九年级数学上学期期末复习知识点总结

九年级数学上学期期末复习知识点总结

初三数学上册期末复习资料加经典例题第一章、图形与证明（二）（一）知识框架1.等腰三角形-等腰三角形的性质和判定-等边三角形的性质和判定-线段的垂直平分线的性质和判定-角的平分线的性质和判定注意：若等边三角形的边长为a，则：其高为：$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。2.直角三角形全等的判定：HL平行四边形的性质和判定：4个判定定理3.平行四边形-矩形的性质和判定-菱形的性质和判定：3个判定定理-正方形的性质和判定：2个判定定理注意：(1)中点四边形①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是中点四边形；②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是中点四边形；③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是中点四边形；④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是中点四边形。(2)菱形的面积公式：$S=ab$（a,b是两条对角线的长）4.等腰梯形的性质和判定注意：(1)解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。即需要掌握常作的辅助线。(2)梯形的面积公式：$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（其中，$h$为中位线长）5.中位线-三角形的中位线-梯形的中位线注意：梯形的中位线长为上底和下底的平均数。（二）知识详解2.1、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）2.2、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。2.3、线段的垂直平分线(1)线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。(2)三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。2.4角平分线角平分线具有以下性质：从角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定定理为：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三条角平分线的性质定理为：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。使用尺规作图法可以作出角平分线。2.5直角三角形勾股定理及其逆定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理为：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形全等的判定定理为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。2.6几种特殊四边形的性质矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质如下表所示。2.7几种特殊四边形的判定方法平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两条对角线互相平分、两组对角分别相等。矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定方法如下表所示。2.8三角形的中位线三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段。其性质为：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。需要注意的是，三角形的中位线与中线是不同的概念。2.9梯形的中位线梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。需要注意的是，中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。例题1：本题没有给出具体问题，无法判断命题正确的个数。如果一个三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形，因为等角对等边。等腰钝角三角形也是轴对称图形。如果一个直角三角形有一个内角为30°，则另一个内角为60°，因此这个三角形也是等腰三角形，是轴对称图形。同样地，如果一个三角形有一个内角为30°，一个内角为120°，则另一个内角为30°，这个三角形也是等腰三角形，是轴对称图形。因此，选项C正确。等腰三角形的特点是有两条边相等，直角三角形不一定具有的特点是顶角平分线垂直于底边。因此，选项B正确。根据等腰三角形的性质，底边上的高垂直平分底边，因此底边的高为3，面积为1/2*8*3=12。因此，答案为12。根据图1，由于AF平分∠BAD，因此∠BAF=∠DAF。因为ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD。因此，∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠FC。因此，∠CEF=∠FC，因此CE=CF。因此，第一部分证明了CE=CF。根据图2，因为∠BAF=∠DAF，所以∠BAC=2∠BAF。因为∠BAD=180°-∠BAC，所以∠BAD=2∠BAF。因此，∠BAF=∠FAD，所以∠BDF=2∠BAD=360°/8=45°。因此，第二部分答案为45°。根据图3，因为AB∥DC，所以∠ECF=∠ABC=120°。因为FG∥CE且FG=CE，所以四边形CEGF是平行四边形，因此CE=CF。因为四边形CEGF是平行四边形，所以∠GCE=∠FGE。因为∠ECF=120°，所以∠GCF=∠GCE+∠ECF/2=60°。