课时（二十一）任意角和弧度制及三角函数的概念作业

课时作业(二十一)任意角和弧度制及三角函数的概念一、单项选择题1．下列命题正确的是()A．－eq\f(3π,4)是第二象限角B．eq\f(4π,3)是第四象限角C．－400°是第三象限角D．－315°是第一象限角2．[2023·河南许昌月考]已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点A(4，0)，沿以O为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到点B，则点B的坐标为()A．(4cos∠AOB，4sin∠AOB)B．(4sin∠AOB，4cos∠AOB)C．(4|cos∠AOB|，4|sin∠AOB|)D．(4|sin∠AOB|，4|cos∠AOB|)3．若角α的终边过点P(8m，－3)，且tanα＝eq\f(3,4)，则m的值为()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)4．[2023·河北石家庄二中模拟]若角α满足sinα·cosα<0，cosα－sinα<0，则α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．[2023·山东滕州一中月考]已知角α的终边上一点P的坐标为(sineq\f(5π,6)，coseq\f(5π,6))，则角α的最小正值为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(7π,6)D．eq\f(5π,3)6．sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．大于等于07．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()8．[2023·安徽舒城模拟]在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为eq\r(3)，则弦AB所对的圆心角α是()A．α＝eq\r(3)B．α＝eq\f(π,3)C．α＝eq\f(π,6)D．α＝eq\f(2π,3)9．(能力题)[2023·湖北武汉模拟]已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边上一点P(sin3，cos3)，若0≤α≤2π，则α＝()A．3B．eq\f(π,2)－3C．eq\f(5π,2)－3D．3－eq\f(π,2)10．(能力题)[2023·广东广州模拟]为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离．如图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进(车身始终保持与地面垂直)，直到前轮与点B接触．经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方(以下图为观察视角)，且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为，则A，B两点之间的距离约为()(参考数值：π≈)A．．C．．二、多项选择题11．下列结论中不正确的是()A．终边经过点(a，－a)(a≠0)的角的集合是{α|α＝－eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是eq\f(π,3)C．若α是第一象限角，则eq\f(α,2)是第一象限角，2α为第一或第二象限角D．M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M⊆N12．(能力题)[2023·辽宁沈阳三十一中月考]已知θ是第二象限角，下列结论正确的是()A．tanθ<0B．sineq\f(θ,2)>coseq\f(θ,2)C．sinθ－cosθ的取值范围为(1，eq\r(2)]D．若扇形AOB的圆心角θ＝eq\f(2π,3)，半径r＝6，则扇形所含弓形的面积为12π－9eq\r(3)三、填空题13．终边在直线y＝x上的角α构成的集合可以表示为________．14．[2023·广东华南师大附中模拟]已知扇形的周长是2022cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________．四、解答题15．[2023·河北石家庄模拟]已知角θ的终边上有一点P(m，eq\r(2))(m≠0)，且cosθ＝eq\f(m,4).(1)求实数m的值；(2)求sinθ，tanθ的值．优生选做题16．[2023·山东日照模拟]《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为eq\f(7,2)平方米，则sin∠AOB＝________．17．[2023·江西新余一中模拟]如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－eq\f(4,5)，求sinα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈(0，eq\f(π,2)]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形).课时作业（二十一）任意角和弧度制及三角函数的概念1．解析：－eq\f(3π,4)是第三象限角，故A错误；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，从而eq\f(4π,3)是第三象限角，故B错误；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故C错误；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故D正确．故选D.答案：D2．解析：由三角函数的定义得，点B的坐标为（4cos∠AOB，4sin∠AOB）.故选A.答案：A3．解析：∵tanα＝eq\f(－3,8m)＝eq\f(3,4)，∴m＝－eq\f(1,2).故选A.答案：A4．解析：∵sinα·cosα<0，∴α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cosα<0，sinα>0，满足cosα－sinα<0；当α是第四象限角时，cosα>0，sinα<0，则cosα－sinα>0，不合题意；综上所述，α是第二象限角．故选B.答案：B5．