薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计论文

-23-薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：学院：航空学院姓名：学号：班级：薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结弹性力学中的基本假定连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。在物体内的任一点P，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。根据平衡条件即可建立方程。分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程，可证明切应力的互等性： (1-1)(2)分别以为投影轴，列出投影的平衡方程，，，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下 (1-1)图1-1图1-1物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，如图1-2所示。当四面体PABC无限减小而趋于P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。图1-2图1-2命平面ABC的外法线为，则其方向余弦为三角形ABC上的全应力在坐标轴上的投影用代表.根据四面体的平衡条件进行推到，可以得出 (1-2) 设三角形ABC上的正应力为，则，将式1-2代入，并分别用代替，即得 (1-3)设三角形ABC上的切应力为，则由于，得 (1-4） 由式1-3和1-4可见，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC是物体上受面力作用的边界面，则成为面力分量，于是由式1-2得空间问题的应力边界条件 (1-5)应力状态有三种表示方式如下:(1)如图1-2,在图中表示(2)应力状态矩阵该矩阵为一对称阵。应力向量物体内任一点的应变状态过空间一点P所有方向上的线应变和角应变的集合称为P点的应变状态，通过该点作三个相互垂直的线元。该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了P点的应变状态。三个线应变为，三个角应变为：.应变状态的表示方式如下:向量形式(2)矩阵形式几何方程和物理方程空间问题的几何方程 （1-6）几何方程的矩阵形式为（在V内），其中L为微分算子空间问题的物理方程，在材料力学中根据胡克定律导出如下(1-7)，，，(1-7)，，(1-8)根据关系，其中为体应变，为体积应力，与间的比例常数称为体积模量，可推得物理方程的另一种形式(1-8)物理方程的矩阵形式为或，其中D为弹性矩阵，C为柔度矩阵，两矩阵为互逆关系。边界条件根据物体内任一点的应力状态可得空间问题的应力边界条件，即式1-5空间问题的位移边界条件为 (1-9)按位移求解空间问题按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程，再将该弹性方程代入平衡微分方程得按位移求解时所需用的基本微分方程。按应力求解空间问题按应力求解空间问题，是取应力分量为基本未知函数。对空间问题来说就是，就是要从15个基本方程中消去位移分量和形变分量，得出只包含6个应力分量方程，进行求解。板弯问题基本概念及微分方程有关概念(1)在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，或简称板，如下图所示。这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。两个板边之间的厚度称为板的厚度，而平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称为中面。如果板的厚度远小于中面的最小尺寸b，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。(2)当薄板受有一般载荷时，总可以把每个载荷分解为两个分载荷，一个是平行于中面的所谓纵向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。对于纵向载荷，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以按平面应力问题进行计算。横向载荷将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。(3)薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。这里只讨论薄板的小挠度弯曲理论。