山西省太原市西山煤电集团公司高级中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省太原市西山煤电集团公司高级中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】交集的运算.A1

【答案解析】C

解析：因为，所以，故选C.【思路点拨】先化简集合N，再进行判断即可.2.已知集合若，则b等于A．1 B．2 C．3 D．1或2参考答案：D3.某校数学复习考有位同学参加﹐评分后校方将此位同学依总分由高到低排序如下﹕前人为组﹐次人为组﹐再次人为组﹐最后人为组﹒校方进一步逐题分析同学答题情形﹐将各组在填充第一题（考排列组合）和填充第二题（考空间概念）的答对率列表如下﹕

组组组组第一题答对率100%80%70%20%第二题答对率100%80%30%0%则下列（）选项是正确的A．第一题答错的同学﹐不可能属于组B．从第二题答错的同学中随机抽出一人﹐此人属于组的机率大于C．全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率低15%D．从组同学中随机抽出一人﹐此人第一﹑二题都答对的机率不可能大于﹒参考答案：D4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是

（

）

A．5月、6月

B．6月、7月

C．7月、8月

D．8月、9月参考答案：C5.已知函数（m为常数）在区间上有最大值是3，那么，此函数在上的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知正数a，b满足，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.函数的定义域是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：B解析：函数有定义必须且，所以，选B8.已知，则（A）

(B)2

(C)

3

(D)6参考答案：D本题主要考查函数的极限求法，同时考查转化的思想及简单的方程思想．难度较小．(＋)＝＝＝＝2，即a＝6．9.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2015）的值为A.-1

B.0

C.1

D.2参考答案：C10.若函数的图象不经过第四象限，则正实数a的取值范围为(

)A.[1,+∞) B. C. D.参考答案：C【分析】求导对a讨论判断函数的单调性求其极值即可求解【详解】当,即,得或，当或，，故在单调递增，又，故图象不经过第四象限，符合题意当，即时，,得或，当，，故在单调递减，在递增，又，故图像经过第四象限，舍去故选：C【点睛】本题考查函数的单调性，函数图像的应用，f（0）=0是突破点，是中档题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数则____________.参考答案：略12.某单位有840名职工,现采用系统抽样抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[61,120]的人数为

．参考答案：313.已知数列满足，则=_________；参考答案：214.已知圆O1是半径为R的球O1的一个小圆，且圆O的面积与球O的表面积的比值为，则线段OO1与R的比值为

。参考答案：15.有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有

（填写所有正确命题的编号）．参考答案：②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④16.已知函数.①当时，函数g(x)有

个零点；②若函数g(x)有三个零点，则k的取值范围是

．参考答案：1，①当时，时，,得，即；时，，无解，综上：当时，函数有1个零点；②当时，，得，时，有两个根；当时，，得时有一个根，综上：时函数有三个零点.

17.已知向量，若向量与垂直，则m=______．参考答案：7利用平面向量的加法公式可得：，由平面向量垂直的充要条件可得：，解方程可得：.

14.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是__________．【答案】【解析】由题意知圆的半径圆的方程为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于的不等式有解.（1）求实数的取值范围；（2）已知，证明：.参考答案：解：（1），故（2）由题知，故，∴.19.(本小题18分)已知函数（1）当时，求的极值（2）当时，求的单调区间（3）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围。参考答案：解：

……2分

↘

极小值

↗

……12分

……5分

……18分20.（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.

参考答案：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因为平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.

21.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：FA⊥BC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面垂直的性质证明：FA⊥平面ABCD，即可证明FA⊥BC；（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），利用FD⊥平面MNH，求出M的坐标，即可求MH的长．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得∠FAB=90°，所以FA⊥AB．因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以FA⊥平面ABCD，由于BC?平面ABCD，所以FA⊥BC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AB，FA⊥AD．由已知DA⊥AB，所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为AD=DC=AB=1，则B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），所以=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z）．所以．令x=1，则=（1，1，1）．设直线BD与平面BCE所成角为θ，因为=（1，﹣2，0），所以sinθ=||=．所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），H（，1，0）．设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），∴=（k﹣，1，﹣k），=（1，0，﹣1）．若FD⊥平面MNH，则FD⊥MH．即=0．∴k﹣+k=0．解得k=．则=（，1，﹣），||=．【点评】本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的性质，考查线面角，正确运用向量法是关键．22.（本小题满分14分）已知函数,,.（1）若是函数的极大值点,求的值；（2）在（1）的条件下，若函数在内存在单调递减区间，求的取值范围；（3）若，且，求证：.参考答案：（1）………………1分

令，则或

当时，在附近有；当时，在附近有

∴是函数的极小值点

……………………2分当时，在附近有；当时，在附近有

∴是函数的极大值点……………………3分

∴

………………4分（2）由（1）可知，∴

……………5分

∵函数在内存在单调递减区间

∴在内有解，即在内有解

………6分

∵函数在内单调递增，∴在内

……………………7分

∴函数在内存在单调递减区间时，

…………8分（3