2017新人教B版高中数学选修2-3全册学案

目录

令1.1.1基本计数原理学案

令1.1.2基本计数原理的应用学案

令1.2.1.1排列及排列数公式学案

令1.2.1.2排列的综合应用学案

令1.2.2.1组合及组合数公式学案

令L2.2.2组合的综合应用学案

令1.3.1二项式定理学案

令1.3.2杨辉三角学案

令第1章计数原理章末分层突破学案

令2.1.1离散型随机变量学案

令2.1.2离散型随机变量的分布列学案

令2.1.3超几何分布学案

令2.2.1条件概率学案

令2.2.2事件的独立性学案

令2.2.3独立重复试验与二项分布学案

令2.3.1离散型随机变量的数学期望学案

令2.3.2离散型随机变量的方差学案

令2.4正态分布学案

令第2章概率章末分层突破学案

令3.1独立性检验学案

令3.2回归分析学案

令统计案例章末分层突破学案

2

基本计数原理

I学习目标导航

1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.（重点）

2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分

步”.（易混点）

3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.（难点）

阶段1认知预习质疑（知识梳理於点初次）

［基础•初探］

教材整理1分类加法计数原理

阅读教材P3中间部分，完成下列问题.

做一件事，完成它有〃类办法，在第一类办法中有砌种不同的方法，在第二类办法中

有股种不同的方法……在第n类办法中有隔种不同的方法.那么完成这件事共有N=n+nk

■I1■典,种不同的方法.

-----------0微体验0-----------

判断（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（）

（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（）

（3）从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4

班.若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种.（）

（4）某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选•个班级担任星期一早晨升旗

任务，安排方法共有14种.（）

【解析】（l）X在分类加法计数原理中，分类标准是统•的，两类不同方案中的方

法是不能相同的.

（2）V在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故

每类方案中的每种方法都能完成这些事.

（3）V由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3+4=7（种）不同的交通方式.

（4）V根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是

高二年级，因此安排方法共有8+6=14（种）.

【答案】⑴义（2）V（3）V（4）V

教材整理2分步乘法计数原理

3

阅读教材P3后半部分内容，完成下列问题.

做一件事，完成它需要分成〃个步骤，做第一个步骤有⑶种不同的方法，做第二个步

骤有汲种不同的方法……做第n个步骤有屈种不同的方法.那么完成这件事共有N=

irhXimX…X.m“种不同的方法.

-------------------0微体验0-------------------

判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()

(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成

这件事.()

(3)已知zG｛2,3,7｝,H｛-3,-4,8｝，则厂/可表示不同的值的个数为9个.()

(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况

共有4,种.()

【解析】(1)V因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各

不相同.

(2)X因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件

事，只有各步都完成了，这件事才算完成.

(3)V因为x从集合｛2,3,7｝中任取一个值共有3个不同的值，y从集合｛—3,-4,8)

中任取一个值共有3个不同的值，故y可表示3X3=9个不同的值.

(4)X因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有3,种

不同的夺冠情况.

【答案】⑴J(2)X(3)J(4)X

［质疑•手记］

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：____________________________________________________________

解惑：____________________________________________________________

疑问2：_____________________________________________________________

解惑：____________________________________________________________

疑问3：_____________________________________________________________

解惑：____________________________________________________________

阶段2介作探究通关(分组讨论疑难细究)

［小组合作型］

类型1

分类加法计数原理的应用

4

》例口（1）从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5

人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？

（2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

【精彩点拨】（1）按所选组长来自不同年级为分类标准.（2）按个位（或十位）取0〜9

不同的数字进行分类.

【自主解答】（1）分四类：

从一班中选一人，有4种选法；

从二班中选一人，有5种选法；

从三班中选一人，有6种选法；

从四班中选一人，有7种选法.

共有不同选法A-4+5+6+7=22种.

（2）法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足

题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数

原理知，符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.

法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分

别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足

条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.

