C（2,0,2）、4（0,0,0）、耳（0,0,2）、G（0,0,2）、D（0,1,0）,£（1,0,0）、

易知平面/8C的一个法向量为而=（1,0,0）,则加橘=0，故旃，而，

•••EF（2平面ABC,故EFH平面ABC.

（2）解：qc=（2,0,0）,电=（0,1,-2）,丽=（1,2,0）,

-C]C=2x=0

设平面CCQ的法向量为「=（%,必，4）,则]

U=必一24=0

._EB*u4

取凶=2,可得Z=（0,2,1）,COS<E5,M>=™^=-.

4

因此，直线BE与平面CG。夹角的正弦值为］.

（3）解：近=（2,0,2）,丽=（0,1,0）,

设平面A.CD的法向量为3=（々,必,Z2）,则”,竺=2々=°,

v'A{D=乃=0

-、--U•V1yj\0

取“1,可得则cos<"，v>=丽“一记

因此，平面4。与平面CG。夹角的余弦值为巫.

10

11.（1）证明见解析；（2）BQ=；

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标

系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进

而可以确定出答案；

【详解】（1）［方法一］：几何法

因为斯所以8尸_L48.

又因为月8,8月，BFcBB尸B,所以N84平面8CG4.又因为N8=8C=2,构造正方

体48CG-4AGG1,如图所示,

过E作的平行线分别与4G,8c交于其中点M,N,连接4M4"，

因为E,尸分别为NC和CG的中点，所以N是8c的中点，

易证RM8CFwRLB^BN,则/CBF=ZBB、N.

又因为NB4N+N4W?=90°,所以NCB~+N4M=90。，BFIB^N.

又因为所，44,4N「i44=4,所以BF,平面&A/N与.

又因为EOu平面4必\期，所以BFLDE.

［方法二］【最优解】：向量法

因为三棱柱/BC-/4G是直三棱柱，底面/8C,.,.班

•;AB&AB,BFJLAB】，；.BFLAB,又BB、CBF=B,.：481平面8CC向.所以名

两两垂直.

以B为坐标原点，分别以为所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

41

Bi

S（0,0,0）,^（2,0,0）,C（0,2,0）,M（0,0,2）,4（2,0,2）,G（0,2,2）,£（l,l,0）,F（0,2,1）.

由题设。（a,0,2）（0<a<2）.

因为丽=（0,2,1）,瓦=（l-a,1,-2）,

所以丽瓦=Ox（1-a）+2x1+lx（-2）=0,所以BF'DE.

［方法三I：因为8尸，44，AB出AB,所以"1",故旃•福=0,BF.AB=O,所

以

BFED=BF-^EB+BBt+Bp^^BFB^D+BF^EB+BB^=~BF-EB+BF-BB}

=JF\--BA--~BC\+JFJB,=--BFBA--JFBC+BFBB.=--JFBC+BF^B.

L22J'2212'

=-；|研因cos"8C+|研网cos/F网=-gxA2x^+5<2x£o,所以

BFLED.

(2)［方法一］【最优解】：向量法

设平面OEE的法向量为机=(x,y,2),

因为丽诙=(1-.,1,-2),

m-EF=01-x+y+z=0

所以即+y-2z=0'

in-DE=0

令z=2-a,则而=(3,1+a,2-a)

因为平面BCG用的法向量为瓦=(2,0,0),

设平面5。。也与平面DEF的二面角的平面角为9,

\ih.BA\63

则|cos0\=-_pz^i=---f,”='/,，.

|7w|-|5/i|2xy/2a2-2a+l4J2矿一2〃+14

127

当时，2/-2a+4取最小值为了，

3A/6

此时cose取最大值为^27--T.

所以(sin叽=卜闺一邛,此时如：

［方法二］:几何法

如图所示，延长E尸交4G的延长线于点s,联结QS交于点T,则平面。尸ECI平面

BBiCiC=FT.

7

,UP

c

作B1HLFT,垂足为H,因为，平面88£C,联结则4¥堀为平面与

平面。FE所成二面角的平面角.

设AO=f"e［0,2］，4T=s,过G作CJG//44交。S于点G.

崎亍4产。小小

B.DB.T-1—=»,

又指=苏，即扣一,)27,所以“3言.

B、HB,TB、Hss

又y=3即1=而匹彳，所以D'L］9w

所以DH同B\H、B\D。=4+;产儿工+5+/-

BD=

则sin皿明=而

+-

2

所以，当”;时，(sinZP/75,)^=y

［方法三］:投影法

如图，联结修，尸N,

立必尸在平面的投影为送人五，记面BBC。与面。然所成的二面角的平面角为巴

则cos”"

SgEF

设4。=(0金(2),在RtA。4尸中，DF={Bp+Bp=也2+5.

在RtAECF中，EFAEC+FC?=百，过。作4N的平行线交EN于点Q.

在RtADE。中，DE=y]QD2+EQ1=J5+(17)2.

DP2-1_PJ72_n/7213*+15(1+1)

在ADE尸中，由余弦定理得--------------

2DFEF3（『+5

2r-2/+14

sinZDFE="DFE=-DFEFsinZDFE=-也/-2/+14,S.NF=-,

3仔+5)'S.ADr£22ANr27

<?

/)A81NF3

cos0=——!—,sin"1---,

，N2(/2-r+7)

□GDFE，2『-2f+14

当f=；,即及。=；,面88CC与面。/芯所成的二面角的正弦值最小，最小值为也

【整体点评】第一问，方法…为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适

的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法

则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学

生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间