解析：因为sineq\f(5π,6)>0，coseq\f(5π,6)<0，所以角α的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sinα＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故角α的最小正值为α＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).故选D.答案：D6．解析：因为eq\f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.所以sin2·cos3·tan4＜0.故选A.答案：A7．解析：当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范围相同；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范围相同．故选C.答案：C8．解析：连接圆心O与弦AB的中点C，由圆的性质可得OC⊥AB，在△ACO中，∠ACO＝90°，OA＝1，AC＝eq\f(\r(3),2)，所以sin∠AOC＝eq\f(AC,OA)＝eq\f(\r(3),2)，又0°<∠AOC<90°，所以∠AOC＝60°，所以∠AOB＝2∠AOC＝120°，所以α＝eq\f(2π,3).故选D.答案：D9．解析：因为角α的终边上一点P（sin3，cos3），所以tanα＝eq\f(cos3,sin3)＝eq\f(1,tan3)<0，又cos3<0，sin3>0，所以α为第四象限角，所以α＝2kπ＋eq\f(π,2)－3，k∈Z，又因0≤α≤2π，所以α＝eq\f(5π,2)－3.故选C.答案：C10．解析：由题意，前轮转动了（10＋eq\f(1,3)）圈，所以A，B两点之间的距离约为（10＋eq\f(1,3)）×2π×＝≈×≈19.47m.故选D.答案：D11．解析：对于选项A：终边经过点（a，－a）（a≠0）的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是{α|α＝－eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}，A正确；对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是－eq\f(π,3)，B错误；对于选项C：若α＝400°⇒eq\f(α,2)＝200°，eq\f(α,2)不是第一象限角，C错误；对于选项D：M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝（2k＋1）×45°，k∈Z}，而（2k＋1）×45°，k∈Z表示45°的奇数倍，N＝{y|y＝90°＋k×45°，k∈Z}＝{y|y＝（k＋2）×45°，k∈Z}，而（k＋2）×45°，k∈Z表示45°的整数倍，所以M⊆N，D正确．故选BC.答案：BC12．解析：因为θ是第二象限角，所以tanθ<0，A正确；若eq\f(θ,2)∈（eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2)）时，由三角函数线知：sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2)，B错误；因为θ是第二象限角，则sinθ>0、cosθ<0且sinθ－cosθ>1，（sinθ－cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ≤2（sin2θ＋cos2θ）＝2，所以sinθ－cosθ≤eq\r(2)，当且仅当θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z时取等号，C正确；扇形所含弓形的面积为eq\f(1,2)（eq\f(2π,3)×36－6eq\r(3)×3）＝12π－9eq\r(3)，D正确．故选ACD.答案：ACD13．解析：∵角α的终边在直线y＝x上，∴角α的终边在一、三象限的角平分线上，∴α＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.答案：{α|α＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}14．解析：设扇形的弧长为l，半径为r，则l＋2r＝2022，∴S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)·（2022－2r）·r＝－r（r－1011），∴当r＝eq\f(1011,2)，l＝1011时，扇形面积最大时，此时|α|＝eq\f(l,r)＝2.答案：215．解析：（1）由三角函数的定义有，cosθ＝eq\f(m,\r(m2＋2))＝eq\f(m,4)，解得m＝±eq\r(14).故实数m的值为±eq\r(14).（2）①当m＝eq\r(14)时，sinθ＝eq\f(\r(2),\r(14＋2))＝eq\f(\r(2),4)，tanθ＝eq\f(\r(2),\r(14))＝eq\f(\r(7),7)，②当m＝－eq\r(14)时，sinθ＝eq\f(\r(2),\r(14＋2))＝eq\f(\r(2),4)，tanθ＝eq\f(\r(2),－\r(14))＝－eq\f(\r(7),7).16．解析：如图所示，AB＝6，OA＝R，CO＝d，由题意可得：S＝eq\f(1,2)[6×（R－d）＋（R－d）2]＝eq\f(7,2)，解得R－d＝1，R－d＝－7（舍）.因为R2－d2＝32＝9，可得R＝5，d＝4，所以sin∠COA＝eq\f(3,5)，cos∠COA＝eq\f(4,5)，所以sin∠AOB＝2×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(24,25).答案：eq\f(24,25)17．解析：（1）因为角α的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－eq\f(4,5)，因为B在x轴上方，所以点B的坐标为（－eq\f(4,5)，eq\f(3,5)）.由三角函数的定义，可得sinα＝eq\f(3,5).（2）当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则B（coseq\f(π,3)，sineq\f(π,3)），即B（eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)），所以α＝∠AOB＝eq\f(π,3)，即与角α终边相同的角β的集合{β|β＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z}．（3）弓形AB的