薄板弯曲问题的计算假定为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假定外，还补充提出了3个计算假定。垂直于中面方向的线应变，即可以不计。取，则又几何方程中的，从而得。即横向位移只是x，y的函数，不随z而变。因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。应力分量和远小于其余3个应力分量，因而是次要的，它们所引起的变形可以不计（注意：这三个次要应力分量本身都是维持平衡所必需的，不能不计）。因为不计及所引起的形变，所以有，。于是由几何方程1-6可以得。从而得 (2-1)由于，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。在上述计算假定中虽然采用了，但在以后考虑平衡条件时，仍然必须计入3个次要的应力分量和。因此，在薄板的小挠度弯曲理论中，放弃了关于和的物理方程。因为不计所引起的形变，所以薄板的物理方程成为 (2-2)(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即。因为，所以由上式得出中面内的形变分量均为零，即 (2-3)也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的投影形状却保持不变。3、将纵向位移，各应变分量和应力分量分别都用挠度w来表示薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度作为基本未知函数。(1)将纵向位移u，v用挠度w表示。由得由计算假定(1-3)，得。于是纵向位移表示为 (2)将主要应变分量用w表示。把①中所得的u,v代入几何方程中的对应项得 (a)(3)将主要应力分量用w表示。由薄板的物理方程2-2求解应力分量得 (b)把式a中所得应力分量代入上式得 (2-4)(4)将次要应力分量用w表示。可以应用平衡微分方程的前两式进行求解，且因为不存在纵向载荷，体力分量，由此得把的表达式2-4代入得 其中引用记号。将上两式对z积分，得，其中，可根据薄板的上、下板面的边界条件来求出，即，应用这两个边界条件求出以后，即得的表达式 (2-5)(5)将更次要应力分量用w表示。应用平衡微分方程1-1的第三式，取体力分量为0，得 (c)如果体力分量,可以把薄板的每单位面积内的体力和面力都归入到上板面的面力中去，一并用q表示，即 (d)这只会对最次要的应力分量引起误差，对其它的应力分量则没有影响。注意，将这两个应力分量的表达式代入式(c)，得对z进行积分，得到 (e)其中待定函数可以由薄板的下版面的边界条件来确定，即将式(e)代入，求出,再代回式(e)，即得的表达式(2-6)推导弹性曲面的微分方程现在导出w的微分方程。由薄板的上板面的边界条件，其中q是薄板每单位面积内的横向载荷，包括横向面力及横向体力，将的表达式代入得 (2-7)或, (2-8)其中的称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是，方程2-8称为薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲微分方程。矩形薄板弯曲问题的求解泛函和变分的概念假想函数y(x)的形式发生改变而成为新的函数Y(x)。如果对应于x的一个定值，y具有微小的增量，则增量称为函数y(x)的变分。可以证明导数的变分等于变分的导数，因此微分的运算和变分的运算可以交换次序。如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量I有一个值和它对应，则变量I称为依赖于函数y(x)的泛函，记为I=I[y(x)]。简单地说，泛函就是函数的函数。基于能量原理的变分法是一种近似法，所谓变分问题，就是泛函求极值的问题。弹性体的应变能弹性体单位体积的应变能为 (3-1)也可以称为应变比能。整个弹性体的应变能为，其中为弹性体的体积,将其代入式3-1得 (3-2)可以将应变能表示为用应力或应变表达的形式，可以证明弹性体的应变比能对于任一应力分量求导就等于相应的应变分量，弹性体的应变比能对于任一应变分量的偏导数就等于相应的应力分量。虚位移原理设有一弹性体在外力（包括体力分量X,Y,Z和一部分面力分量)作用下处于平衡状态。假如有一组位移分量u,v,w，既能满足用位移表示的平衡方程，又能满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。设想在弹性体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小的变化，即所谓的虚位移或位移变分，得到一组新的位移此时外力在虚位移上所做的功，即虚功为 （3-3）其中为弹性体的全部体积，S为弹性体的全部表面积，为给定外力的表面，为给定位移的表面。假定弹性体在虚位移的过程中没有温度和速度的改变，即没有热能和动能的改变。