2021年福建省福州市台江职业中学高三数学文月考试卷含解析

2021年福建省福州市台江职业中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点一定位于区间（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：，故零点位于.考点：零点与二分法．2.要得到函数y=cos（2x+1）的图象，可以将函数y=cos（2x﹣1）的图象(

) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答： 解：将函数y=cos（2x﹣1）的图象向左平移1个单位，可得函数y=cos[2（x+1）﹣1]=cos（2x+1）的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．3.若i为虚数单位，m,nR，且=n+i

则|m-n|=A.0

B.1

C.2

D.3

参考答案：D略4.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像(

)A.向左平移个单位

B.向右平移个单位C.向左平移个单位

D.向右平移个单位参考答案：D5.设复数满足，则=(

) A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】复数的基本概念与运算L4，可得z==2-i,=2+i【思路点拨】直接化简复数方程，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，求出复数即可．6.已知定义在R上的函数在区间[0,+∞)上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（）A. B. C. D.(4,+∞)参考答案：C【分析】由题意可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，可将已知不等式转为，可得a的取值范围．【详解】根据题意，的图象关于对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，则，即，解得：，即a的取值范围为；故选：C．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法，属于基础题.7.已知a=（－3，2），b=（－1，0），向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为A.－

B.

C.－

D.参考答案：A8.已知函数在上的解析式为，则函数在上的零点的个数为

（）

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C9.（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（A）21

（B）20

（C）19

（D）18参考答案：B解析：由++=105得即，由=99得即

，∴，，由得，选B10.函数的反函数是

（

）(A)．

(B)

．(C)．

(D)．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列中，若，，则=______.参考答案：912.已知菱形ABCD中，对角线AC＝，BD＝1，P是AD边上的动点（包括端点），则的取值范围为_______．参考答案：【分析】由AC⊥BD得，以对角线BD，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，设P（x，y），.由可得，代入，根据二次函数的性质可求取值范围.【详解】由AC⊥BD得，以对角线BD，AC分别为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝，BD＝1，∴，∵P是AD边上的动点，设P（x，y），，，∵，∵∴根据二次函数的性质可知，当x＝时，最小值为.当x＝时，最大值为.所以，的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.13.在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是

；变量的最大值是

.参考答案：答案:，9

14.抛物线的焦点坐标为

．

参考答案：略15.函数在

处取得极小值.参考答案：由得：，列表得：↗极大值↘极小值↗所以在处取得极小值.16.已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=参考答案：60°考点： 余弦定理．专题： 计算题．分析： 利用a2+b2﹣c2=ab，代入到余弦定理中求得cosC的值，进而求得C解答： 解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==∴C=60°故答案为60°点评： 本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题17.若函数，则的值域为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（Ⅱ）若对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解出各个阶段上的x的范围，取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题等价于|a+3|≤2a，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）＜1就是|x﹣3|﹣|x+2|＜1．当x＜﹣2时，3﹣x+x+2＜1，得5＜1，不成立；当﹣2≤x＜3时，3﹣x﹣x﹣2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；当x≥3时，x﹣3﹣x﹣2＜1，即﹣5＜1，恒成立，所以x≥3．综上可知，不等式f（x）＜1的解集是（0，+∞）．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|≤|（x﹣3）﹣（x+a）|=|a+3|，所以f（x）的最大值为|a+3|．对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立等价于|a+3|≤2a．当a≥﹣3时，a+3≤2a，得a≥3；当a＜﹣3时，﹣a﹣3≤2a，a≥﹣1，不成立．综上，所求a的取值范围是[3，+∞）…【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．19.已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若，证明：当时，.参考答案：（1），由得.由得，得，所以函数只有极小值.（2）不等式等价于，由（1）得：，所以，所以，，令，则，令,则,当时，，所以，所以，所以在上为减函数，所以，则，所以在上为减函数，因此，，因为，而，所以，所以，而，所以.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，分别为线段AB，BC上的点，且，，.（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角.参考答案：解:（1）证明：连接，由题意知…………………（2分）,则,…………………（4分）又因为，所以因为，都在平面内，所以平面……………………（6分）（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，且与平面所成的角为，有，……………（7分）则∴因为………………（8分）由（1）知平面，∴平面∴为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则∴，令，则，∴为平面的一个法向量.……………（10分）∴…………（11分）故平面与平面的锐二面角的余弦值为,所以平面与平面的锐二面角为…………（12分）

21.如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．参考答案：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，又BC与AB交于点B∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（3）点B到平面MAC的距离．略22.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且（1）求角C的大小；（2）若，求的取值范围参考答案：(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直得到数量积为零，可得；利用正弦定理进行边角关系式化简