2014秋版数学九上4 7一元二次方程应用课件

列方程解应用题的步骤？审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及题目要求什么；找：找等量关系式，即题目中给出的能够表达应用题全部含义的一个相等关系；设：是指设元，也就是设未知数；列：就是列方程，根据等量关系式列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：就是解方程，求出未知数的值；检验：列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去；答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．2例1、如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段长为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．分析：根据长方形面积公式，运用长×宽=125列出方程，即可求得答案．在方程中墙壁的长度30m没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过30m，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则矩形的另一条边长为

35-x

m．2根据题意，得

x

35

-

x

=1252整理，得x-35x+250=O．解这个方程，得x1=10，x2=25．当x=10时，35-x

=12.5；

当x=25时，35-x

=5．均合题意2

2答：矩形空地的长和宽分别是12.5m和10m或25m和5m（一）几何中面积、长度问题例2

如图所示，一架长为10

m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶

A端A处到地面的距离为8m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2m，那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？A’CB

B’分析：首先设出未知数，其次再根据勾股定理列出方程．∵

AB＝10

m，AC＝8

m，∴

根据勾股定理得：BC＝6（m）．解：设梯子的底端在地面上滑动的距离BB′为x

m．根据题意，得（8－2）2＋（6＋x）2＝102．答：梯子的底端在地面上滑动的距离是2

m．AA’化简，得x2＋12x－28＝0．．解得x1＝2，x2＝－14（不合题意，舍去）．CB

B’例3

在宽为20

m、长为32

m

的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540

m

2，道路的宽应为多少？20米32米分析：如图所

示，此题的相

等关系是矩形

面积减去道路

面积等于540m2.32米解法一 设道路的宽为

xm，则横向的路面面积为

32xm

2，纵向的路面面积为

20xm

2，道路面积为（32x＋20x－x2）m

2．根据题意得：32×20－（32x＋20x－x2）＝540．化简得，x2－52x＋100＝0．解得，x1＝2，x2＝50．其中的x＝50

超出了原矩形的长和宽，应舍去．答：所求道路的宽为2m．20米解法二：见下图，设路宽为x

m，则此时耕地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕地矩形的宽（纵向）为（20－x）m．20米32米32米解法二设路宽为x

m，则耕地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕地矩形的宽（纵向）为（20－x）m．根据题意得：（32－x）（20－x）＝540．解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）．（以下步骤同解法一）20米小结解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20

m、长为32m”这个条件，从而进行正确取舍．总结解决此类问题必须具备良好的几何概念知识，熟悉长度，面积，体积等公式。有时需要通过平移的方法来解决问题。常见问题：挖沟的宽度，制作盒子。1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.练习：20解:设这个矩形的长为xcm,则宽为(

-

x)

cm,20

2x(

-x)=30

即x2-10x+30=02这里a=1,b=－10,c=30,\

b2

-

4ac

=

(-10)2

-

4

·1·30

=

-20

<

0∴此方程无解.∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.练习：1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?解:设苗圃的一边长为xm,则x(18

-

x)

=

81化简得，x2

-18x

+

81

=

0\

(x-9)2

=

0\

x1

=

x2

=

9答:应围成一个边长为9米的正方形.（二）数字与方程1.

一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.解:设这两位数的个位数字为x,根据题意,得x2

=10(x

-

3)+

x.整理得x2

-11x

+30

=0.解得x1

=

5,

x2

=

6.\x

-3

=5

-3

=2,或x

-3

=6

-3

=3.答:这个两位数为25,或36.2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.解:设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得10

5

-

x)+

x]

10x

+

5

-

x)]=

736.整理得x2

-5x

+6

=0.解得x1

=

2,

x2

=

3.\5

-x=5

-2

=3,或5

-x

=5

-3

=2.答:这两个数为32或23.2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)

2增长21%aa+21%aa(1+x)

2

=a+21%a例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为

a）分析：设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则（三）增长率问题解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x)

2

=a+21%aa

(1+x)

2

=1.21

a(1+x)

2

=1.211+x

=1.1x

=0.1答:平均每年增长的百分率为10%

．例2.某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？解：设这种药品平均每次降价的百分率是x．根据题意，得200(1－x)2＝128．解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：这种药品平均每次降价20%．总结平均增长率问题中的基本数量关系为A（1+X）n=B(A为始量，B为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率)类似的还有平均降低率问题中的基本数量关系为A（1-X）n=B(A为始量，B为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率)对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与一般性的增加和减少相混淆．练习:)A.500(1+2x)=720C.500(1+x2)=720B.500(1+x)2=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为