1.应用分类加法计数原理解题的策略

（1）标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法.

（2）不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏.

（3）方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.

2.利用分类加法计数原理解题的一般思路

.1将完成这件事的

\分类/~►方法分蛤干类

［再练一题］

1.（1）某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（）

A.1种B.2种

5

c.3种D.4种

(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.

若从三个袋子中任取1个小球，有种不同的取法.

【导学号：62980000］

【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买

方式共有2+1=3种.故选C.

(2)有3类不同方案：

第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；

第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；

第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.

其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成”任取1个小球”这

件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6+5+4=15种.

【答案】(DC(2)15

Ik今关

分步乘法计数原理的应用

》例以一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号

盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？

【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一

个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理.

［自主:解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：

第一步，有10种拨号方式，所以加=10；

第二步，有10种拨号方式，所以也=10；

第三步，有10种拨号方式，所以za=10；

第四步，有10种拨号方式，所以周=10.

根据分步乘法计数原理，共可以组成八-10X10X10X10=10000个四位数的号码.

1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才

算完成这件事情，每个步骤缺一不可.

2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路

(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；

(2)计数：求出每一步中的方法数；

(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.

［再练一题］

6

2.张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期

储蓄，另一部分用来购买国债.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国

债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种.问：张涛共有多少种不同的理财方式？

【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成.

第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；

第2步，用另•部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择•种

理财方式.

山分步乘法计数原理，得2X3=6种.

［探究共研型］

探究点

两个计数原理的辨析

探究1某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐,

试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？

【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最

后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成.而只选出“一荤一素”不能算“完成这件

事”.

探究2在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？

【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成.只配荤菜、素菜、汤中的一种或

两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事.

探究3在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分

别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘

法计数原理的主要区别吗？

【提示】5种素菜分别记为4B,C,D,£3种汤分别记为a,b,c.

利用分类加法计数原理求解：

以选用5种不同的素菜分类：

选素菜力时，汤有3种选法；选素菜6时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法;

选素菜〃时，汤有3种选法；选素菜£时，汤有3种选法.故由加法计数原理，配成“一素

一汤”的套餐共有3+3+3+3+3=15（种）不同的套餐.

利用分步乘法计数原理求解：

第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；

第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法.

由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5X3=15（种）不同套餐.

两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方

法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完

7

成这件事.

》例目有4B,C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，

甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作。型电脑，而丁只会操作/型电脑.从这4个操

作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？

【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题

分类，可分为4类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步”.

(自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作。型电脑，分2步安排这

3人操作电脑，有2X2=4种方法；

第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作力型电脑，这时安排3人操作电脑，有2

种方法；

第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有一1种方法；

第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.

根据分类加法计数原理，共有4+2+1+1=8种选派方法.

名师I幡障

r~

1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：

(1)完成一件事需要经过〃个步骤，缺一不可；

(2)完成每一步有若干种方法；

(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.

2.利用分步乘法计数原理应注意：

(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉.

(3)若完成某件事情需〃步，则必须依次完成这〃个步骤后，这件事情才算完成.

［再练一题］

3.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手

机卡.

(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？

(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少

种不同的取法？

【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；

第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.

根据分类加法计数原理，共有10+12=22种取法.

(2)第•步，从第•个袋子取一张移动卡，共有10种取法；

第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分步乘法计数原理，共有

8

10X12=120种取法

［构建•体系］

两

俨完成件平需分解

,I分类加法计数胸，

成昔卜类来完成

il-'

疑

磔

完成一件事需分解

四分步乘法it数娱刖

成心r6来完成

阶段3体验落实评价（课堂回馈即时达标）

1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套,

则不同的配法种数为（）

【导学号：62980001]

A.7B.12

C.64D.81

【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法,再从3条长裤中任选一条共3种选法,

由分步乘法计数原理,上衣与长裤配成一套共4X3=12（种）不同配法.故选B.

