2021年广东省深圳市罗湖中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年广东省深圳市罗湖中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为(A).－3

(B).－4

(C).－8

(D).0参考答案：D由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数，所以，，，故选.2.定义：如杲函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，己知函数是区间上的双中值函数，则实数t的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.化简A.

B.

C.

D.参考答案：D4.设函数f(x)的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A． B． C． D．

参考答案：B由当，，且当时，可知当时，，当时，，……当时，，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的，都有有解得的取值范围是。

5.设向量,,则下列结论中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.若复数x满足x+i=，则复数x的模为（）A．B．10C．4D．参考答案：A【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【解答】解：x+i=，∴x=﹣i=﹣1﹣3i，∴|x|=，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．7.集合，，（

） A.

B.

C.

D.参考答案：C8.函数的图像

（

）

A．关于原点对称

B.

关于主线对称

C.

关于轴对称

D.

关于直线对称参考答案：A9.已知O是△ABC内部一点，++=，?=2且∠BAC=60°，则△OBC的面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】9V：向量在几何中的应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心，据重心的性质得出△OBC的面积与△ABC面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积．【解答】解：∵∴∴O为三角形的重心∴△OBC的面积为△ABC面积的∵∴∵∠BAC=60°∴△ABC面积为=∴△OBC的面积为故选A．10.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α参考答案：D【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某顾客在超市购买了以下商品：①日清牛肉面24袋，单价1.80元/袋，打八折；②康师傅冰红茶6盒，单价1.70元/盒，打八折；③山林紫菜汤5袋，单价3.40元/袋，不打折；④双汇火腿肠3袋，单价11.20元/袋，打九折．该顾客需支付的金额为元．参考答案：89.96【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】依次算出四种商品金额，相加求和即可．【解答】解：该顾客需支付的金额为：24×1.8×0.8+6×1.7×0.8+5×3.4+3×11.2×0.9=89.96（元）．故答案为：89.96．【点评】本题考查顾客需支付的金额的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数在生产生活中的合理运用．12.某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的为l6，则输出的的值为

.参考答案：413.已知函数若函数有3个不零点，则实数k的取值范围是

.参考答案：0<k<114.过点且与相切的直线方程为．参考答案：15.已知向量a=(1,—1),b=(2,x).若a·b=1,则x=＿＿＿参考答案：116.已知向量=（2，3），=（﹣3，2）（O为坐标原点），若=，则向量与的夹角为．参考答案：135°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=，可得，再利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵=，∴=（2，3）﹣（﹣3，2）=（5，1），∴===﹣，∴向量与的夹角为135°．【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量的坐标运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.方程的解

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.参考答案：（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为

X0123P随机变量X的数学期望．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）

设各项均为正数的数列{an}满足.

（Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a2的值.参考答案：解：（I）因a1=2,a2=2-2,由此有从而猜想an的通项为,所以a2xn=.(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。

设Sn表示x2的前n项和，则a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得

≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2(n≥2).因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.由于a1=2，(n∈N*),得(n∈N*),即，因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为+2,公比为的等比数列，故xn+1+2xn=(x2+2)

(n∈N*).将上式对n求和得Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2－)（n≥2）.因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故(x2+2)(2－)＜5（n≥2）.因此.下证，若淆，假设＞，则由上式知，不等式2n－1＜对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤.又x2≥，故=，所以a2==.20.已知数列满足递推式，其中

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）求数列的前n项和.参考答案：解析：（1）由知解得：同理得

（2）由知构成以为首项以2为公比的等比数列；；为所求通项公式

（3）21.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，函数，．

，

曲线在点处的切线的斜率为．

从而曲线在点处的切线方程为，即．

………4分

（Ⅱ）．

要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.

即：

得：

恒成立.由于

，∴

，∴∴在内为增函数，实数的取值范围是.

………8分

略22.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

参考答案：【解】如图所示，连结A1B2.由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，

∴