2022年北京第一五九中学高三数学理期末试卷含解析

2022年北京第一五九中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果复数为纯虚数，那么实数的值为（

）A．－2 B．1 C．2 D．1或－2参考答案：解析：

即，故选择答案A2.已知i是虚数单位，则复数的虚部等于A.

B.

C.

D．1参考答案：D略3.有下列命题：①设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；②命题“若，则”的逆否命题是：若；③若是假命题，则都是假命题；④命题P：“”的否定：“”则上述命题中为真命题的是（

）A．①②③④

B．②④

C．

①③④

D．②③④参考答案：B4.“a=﹣l”是“直线（a﹣1）x﹣y﹣l=0与直线2x﹣ay+l=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．解答：解：当a=0时，两直线分别分别为﹣x﹣y﹣1=0，2x+1=0，此时两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足，由得a=2或a=﹣1（舍），故“a=﹣l”是“直线（a﹣1）x﹣y﹣l=0与直线2x﹣ay+l=0平行”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出a的取值是解决本题的关键．5.△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tanA与tanB相等，根据A和B都为三角形的内角，得到A与B相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：根据正弦定理：=化简已知等式得：=，即tanA=tanB，由A和B都为三角形的内角，得到A=B，则△ABC一定为等腰三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理．学生做题时注意角度A和B都为三角形的内角这个条件．6.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B.C. D.参考答案：C四棱锥的表面积为7.（6）直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（A）1

（B）2

（C）4

（D）参考答案：C8.已知对任意实数x．都有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（﹣x）＞0，则x＜0时有（）A．f′（x）＞0，g′（﹣x）＞0 B．f′（x）＞0，g′（﹣x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（﹣x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（﹣x）＜0参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义．【分析】由已知先判断函数的奇偶性及当x＞0时的单调性，根据函数的奇偶性的对称性及单调性，即可得出答案．【解答】解：∵对任意实数x，都有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），∴函数f（x）是奇函数，g（﹣x）是偶函数．我们知道：奇函数的图象关于原点对称，其单调性在x＞0与x＜0时相同；偶函数的图象关于y轴对称，其单调性在x＞0与x＜0时相反；又∵当x＞0时，f′（x）＞0，g′（﹣x）＞0，∴当x＜0时，f′（x）＞0，g′（﹣x）＜0．故选：B．9.直线l过抛物线E：的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（

）A．13

B．

C．

D．参考答案：C由题意，得直线l的方程为x=2，将化为，由定积分的几何意义，得所求部分分面积为．

10.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（

）

A．l1和l2有交点（s，t）

B．l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）

C．l1与l2必定平行

D．l1与l2必定重合参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对任意A中任取两个元素，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且集合A中存在一个非零常数m，使得对任意，都有x*m=x，则称m是集合A的“钉子”.集合的“钉子”为

．参考答案：412.已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sinα=+cosα，即sinα﹣cosα=，∴===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．13.锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积是

．参考答案：由正弦定理得，所以，即，所以，又由余弦定理得，所以，所以△的面积．14.双曲线的焦距为

__

，渐近线方程为__

．参考答案：，；15.设复数为实数时，则实数的值是____________.参考答案：3略16.当时，恒成立，则实数的取值范围为

▲

．参考答案：17.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：.参考答案：（1）

当时，在上是增函数

当时，在上是减函数，在上是增函数（2）有两个零点，∴只需，即，∴设在上是增函数，且∴存在使得∴时，

∴的最小正数为3略19.已知M=，试计算参考答案：解：矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，而，所以略20.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,不等式的解集为.(1)求；(2)当时,证明:.参考答案：【知识点】不等式的证明；带绝对值的函数．N4（1）；（2）见解析解析：（1）解不等式：

或

或或或，.

（2）需证明：，只需证明，即需证明。证明：，所以原不等式成立.【思路点拨】（1）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（2）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；（2）设为正数，且，求证：.参考答案：综上，>。………6分22.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD