材料力学马红艳弯曲习题课

弯曲内力、弯曲应力、弯曲变形习题课作剪力图弯矩图的两种方法 要求：根据外力画内力图 平面刚架内力图弯曲正应力强度条件弯曲变形计算要求:

熟练叠加法求位移

，掌握简单静不定梁解法一、内力分析的重要性强度计算的基础判断危险截面；计算各点应力。变形计算的基础微段变形计算；构件变形及位移计算。其他力学问题计算的基础如稳定、能量方法、动荷等可以说------不会内力分析，就不能进行力学计算。二、内力分析的基本方法截面法计算某截面的内力；求内力方程。描述方法

代数方程；内力图------会画，会看，会校核。可以说------能否熟练绘制和利用内力图，是是否掌握内力分析的标志三、作剪力图弯矩图的方法方法1—根据FS,M

方程作图选坐标系——列方程——作FS

,M图优点：逻辑关系清晰缺点：方程表达不唯一，费时繁琐方法2—根据FS

,M和q的微分关系作图优点：可根据外力直接画内力，便于作图，也便于校对FS

,M

与q

的微分关系d

x

d

FS

=

qSd

xd

M

=

F=

qd

x

2d2

M剪力方程的一阶导数等于外分布载荷集度函数；剪力图某点的斜率等于该点分布载荷集度值。=

qd

FSd

x弯矩方程的一阶导数等于剪力方程；弯矩图某点斜率等于该点剪力值。Sd

xd

M

=

F四、指定截面内力的计算方法截面法直接法微分关系法由Sd

xd

M

=

F可得dM

=

FS

dx积分BBA

AF

d

xd

M

=SMB

－MA

=AS

——

A，B

间FS

图面积MB

=

MA

＋ASB截面的弯矩，等于A截面的弯矩加上

A,B两截面之间剪力图面积（代数量）。FSABxdxAaaaa2qaq0.5

qa2.

5

qaqaEDCBa五、铰接梁的内力图qa/23qa/2qaqaFSqa2/2qa2/2qa2MMqDCBAaqaqqaFSqa六、校核FA=qa

aFB=2qaaqaqa22qa22七、平面刚架的内力图F2F1横梁刚结点立柱平面刚架内力图的画法无需建立坐标系；控制截面、微分关系；弯矩图及数值标在受压侧，不写正负号；轴力、剪力图画在里侧和外侧均可，需标出正负号；注意节点处的平衡关系。习题5-13(c)作图示刚架的内力图2.5FN(kN)17.5ACB20kN1.5m1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kN例

题FS(kN)152.517.5ACB20kN1.5m1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kN例

题26.2522.5M(kN.m)ACB20kN1.5m

1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kNACB20kN1.5m1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kN26.2522.5M(kN.m)FS

(kN)152.517.52.5FN(kN)17.5CBAx0lFMF

x0F l

-

x

0

)4Mx0/l

的合理值八、移动载荷问题04F

(l

-

x0

)

=

Fx=

1l

5x0BAlMMC危险截面的位置移动载荷问题（习题5-11）llA

1F

=

F

(1

-

x

)

+

F

(1

-

x

+

a

)CF2F1aDxMDFAFBl

l1

2=

[F

(1

-

x

)

+

F

(1

-

x

+

a

)]x1

2l

l=

(F

x

+

F

x

+

a

)(

x

+

a)MD

=

FB

(l

-

x

-

a)MMCMDmaxM

截面的位置:

C

或

D=

0dxdMC=

0dxdMDMmax截面的位置:

F1

,

F2中大的力作用点所在的截面ll2x

+

aF

=

F

x

+

FB

1

2MC

=

FA

xs

=

M

yIz弯曲正应力沿截面高度线性分布：中性轴上为零，距中性轴越远，数值越大。中性轴九.梁的应力1.弯曲正应力（纯弯曲，横力弯曲）2.

弯曲正应力强度条件£

[s

]zWs

=

M

maxmaxyhbFS矩形截面切应力的分布τ

沿截面高度按抛物线规律分布IzbF

S

*t

=

S

z

2hy

=–

（上、下边缘）

τ

=0y=0（中性轴）2

A3

FStmax

=tmaxzyτA*h

-

y23.弯曲切应力公式图中力F是否使梁产生平面弯曲？yzFyzFyzFyz非对称截面梁平面弯曲的条件：外力平行于形心主惯性平面 保证Iyz=0（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转图中力F使梁产生平面弯曲，同时还产生扭转。弯曲中心的意义AFMC4.提高弯曲强度的措施以弯曲正应力为主。选用合理的截面形状（增大Iz

,Wz）；采用变截面梁；合理安排梁的受力（减小Mmax）；采用复合材料。Iz=

M

ys依据zWM

maxs

max

=(1)

选择合理的截面形状由

Mmax≤[σ]Wz

,

W/A越大越合理hzhdhb0.167h0.125d

(0.27～0.31)h中性轴附近截面的应力很小，材料未充分发挥作用，应该少用材料；合理截面形状：尽量使材料远离中性轴。选择合理的截面形状习题6-5dbhWz越大越合理bh2

b(d

2

-

b2

)=6=

0dbWz

=dWz6d

2

-

3b

2

=

03db

=32dh

=

d

2

-

b2

=2\bh

=[s

]6336Md 2d

2bh2z‡

max

=W

=d

‡

0.227m对于[σt]≠[σc]的材料，应使σtmax=[σt],σcmax=[σc],

如铸铁选择合理的截面形状(2)

采用变截面梁不同截面的弯矩是不同的，可使梁的截面按照弯矩的变化规律变化，弯矩大的截面，横截面积也大些。q0.2

l0.2

l(3)