【答案】B

2.从4地到6地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车

发4次，轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（）

A.1+14-1—3B.3+4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不对

【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车,

从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3

+4+2=9种不同的走法.

【答案】B

3.从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分

数的个数是——，其中真分数的个数是_______.

【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4

种方法，共有5X4=20个分数.产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真

分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1,共有4+3+2+1=10

个真分数.

【答案】2010

4.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有条.

【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定

出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4X3=12条.

【答案】12

9

5.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休

（1）若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有几种坐法？

（2）若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？

【解】（1）小明爸爸选凳子可以分两类：

第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；

第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.

根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8+6=14（种）坐法.

（2）小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：

第一步，小明先就坐，从东西面共8+6=14（个）凳子中选一个坐下，共有14种坐法;

（小明坐下后，空闲凳子数变成13）

第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.

由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14X13=182（种）坐法.

励志］

r---------

我还有这些不足：

（1）

（2）

我的课下提升方案：

（1）

（2）

学业分层测评

（建议用时：45分钟）

［学业达标］

一、选择题

1.如图1-1-1所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有（）

A.6条B.5条

C.9条D.4条

【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条.由分类加法

计数原理知，从左到右通电的线路共有3+2=5条.

10

【答案】B

2.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车

的停车方法共有（）

A.96种B.24种

C.120种D.12种

【解析】先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数

原理知共有4X4X3X2X1=96种.

【答案】A

3.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）

【导学号：62980002]

A.5^种B.35种

C.8种D.15种

【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3X3X3X3X3

=3$种投法.

【答案】B

4.如果x,yGN,且1〈启3,什人7,则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（）

A.15B.12

C.5D.4

【解析】利用分类加法计数原理.

当x=l时，y=0,1,2,3,4,5,有6个；当x=2时，y=0,1,2,3,4,有5个；当x=3

时，尸0,1,2,3,有4个.据分类加法计数原理可得，共有6+5+4=15个.

【答案】A

5.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程/x+-0的系数46的值，则

形成的不同直线有（）

A.18条B.20条

C.25条D.10条

【解析】第一步，取力的值，有5种取法；第二步，取6的值，有4种取法，其中当

A—\,Q2时与1=2,Q4时是相同的方程；当4=2,氏=1时与4=4,42忖是相同的

方程，故共有5X4-2=18条.

【答案】A

二、填空题

/y

6.椭圆一+2=1的焦点在y轴上，且勿玉{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,5,6,7},则满足

mn

题意的椭圆的个数为.

11

【解析】因为焦点在y轴上，所以0〈欣"，考虑必依次取1,2,3,4,5时;符合条件的

n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6+5+4+3

+2=20个.

【答案】20

7.某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，

如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为.

【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个

新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，

共有插入方法：6X7=42(种).

【答案】42

8.如图1-1-2,小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标

注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点8向结点A传递信息，

信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为.

图1-1-2

【解析】依题意，首先找出8到4的路线，一共有4条，分别是比的，信息量最大

为3；跖%，信息量最大为4：BFGA,信息量最大为6；BHGA,信息量最大为6.由分类加法

计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.

【答案】19

三、解答题

9.有不同的红球8个，不同的白球7个.

(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？

(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？

【解】(1)山分类加法计数原理，从中任取一个球共有8+7=15(种).

(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8义7=56(种).

10.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，0型血的共有28人，A型血的共有7人,

B型血的共有9人，AB型血的共有3人.

(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

【解】从0型血的人中选1人有28种不同的选法；

从A型血的人中选1人有7种不同的选法；

从B型血的人中选1人有9种不同的选法；

12

从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.

（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，”任选1人去献血”这件事情都

可以完成，所以用分类加法计数原理.有28+7+9+3=47种不同的选法.

（2）要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去

献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理.

有28X7X9X3=5292种不同的选法.