因为CE=CF，所以∠FCG=∠GCF=60°。因此，∠DGB=180°-∠FGB-∠FBD=180°-60°-45°=75°。因此，第三部分答案为75°。1.由已知条件可得，三角形ECG是等边三角形，因为∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°。所以，EG=CG（①），且∠GEC=∠EGC=60°。又因为∠GEC=∠GCF，所以∠BEG=∠DCG（②）。根据AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，因此AB=BE。在平行四边形ABCD中，AB=DC，所以BE=DC（③）。由①②③可得，△BEG≌△DCG，因此BG=DG。又因为∠1=∠2，所以∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°。由180°－∠BGD可得∠BDG=180°－∠BGD=120°。2.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。因为AD∥BC，所以∠BDC=180°－∠CDA。又因为AB=DC，所以∠BDC=∠ADC。因此∠ADC=180°－∠CDA。由三角形的内角和可得∠BAC=∠BDC。又因为E、F、M、N分别是AB、AC、BD、AC的中点，所以EF∥MN且EF=MN。因此EF与MN互相垂直平分。3.一元二次方程是一个含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。一元二次方程的解法有直接开平方法和配方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。当b≥0时，x+a=±√b，x=-a±√b；当b<0时，方程没有实数根。配方法的一般步骤是先将方程化为完全平方形式，再利用二次方程的解法求解。一元二次方程的根的情况是：当△>0时，方程有两个不相等的实根；当△=0时，方程有两个相等的实根；当△<0时，方程无实根。一元二次方程还可以通过等量关系、系数关系和数量关系等应用于实际问题中，列出一元二次方程求解。1.将方程ax^2+bx+c=(a≠0)两边同时除以a，将二次项系数化为1。2.将所得方程的常数项移到方程的右边。3.所得方程的两边都加上一次项系数的一半的平方。4.配方，化成(x+a)^2=b。5.开方。当b≥0时，x=-a±√b；当b<0时，方程没有实数根。公式法是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax^2+bx+c=(a≠0)的求根公式为：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。因式分解法适用于一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积的情况。根的判别式是指一元二次方程ax^2+bx+c=(a≠0)的根的判别式，即b^2-4ac。当b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b^2-4ac<0时，方程没有实数根。如果一元二次方程ax^2+bx+c=(a≠0)的两个实数根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。例题1：C是一元二次方程，其他选项不是。例题2：(1)配方后解得x1=-2+√5，x2=-2-√5；(2)根据根的判别式，当b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，所以对于任意实数m，方程都有两个不相等的实数根。例题3：(1)由已知可得m=1，方程的另一根为2；(2)根据根的判别式可知，对于任意实数m，方程都有两个不相等的实数根。2、圆是平面内所有到圆心距离相等的点的集合。二、圆的基本性质1、圆的直径是圆上最长的一条弦，它等于圆的半径的两倍。2、圆的任意一条弦都不能超过圆的直径。3、圆的任意一条弦都可以将圆分成两个弧，其中较长的弧对应的是较长的弦。4、圆的任意两条弦所对应的弧，长度相等的弦所对应的弧也相等。5、圆的任意两条弦所对应的弧，长度不等的弦所对应的弧也不等。6、圆心角是圆上任意两点和圆心所对应的角，它所对应的弧就是这两点所在的弧。7、圆周角是圆上任意两点所对应的角，它所对应的弧就是这两点所在的弧。8、圆的任意两条弦所对应的圆心角相等，而且它们所对应的弧相等。9、圆的任意两条弦所对应的圆周角相等，而且它们所对应的弧的长度比也相等。10、圆的直径上的任意一点与圆上任意一点连线所得到的线段都是直角三角形的斜边。三、圆的位置关系1、点在圆上的条件是它到圆心的距离等于圆的半径。2、点在圆内的条件是它到圆心的距离小于圆的半径。3、点在圆外的条件是它到圆心的距离大于圆的半径。4、两个圆的位置关系有相离、相切和相交三种情况。四、圆的相关计算1、圆的周长公式：$C=2\pir$，其中$r$为圆的半径。2、圆的面积公式：$S=\pir^2$，其中$r$为圆的半径。3、扇形的面积公式：$S=\frac{1}{2}r^2\theta$，其中$r$为圆的半径，$\theta$为扇形的圆心角（弧度制）。4、圆环的面积公式：$S=\pi(R^2-r^2)$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径。5、圆锥的侧面积公式：$S=\pirl$，其中$r$为圆锥的底面半径，$l$为斜高。6、圆锥的全面积公式：$S=\pir(r+l)$，其中$r$为圆锥的底面半径，$l$为斜高。轨迹形式的概念包括：圆、垂直平分线、角的平分线、到直线的距离相等的点的轨迹、到两条平行线距离相等的点的轨迹。例如，圆可以定义为到定点距离等于定长的点的轨迹，其中定点为圆心，定长为半径。点与圆的位置关系可以分为三种情况：点在圆内、点在圆上、点在圆外。其中，点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。直线与圆的位置关系可以分为三种情况：相离、相切、相交。其中，相切的情况下有一个交点，距离等于半径；相交的情况下有两个交点，距离小于半径。圆与圆的位置关系可以分为五种情况：外离、外切、相交、内切、内含。