合理安排梁的受力合理安排支座减小最大弯矩M0.6

lql240ql

250ql

250qlql

28Mq28合理加载合理安排梁的受力FFl

4q

=

F

lFl8F8FlFFlM避免集中力作用在简支梁的跨中。(4)采用复合材料夹层梁zy木钢钢思考木板、竹筒为什么会因弯曲而劈裂？最大弯曲切应力是否一定位于中性轴上？构件内一点无论受力如何，同时满足条件σmax

≤[σ]

,

τmax

≤

[τ],是否一定满足强度要求？用钢绳起吊长为l的钢筋混凝土梁,为使梁在自重作用下不产生正弯矩,则布置起吊点时,应使a的最小值为

。la

a选项l/5;l/6;l/3;l/4;正确答案：D2

l

=

0=

ql

(

l

-

a)

-

ql2

2

2

4Mqa

2C=

MBM

A

=ABCEIw"

=

M1.

挠曲线近似微分方程十.

弯曲变形2.画挠曲线大致形状依据1.约束条件；2.载荷情况；3.

凹凸情况——由w″即M的正负号决定；4.

光滑连续特性。已知梁的弯矩图如图所示，关于梁变形的下列结论中不一定正确的是

。正确答案：C选项ABCD梁上载荷为集中力AC段下凸，CB段上凸

A,B截面的挠度等于零

C截面的曲率等于零+—ABCalxABCDq画挠曲线大致形状aqa28Mqa22BCAq画挠曲线大致形状qa22Me

=拐点a

aqa28Mqa22画挠曲线大致形状aABCqqa22Me

=拐点aqa28Mqa22alxABCDqqa

228a2qaM怎样用叠加法确定qC

和wB

?3.叠加法计算梁的位移BCAqqa22Me

=a

a自己练习qw

Bq384EI5

(2a)24=

-qACa

aqa

2M

e

=

2aABCaBCAqqa22Me

=a

awBqBwBM怎样用叠加法确定wB

?wB

=

wBq+

wBMwBM16EI(

2

)(2a)2qa

2=5qa4=

-

48EIa4=

8EIwB

=

wBq+

wBM(›=

48EIa

4自己练习wBq384EI=

2

qABCa

awBq怎样用叠加法确定wBq

?5

·

q

(2a)4(fl=

48EI5qa

4q/2aABCaaABCq/2q/2a图示二梁EI、l均相等，但载荷不同。根据叠加法可以断定二梁跨中挠度的关系是

。正确答案：C选项wc1>wc2；wc1<wc2；wc1=wc2；不能确定。aq

ABCaaqABCawC1wC2自己练习wC384EI=

2

qACBa

awC怎样用叠加法确定wC

?5

·

q

(2a)4(fl=

48EI5qa

4q/2aACBaaACBq/2q/2a自己练习wC384EI=

2

qACBa

awC怎样用叠加法确定wC

?5

·

q

(2a)4(fl=

48EI5qa

4q/2aACBaaCBaq/2q/2A图示梁弯曲时,靠近固定端的一段与大半径的刚性圆柱面贴合,随着F

力增大,梁内的最大弯矩

。正确答案：A选项保持不变;线性减小;非线性减小;逐渐增大。FRr

EI1

=

M如图所示二等直梁截面和材料相同，在自由端受力后弯曲成同心弧，则二梁所受力为

。正确答案：C选项大小相同的顺时针力偶大小相同的向下集中力大小不同的顺时针力偶大小不同的向下集中力ＣＢADＯ二梁的弯曲正应力哪个大1

=

Mr

EI正确答案：C一等直钢梁放在刚性地面上，在梁端Ａ处以集中力F将梁的一部分提起，其余部分CB仍与刚性平面贴和．则C截面的内力有以下几种可能（１）剪力等于零（２）剪力不等于零（３）弯矩等于零（４）弯矩不等于零其中正确的答案是

。BFAC选项ABCD（1），（3）（1），（4）（2），（3）（2），（4）=

C

1

MrC

EI=

0

1

rCMC

=

0十一．简单静不定梁BACAFB例题解：1.

判断

一次超静定建立相当系统几何方程wB

=

wBq+wBF

=

⊿l4.

物理方程已知：EI

,EA

,I=Al

2/3求：杆的轴力,作梁的M

图Bq8EIql

4w

=BF3EI3w

=

-

FN

llABCqEAD

l

=

FN

lBClEIlEAq

FNA

BFN例题wB=

wBq+wBF

=

⊿lM165ql

25129ql

2wBq8EIql

4=wBF3EIF l

3=

-

N

ql

4

F

l

3

F

l8EI

3EI

EA-

N

=

N

6.作M

图16N\

F

=

3

qllABCqEA5.

补充方程并求解D

l

=

FN

l3Al

2I

=BClABEIlEAq

FNFN讨论简化计算的一些方法小变形概念的运用；对称性的利用；相当系统的选择。1.应用小变形概念可以推知某些未知量：FxA＝FxB=

0AlqBFyAFxAMAFyBFxBFxA=

FxB=

0

,FyA=

FyB=ql/

2

,MA=MBAlqBFyAFxAMAFyBFxBMB2.应用对称性分析可以推知某些未知量：例题AlqBAlqBFyB+

qB

(M

B

)=

0qB

=

qB

(q)+

qB2+-Ml

2ql6EI

2EI

EIql

3-

B

=

03.相当系统的选取与变形协调条件的建立(1)FyBFxB(

)¿=

122qlMBqA或qB

=

0qA

=

qA

(q)+qA

(M

A

)+qA

(M

B

)=

0相当系统的选取与变形协调条件的建立(2)AlqBBACqlMAMB-24EI

3EI

6EIql

3

M

l

M

L+

A

-

B

=

0ql

2=

12M

A

=

MBAlqBBACqlM