［能力提升］

1.一植物园参观路径如图1-1-3所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路

线种数共有（）

A.6种B.8种

C.36种D.48种

【解析】由题意知在/点可先参观区域1,也可先参观区域2或3,

每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6

个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下-一步走法，有

4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原

理，共有6X4X2=48种不同的参观路线.

【答案】D

2.某市汽车牌照号码（由4个数字和1个字母组成）可以上网自编，但规定从左到右第二

个号码只能从字母8C,〃中选择，其他四个号码可以从。〜9这十个数字中选择（数字可以

重复）.某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在

1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有（）

【导学号：62980003］

A.180种B.360种

C.720种D.960种

【解析】分五步完成，第，步取第，个号码（£=1,2,3,4,5）.由分步乘法计数原理，

可得车牌号码共有5X3X4X4X4=960种.

【答案】D

3.直线方程若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B

的值，则可表示一条不同的直线.

【解析】若1或6中有一个为零时，有2条：当4回0时有5X4=20条，故共有20

13

+2=22条不同的直线.

【答案】22

4.已知集合，仁｛-3,-2,-1,0,1,2),P(a,6)表示平面上的点(a,师册,

(1)户可以表示平面上的多少个不同点？

(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？

(3)户可以表示多少个不在直线y=x上的点？

【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，6的取法有6种.由分步乘法

计数原理知，。可以表示平面上的6义6=36(个)不同点.

(2)根据条件需满足a<0,b>0.

完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，6的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P

可以表示平面上的3X2=6(个)第二象限的点.

(3)因为点夕不在直线尸x上，所以第一步a的取法有6种，第二步6的取法有5种，

根据分步乘法计数原理可知，户可以表示6义5=30(个)不在直线y=x上的点.

14

基本计数原理的应用

学习目标导航

1.熟练应用两个计数原理.（重点）

2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题.（难点）

阶段1认知预习质疑（知识梳理要点初探）

［基础・初探］

教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别

阅读教材P」〜P5,完成下列问题.

分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理

联系两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题

完成一件事共有"类办法，关完成一件事共分〃个步骤，关键词是

区别一

键词是“分类”“分步”

任何一步都不能独立完成这件事，缺少

区别二每类办法都能完成这件事任何一步也不能完成这件事，只有每个

步骤都完成了，才能完成这件事

各类办法都是互斥的、并列的、

区别三各步之间是相互关联的、互相依存的

独立的

。微体验6

1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为

【解析】山题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4X3X2=24.

【答案】24

2.E+az+as）（b+友+&）（CI+Q+CS+CI）展开后共有项.

【导学号：62980004］

【解析】该展开式中每一项的因式分别来自ai+4+a3,+th,ci+a+a+a

中的各一项.由a,国中取一项共3种取法，从4,b，,左中取一项有3种不同取法，从

a,Q,C3,a中任取一项共4种不同的取法.由分步乘法计数原理知，该展开式共3X3X4

=36（项）.

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【答案】36

3.5名班委进行分工，其中4不适合当班长，6只适合当学习委员，则不同的分工方案

种数为.

【解析】根据题意，6只适合当学习委员，有1种情况，力不适合当班长，也不能当

学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3X2X1=6种情况，由分步

乘法计数原理，可得共有1X3X6=18种分工方案.

【答案】18

4.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相

邻，这样的四位数有个.

【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，

把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2

个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.故有3X3X2=18个不同的四位数.

【答案】18

［质疑•手记］

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：____________________________________________________________

解惑：____________________________________________________________

疑问2：____________________________________________________________

解惑：____________________________________________________________

疑问3：____________________________________________________________

解惑：____________________________________________________________

阶段2合作探究通关（分组讨论疑难细究）

［小组合作型］

类型1

抽取（分配）问题

》例口（1）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必

须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）

A.16种B.18种

C.37种D.48种

（2）甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取••张不是自己的贺卡，则不

同取法的种数有.

【精彩点拨】（1）由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接

法求解.

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（2）先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽.

