垂直于弦的直径课件

24.1.2垂直于弦的直径授课人王晓艳问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？O实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？活动一圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.探究圆的性质·OCD圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC,AD分别与BC、BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB几何语言表达：⌒⌒⌒⌒

巩固定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？·OABE探究：AB是⊙O的一条弦，直径CD与AB交于点E，AE=BE，能得出

CD⊥AB，AC=BC,AD=BD吗？CD⌒⌒⌒⌒垂径定理（推论）：平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,

并且平分这条弦所对的两段弧。“知二推三”

(1)过圆心

(2)垂直于弦

(3)平分弦

(4)平分弦所对的优弧

(5)平分弦所对的劣弧①CD是直径②CD⊥AB

③AE=BE⌒⌒④AC=BC⌒⌒⑤AD=BD.注意:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论。赵州桥·ABCD过点O作OC⊥AB于点D,交AB于点C,由垂径定理知?思考在Rt△ODA中，OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9O用AB表示主拱桥,设AB所在圆的圆心为O,半径为Rm解：则D是AB中点，C是AB的中点，CD就是拱高12AD=AB=18.7,OD=OC-CD=R-7.2如图AB=37.4,CD=7.2答：拱高所在圆的半径约是27.9m。例

如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。ABO讲解E例

已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO讲解例

已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解E小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOO·ABE变形2、CE=8,DE=2,则AB=

。DC变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离是

。变形3、CD=10,AB=8,则DE=

。382若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,∟练习1?想想一变形4、若⊙O的直径为10，弦AB=8，E是AB上任意一动点,则OE的最小值是

。O·AB3变形5、线段OE长的取值范围的是

。3≤OE≤5如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD平分AB，OE平分AC，求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB练习2∵OE过圆心且平分AC∴OE⊥AC

∴

∠OEA＝90°同理OD⊥AB

∠ODA＝90°又∵∠A＝90°在△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，