按照能量守恒定律，应变能在虚位移上的增量应当等于外力在虚位移所做的虚功，即得位移变分方程 （3-4）按照变分原理其中为单位体积应变能的增量。把应变比能看作应变分量的函数，由上式得=将式3-4代入得 （3-5）这就是虚位移原理的表达式，也可称为虚功方程。由此，弹性体的虚位移原理可叙述为：设一弹性体在已知体力和面力作用下处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体所积累的虚应变能。最小势能原理根据式3-4，由于虚位移是微小的，在虚位移过程中，外力的大小和方向可以认为保持不变，所以式3-4右边的积分号内的变分记号可提到积分号前并整理得取A=，显然A为外力在实际位移u,v,w上所做的功。假设外力是势力场中的力，则（-A）应等于外力的势能，用记号V表示。弹性体的应变能和外力势能之和，称为弹性系统的总势能，用记号表示，得得最小势能原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能称为极值。当考虑二阶变分时，可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是最小值。5、求解薄板弯曲问题(1)存在于弹性体中的应变能为 (3-6)根据薄板弯曲问题中的有关假设是为次要应力分量，在式3-6中略去有关的项，利用物理方程消去应变分量得将式2-4代入上式，得用位移w表示的应变能为将上式对z积分并整理得等厚薄板的应变能U可表达为 (3-7)对于板边全部固定的任何形式的板和板边w=0的矩形板，可对式3-7进行化简，用分部积分可得其中s为薄板的边界对于固定边，不论边界形状如何可得，在该情况下薄板应变能表达式为 (3-8)薄板弯曲问题中的边界条件设图中OA边是固定边，OC边是简支边，AB边和BC边是自由边。沿着固定边OA(x=0),薄板的挠度w等于零，弹性曲面的斜率（即转角）也等于零，所以边界条件是沿着简支边OC(y=0)，薄板的挠度w等于零，弯矩也等于零，所以边界条件是用挠度w表示为如果前一个条件得到满足，即挠度w在整个边界上都等于零，则在整个边界上也等于零，所以简支边OC的边界条件可以简写为6、薄板弯曲问题中Ritz法薄板中总势能为为挠度w的泛函，设定一组包含若干待定系数的挠度的级数形式的表达式，其中每一分量均满足问题中的边界条件，根据最小势能原理，求解使总势能取最小值的待定系数，即可求得挠度的表达式，这是求解薄板弯曲问题的Ritz法。7、四边简支矩形薄板的重三角级数解求解薄板的小挠度弯曲问题，首先要在板边的边界条件下，由弹性曲面微分方程求出挠度w。当无支座沉陷时，对于四边简支的矩形薄板，边界条件是(a)取挠度w的表达式为如下重三角级数(b)其中的m和n是正整数，代入式(a)，可见全部边界条件都能满足，为了求出系数，将式(b)代入微分方程得将式右边的载荷q(x,y)展开成重三角级数，即(c)式中的可以按三角级数的通常确定方法进行求解，解得得系数(f)当薄板受横向均布载荷时，q成为，式(f)中的积分式成为由式(f)得或代入式(b)，即得挠度的表达式当薄板在任意一点受集中载荷F时，可以用微分面积dxdy上的均布载荷来代替分布载荷q，式(f)中的q除了在处的微分面积上等于以外，在其余各处都等于0，此时代入式(b)得挠度的表达式为8、四边简支矩形薄板的Ritz法求解其边界条件同(a)，取挠度表达式为(g)则应变能的表达式为将挠度偏微分的算式代入，根据整理得横向均布载荷作用时外力的势能为总势能为应用Ritz法得解得代入式(g)，即得挠度的表达式受集中载荷F时，外力的势能为总势能为应用Ritz法得，解得代入式(g)，即得挠度的表达式为四边固支矩形薄板的Ritz法求解当无支座沉降时，对于四边固支的矩形薄板，边界条件是取挠度的表达式为对其进行微分运算得应变能的表达式为且有将其代入应变能的表达式，整理得当横向均布载荷作用时，外力的势能为总势能为应用Ritz法，令，即解得得挠度当集中载荷作用时应用Ritz法，令，即解得得挠度利用Patran和Nastran建模对矩形薄板弯曲问题进行求解1、Patran建模和Nastran分析的一般流程和分析中所设置的数据导入或建立几何模型→选择分析求解器→划分有限元网格→施加约束及载荷边界条件→设置材料特性及单元特性→设置分析参数→提交分析→对分析结果进行后处理。设置矩形薄板的数据如下：长5(m)，宽4(m），薄板厚度为0.01（m），弹性模量为10e9(Pa),泊松比为0.3，横向均布载荷合力为10N，中心集中载荷为10N。