.1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(

B21．长沙市某楼盘准备以每平方米5

000

元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4

050

元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率；某人准备以开盘均价购买一套100

平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8

折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？422．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007

年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009

年底，全市的汽车拥有量已达216

万辆．求2007

年底至2009

年底该市汽车拥有量的年平均增长率；为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011

年底全市汽车拥有量不超过231.96

万辆；另据估计，从2010

年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆？（四）储蓄问题利率的

，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率5例1.王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后，取出了

300元捐给了灾区，剩下的200元和应得的利息又全部按一年定期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次存款年3解：第一次存款的年利率为x，根据题意，可得方程：5整理，得20x2+8x-1＝0．解得x1＝0.1=10％，x2＝-0.5(舍去)．因此第一次存款的年利率是10%3x

[500(1+

x)-

300]=15例1.

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（五）销售问题分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可以通过列表的方式来分析其中的数量关系．每天的销售量（件）每件衬衫的盈利（元）总利润（元）降价前2040800降价后20＋2x40－x1200解：设每件衬衫应降价x

元，根据题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200．整理得：x2－30x＋200＝0．解得，x1＝10，x2＝20．答：每件衬衫应降价10

元或20

元．例2（2010南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性

清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降

低x元．（1）填表（不需化简）：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？分析：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8080－x40销售量（件）200200＋10x800－200－（200＋10x）解：设为了获利9000

元，第二个月每件T

恤的售价应定为（80－x）元，即每件T

恤降价x

元，根据题意得：80×200

＋（80－x）（200＋10x）＋[800－200－（200＋10x）]

×40－50×800＝9000．整理得：x2－20x＋100＝0．解得，x1＝x2＝10．当x＝10

时，80－x＝70＞50．答：第二个月的单价应为70元．六）运动与方程（开启 智慧31

2\x

=20

;x

=-10(不合题意,舍去).1.

某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶200m需要多长时间?解:根据题意,得3t

2

+10t

=

200.整理得:3t

2

+10t

-

200

=

0,解得:3答:行驶200m需要20

s(约6.7s).（七）动态几何问题例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点

B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿PBQ的面积等于8cm2？BACDQP解：设x秒后⊿PBQ的面积等于8cm2根据题意，得整理，得122x

(6

-

x)

=

82x

-

6x

+8

=

0解这个方程，得

x1

=

2,

x2

=

4

0

£

x

£

6所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm2例2：等腰直角⊿ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?RBAP解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x根据题意得：x

(8-x)=16整理得：x2

-8x

+16

=0解这个方程得：x1

=

x2

=

4答：当AP

=4cm时，四边形面积为16cm2C

Q（八）假设存在问题例1

有一根长为120

cm的绳子．能否围成一个面积是500

cm2的矩形？能否围成一个面积是1000

cm2的矩形？

分析：在解决这一类存在问题时，一般先假设

面积是500

cm2和1000

cm2的矩形存在，再根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明符合条件的矩形存在；如果方程无解，则说明符合条件的矩形不存在．解：设这根绳子围成的矩形的长是xcm，则宽是（60－x）cm．（1）如果矩形的面积是500cm2，那么根据题意得：x（60－x）＝500．化简得，x2－60x＋500＝0．

解得x1＝10，x2＝50．当x1＝10

时，60－x1＝50当x2＝50

时，60－x2＝10．答：长为

120

cm

的绳子能围成面积是500

cm2

的矩形．（2）如果矩形的面积是1000cm2，那么根据题意得：x（60－x）＝1000．化简得，x2－60x＋1000＝0．∵b2－4ac＝（－60）2－4×1×1000＝3600－4000＝－400＜0，∴此方程没有实数解．答：长为120cm的绳子不能围成面积是1000

cm2

的矩形．解决存在性问题的一般步骤是：先假设问题存在或成立，然后根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明假设成立；如果方程无解，则说明假设不成立．小结（九）统计问题例:在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，问参加这次聚会的人数是多少？分析：对这个问题，我们可以作这样的假设：如果有x