2021年湖南省永州市阳华中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021年湖南省永州市阳华中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合为A. B. C. D.参考答案：B略2.设，，且，则 A． B． C． D．参考答案：C3.已知，则的最小值是（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A4.已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，，过圆心，则点的横坐标的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得5.路灯距地平面为8m,一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，则人影长度的变化速率为（

）A．

B．

C．

D．21

参考答案：B6.已知等比数列中，公比若则有（

）(A)最小值-4

(B)最大值-4

(C)最小值12

(D)最大值12参考答案：B当且仅当时取=号

7.四面体A-BCD中，，，，则四面体A-BCD外接球的表面积为（

）A.50π

B.100π

C.150π

D.200π参考答案：A由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以为长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为的长方体，并且，设球半径为，则有，∴，∴球的表面积为．故选A．8.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（

）A.

B.1

C.

D.参考答案：D9.圆和圆的位置关系是（

）． A．内含 B．内切 C．外切 D．外离参考答案：C∵圆的标准方程为：，表示以为圆心，半径为的圆，∴两圆圆心距为，正好等于半径之和，∴两圆相外切，选择．10.设全集，集合，，则等于（

）A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}参考答案：B【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合.【详解】由题意可得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，则．参考答案：因为，所以。12.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是

。参考答案：②④略13.的展开式中，常数项为20，则实数a的值为

．参考答案：1【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：的通项公式为：Tr+1==arx6﹣2r．令6﹣2r=0，或6﹣2r=﹣1，解得r=3，r=（舍去）．∴a3=20，解得a=1．故答案为：1．14.若，则目标函数的取值范围是

参考答案：答案：

15.已知双曲线的右焦点为圆的圆心，且其渐近线与该圆相切，则双曲线的标准方程是

．参考答案：圆

的圆心为

，半径为

1

，即有,

即,

即

，双曲线的渐近线方程为，由直线和圆相切的条件，可得：可得双曲线的标准方程为.16.设集合，要使，则实数的取值范围是

.参考答案：17.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“”或“”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若,则；②若,则；③若,则对于任意,；④对于任意向量，,若，则.其中真命题的序号为

；参考答案：①

②

③（1）①显然正确（2）设由,得“”或“”由,得“”或“”,则若“”且“”,则,所以若“”且“”,则,所以若“”且“”,则,所以综上所述，若,则

所以②正确

（3）设，则由,得“”或“”若，则,所以若，则,所以综上所述，若,则对于任意,所以③正确（4）由得“”或“”由得“”或“”若“”且“”，则,所以

所以所以④不正确

综上所述，①②③正确，选B三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，.（1）求函数在处切线方程；（2）求函数的最大值和最小值．参考答案：（1）；（2）最小值为，最大值为.【分析】（1）对函数求导，计算出切线的斜率，以及的值，再利用点斜式可写出所求切线的方程；（2）对函数求导，求出该函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，然后比较极值与端点函数值的大小关系，即可得出函数的最大值和最小值.【详解】（1），斜率，切点．所以切线方程为，即；（2），令，得，当变化时，、的变化情况如下表：

↗极大值↘极小值↗

所以函数的最小值为，最大值为.【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值，解题时要注意导数应用的一些基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.设是实数，。(1）若函数为奇函数，求的值；(2）试证明：对于任意，在R上为单调函数；(3）若函数为奇函数，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（1），且

（注：通过求也同样给分）

(2）证明：设，则

==

，

即

所以在R上为增函数。

(3）因为为奇函数且在R上为增函数，

由得即对任意恒成立。令，问题等价于对任意恒成立。令，其对称轴。当即时，，符合题意。当时，对任意恒成立，等价于解得：综上所述，当时，不等式对任意恒成立。20.已知0＜β＜π，且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）求sinβ的值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再根据sin2α+cos2α=1，0＜β＜π，求得cosα的值．（2）由条件同角三角函数的基本关系求得cos（α+β），再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：（1）把tan=代入tanα=，求得tanα==，再根据sin2α+cos2α=1，0＜β＜π，求得sinα=，cosα=．（2）由0＜β＜π，可得＜α+β＜，再根据sin（α+β）=，可得α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣（﹣）×=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．21.已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当对于任意的，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.参考答案：（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时函数在上单调递增；当时函数在,上单调递增，上单调递减；（2）【分析】（1）求得后，分别在、、、的情况下讨论的符号，从而可得函数的单调性；（2）将问题变为，当时，，从而构造关于的不等式，解不等式可知不合题意；当时，，可知，构造函数，可求得，从而可得的范围.【详解】（1）函数的定义域为．①当时当或时，；当时，在，上单调递增；在上单调递减②当时，，在上单调递增③当时当或时，；当时，在，上单调递增；在上单调递减④当时当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时函数在上单调递增；当时函数在,上单调递增，上单调递减（2）由题意知：由（1）知,函数在上单调递增,则得，即：解得：或，不合题意当时，在上单调递增；上单调递减整理得：令，则当时，，则在上单调递增，即时，恒成立综上所述：【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数求解恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较，从而可构造出关于参数的不等式，解不等式可求得结果.22.（12分）已知函数f(x)=(sinωx+cosωx)cosωx﹣(x∈R，ω＞0)．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．参考答案：【考点】正弦定理；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x），利用周期公式、单调性即可得出．（2）（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，再利用和差公式可得：B，可得A∈，即可得出．【解答】解：（1）f（x）=sin（2ωx）+cos（2ωx）=，∴4π=，解得ω=．∴f（x）=sin．由+2kπ≤+≤+2kπ，解得4kπ﹣≤x≤+4kπ，k