分别对四边简支和四边固支的情况进行求解2、后处理之后软件分析结果各情况下的位移云图如下所示：四边简支矩形薄板受横向均布载荷情况下的位移云图：四边简支矩形薄板受横向均布载荷情况下的位移云图：四边简支矩形薄板受中心集中载荷情况下的位移云图：四边简支矩形薄板受中心集中载荷情况下的位移云图：四边固支矩形薄板受横向均布载荷情况下的位移云图：四边固支矩形薄板受横向均布载荷情况下的位移云图：四边固支矩形薄板受中心集中载荷情况下的位移云图：四边固支矩形薄板受中心集中载荷情况下的位移云图：结果分析依据所推导的公式进行计算，与Patran和Nastran建模求解结果进行对比在四边简支矩形薄板受横向均布载荷情况下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入挠度表达式进行求解，得，相对误差为0.93%在四边简支矩形薄板受中心集中载荷情况下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入挠度表达式进行求解，得，相对误差为9.16%在四边固支矩形薄板受横向均布载荷情况下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入挠度表达式进行求解，得，相对误差为7.66%在四边固支矩形薄板受中心集中载荷情况下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入挠度表达式进行求解,得，相对误差为6.61%课程设计总结在一般三维体弹性系统中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，且它们都是x,y,z坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体域内，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，可分别建立3个平衡微分方程、6个几何方程6个和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。薄板弯曲问题属于弹性力学中的三维问题，按照空间问题的基本方程可进行精确求解，但是计算较为复杂。根据薄板弯曲小挠度的特点，由直法线假设对问题进行简化，从而建立薄板的小挠度弯曲理论。薄板弯曲问题是按位移求解的，取薄板挠度w作为基本未知函数把其它未知函数用挠度w表示，再从弹性力学空间问题出发，利用薄板的假设和简化结果，导出横向载荷q(x,y)和挠度w之间的微分方程式，即弹性曲面的微分方程。在本次课程设计中利用双三角级数法和Ritz法对矩形薄板弯曲问题进行了求解。对四边简直和四边固支两种边界条件，以及横向均布载荷和集中载荷两种载荷作用方式的情况进行了分析。所谓四边固支边界条件即限定边界上的挠度和转角为零，四边简支边界条件是限定边界上挠度和弯矩为零。双三角级数法可对四边简支边界条件下矩形薄板弯曲问题进行求解，对于四边固支的情况由于所设满足边界条件的挠度函数通常是复合的三角级数，其多阶偏导数形式与挠度函数不同，从而在弹性曲面微分方程中不能约去变量函数而获得待定系数的表达式，所以无法用双三角级数的方法进行求解。Ritz法是设出满足边界条件的挠度函数的级数形式表达式再从能量角度进行分析，对两种边界条件下的矩形薄板弯曲问题均可求解结果。最后利用Patran和Nastran建模对矩形薄板弯曲问题进行求解，软件模拟所得数据与根据推导的公式进行计算的结果基本上是相符的。参考文献[1]徐芝纶.弹性力学简明教程.北京：高等教育出版社，2002[2]沃国伟，王元淳.弹性力学.上海交通大学出版社，1998[3]龙凯，贾长治，李宝峰.Patran与Nastran有限元分析从入门到精通.北京：机械工业出版社目录第一章项目总论 -1-§1.1项目简介 -1-§1.2可行性研究的范围 -2-§1.3编制依据 -2-第二章项目建设背景及必要性 -3-§2.1橡胶密封件项目提出的背景 -3-§2.2国家产业政策 -6-§2.3项目建设的必要性 -8-第三章项目优势 -11-§3.1市场优势 -11-§3.2技术优势 -16-§3.3组织优势 -17-§3.4政策优势:关中—天水经济区发展规划 -17-§3.5区域投资环境优势 -17-第四章产品介绍与技术介绍 -20-§4.1橡胶密封件产品介绍 -20-§4.2产品标准 -21-§4.3产品特征及材质 -21-§4.4产品方案 -26-§4.5产品技术来源 -27-第五章项目产品发展预测 -28-§5.1产品行业关联环境分析 -28-§5.2行业竞争格局与竞争行为 -33-§5.3竞争力要素分析 -39-§5.4项目发展预测 -41-§5.5竞争结构分析及预测 -43-第六章项目产品规划 -47-§6.1项目产品产能规划方案 -47-§6.2产品工艺规划方案 -47-§6.3项目产品营销规划方案 -51-第七章项目建设规划 -58-§7.1项目建设总规 -58-§7.2项目项目建设环境保护方案 -61-§7.3项目建设节能方案 -65-§7.4项目建设消防方案 -66-§7.5项目建设生产劳动安全方案 -69-第八章项目组织实施情况 -73-§8.1项目组织 -73-§8.2项目劳动定员和人员培训 -74-§8.3项目管理与实施进度安排 -77-§8.4工程招标 -80-第九章项目财务评价分析 P