其中，外切的情况下有一个交点，距离等于两个圆的半径之和；内切的情况下有一个交点，距离等于两个圆的半径之差；相交的情况下有两个交点，距离在两个圆的半径之差和之和之间。垂径定理指出，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。根据推论1，平分弦的直径垂直于弦，弦的垂直平分线经过圆心，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并平分弦所对的另一条弧。推论2指出，圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆心角定理指出，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。根据1推3定理，只要知道其中一个相等，则可以推出其它三个结论。七、圆周角定理圆周角定理是指同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。换句话说，在一个圆中，如果有两个角所对的弧相同，那么这两个角的大小也相同。此外，圆周角定理还有一些推论，比如同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆或直径所对的圆周角是直角等等。八、圆内接四边形圆内接四边形定理是指一个圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。也就是说，在一个圆中，如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形的对角线互相垂直且和为180度。此外，圆内接四边形定理还有一个推论，即如果一个四边形是内接四边形，那么它的对角线交点就是这个圆的圆心。九、切线的性质与判定定理切线的判定定理是指过半径外端且垂直于半径的直线是切线。也就是说，在一个圆中，如果一条直线过圆心并且垂直于半径，那么这条直线就是这个圆的切线。此外，切线还有一些性质，比如切线垂直于过切点的半径，过圆心垂直于切线的直线必过切点等等。十、切线长定理切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。也就是说，在一个圆中，如果从圆外一点引两条切线，那么这两条切线的长度相等，而且这两条切线与圆心的连线夹角相等。十一、两圆公共弦定理两圆公共弦定理是指两个圆的圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。也就是说，在两个圆中，如果它们有一条公共弦，那么这两个圆的圆心连线与这条公共弦垂直且平分这条公共弦。十二、圆内正多边形的计算圆内正多边形的计算是指如何计算一个圆内接正多边形的各个角度和边长。对于正三角形来说，它的三个顶点都在圆上，且每个角都是120度。对于其他的正多边形来说，可以通过一些公式计算出它们的角度和边长。关于正三角形、正四边形、正六边形的计算公式：对于正三角形，我们可以在直角三角形Rt△OBD中进行计算，其中OD:BD:OB=1:3:2。对于正四边形，同理，我们可以在直角三角形Rt△OAE中进行计算，其中OE:AE:OA=1:1:2。对于正六边形，同理，我们可以在直角三角形Rt△OAB中进行计算，其中AB:OB:OA=1:3:2。关于扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式：对于扇形，我们有弧长公式和扇形面积公式，其中弧长公式为l=nπR/180，扇形面积公式为S=1/2nπR^2。对于圆锥，我们可以利用侧面展开图来计算表面积和底面积，其中表面积为S表=πRr+πr^2，体积为V=1/3πr^2h。最后，我们比较了圆柱和圆锥的面积和体积计算公式，可以看出它们的计算公式有很大的不同。例题1中，我们需要确定圆形截面的半径，可以通过垂径定理和直角三角形的性质来解决。首先，我们可以画出圆形截面图，并在其中作出垂线CD，由题意可知CD=4cm。然后，我们可以利用勾股定理在Rt△BOD中求出OD的长度，从而得出圆形截面的半径。例题2中，我们需要求出角度DAB的大小，可以通过圆心角与圆周角之间的关系来解决。由于∠AOC=80°，所以∠BOC=160°，从而得出∠B=4°。又因为AD∥BC，所以∠DAB=∠B=40°。例题3、已知AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（）分析：根据圆的基本性质，直径所对的圆心角为180度，即∠ACB=180度。又因为BC=CD=DA，所以∠BCD为正多边形内角和，即∠BCD=(180+60)=120度。解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=180度∵BC=CD=DA，∴BC=CD=DA∴∠BCD=(180+60)=120度答案：C例题4、如图，四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，已知AB=BC=1/4，AD=1，求CD的长。分析：连接BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E。根据相似三角形的性质，得到△EBC∽△EDA。又因为AD是⊙O的直径，所以∠ABD=90度，从而得到△ABD≌△EBD，得到DE=AD。利用△EBC∽△EDA，可以先求出CE的长，进而求出CD的长。解：延长AB、DC交于E点，连接BD∵AB=BC=1/4，AD=4/16=1/4∴AB=BC，AD=4∴∠ADB=∠EDB∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90度，又∵BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD∴△EBC∽△EDA∴BC/CE=AD/DE∴CE=BC×DE/AD=(1/4)×4/1=1∴CD=DE-CE=4-1=3答案：3例题5、如图，四边形ABCD是矩形（AB>CD），以BC为直径作半圆O，过点D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。分析：根据矩形的性质，B