【白主解答】（1）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有4,种

不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有3：'种不同的分配方案.则满足条件的不同的分

配方案有43—3^=37（种）.故选C.

（2）不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种

取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3X3X1义1=9（种）.

【答案】（DC（2）9

指律

求解抽取（分配）问题的方法

1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.

2.当涉及对象数目很大时，•般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或

分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符

合条件的抽取方法数即可.

［再练一题］

1.3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？

【解】法—（以小球为研究对象）分三步来完成：

第一步：放第一个小球有5种选择；

第二步：放第二个小球有4种选择；

第三步：放第三个小球有3种选择.

根据分步乘法计数原理得：

共有方法数45X4X3=60.

法二（以盒子为研究对象）盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类：

第一类：空盒子标号为（1,2）：选法有3X2X1=6（种）：

第二类：空盒子标号为（1,3）：选法有3X2XI=6（种）；

第三类：空盒子标号为（1,4）：选法有3义2义1=6（种）；

分类还有以下几种情况:空盒子标号分别为（1,5）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,

（4,5）,共10类，每一类都有6种方法.

根据分类加法计数原理得，共有方法数/仁6+6+…+6=60（种）.

类型2

组数问题

卜例❷用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的

（D银行存折的四位密码；

⑵四位整数；

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（3）比2000大的四位偶数.

【精彩点拨】（1）用分步乘法计数原理求解（1）问；（2）0不能作首位，优先排首位，

用分步乘法计数原理求解；（3）可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四

类解决，也可以用间接法求解.

【自主解答】（1）分步解决.

第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；

第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；

第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；

第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法.

由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有

6X5X4X3=360（个）.

（2）分步解决.

第一步：首位数字有5种选取方法；

第二步：百位数字有5种选取方法；

第三步：十位数字有4种选取方法；

第四步：个位数字有3种选取方法.

由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有

5X5X4X3=300（个）.

（3）法一按末位是0,2,4分为三类：

第一类：末位是0的有4X4X3=48个；

第二类：末位是2的有3X4X3=36个：

第三类：末位是4的有3X4X3=36个.

则由分类加法计数原理有八-48+36+36=120（个）.

法二按千位是2,3,4,5分四类：

第一类：千位是2的有2X4X3=24（个）；

第二类：千位是3的有3X4X3=36（个）；

第三类：千位是4的有2X4X3=24（个）；

第四类：千位是5的有3X4X3=36（个）.

则由分类加法计数原理有*=24+36+24+36=120（个）.

法三间接法.

用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：

第一类：末位是0的有5X4X3=60个；

第二类：末位是2或4的有2X4X4X3=96个.

共有60+96=156（个）.

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其中比2000小的有:千位是1的共有3X4X3=36（个）,

所以符合条件的四位偶数共有156—36=120（个）.

1.对于组数问题，一般按特殊位置（•般是末位和首位）山谁占领分类，分类中再按特殊

位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.

2.解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘,排数时，

要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.

［再练一题］

2.由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：

【导学号：62980005］

（1）无重复数字的三位数？

（2）可以有重复数字的三位数？

【解】（1）0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个

位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3X3X2=18（个）.

（2）百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择.

由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3义4X4=48（个）.

［探究共研型］

探究点

涂色问题

探究1用3种不同颜色填涂图1-1-4中A,B,C,〃四个区域，且使相邻区域不同色,

若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？

A\B\C\D

图1-1-4

【提示】涂4区有3种涂法，B,C,〃区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原

理将4B,C,〃四个区域涂色共有3X2X2X2=24（种）不同方案.

探究2在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂4B,C,〃四个区域，那么哪些区域

必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？

【提示】恰用3种不同颜色涂四个区域，则4C区域，或4〃区域，或6,〃区域

必同色.由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3X2X1+3X2X1+3X2X1

=18（种）不同的方案.

探究3在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有

多少种不同的涂色方案？

【提示】若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则。区域必同色，月.从〃区域必同

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色.先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2