山西省太原市第五十八中学高二数学理联考试卷含解析

山西省太原市第五十八中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数(e为自然对数的底数)的图象可能是（） 参考答案：C函数是偶函数，排除，当，选2.设Sn为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（）A．12 B． C．55 D．参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】Sn+1=3Sn，可得数列{Sn}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．【解答】解：∵Sn+1=3Sn，∴数列{Sn}为等比数列，公比为3．∴．∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．∴Sn=3n﹣1．∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．∴a1+a5=55．故选：C．3.设函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是(

)

(A)2.1

(B)0.21

(C)1.21

(D)12.1参考答案：A略4.把389化为四进制数的末位为（

）A.1 B.2 C.3 D.0参考答案：A略5.函数在点处的切线方程为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．【详解】∵，∴切线斜率，又∵，∴切点为，∴切线方程，即．故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.6.一个几何体的三视图如图，其中正视图中△是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，则侧视图的面积为（

）A

B

C

D参考答案：A7.已知，则、、的大小顺序是：

.（请用不等号“”把三个数连接起来）参考答案：略8.已知是定义在R上的奇函数，且，对于函数，给出以下几个结论：①是周期函数；②是图象的一条对称轴；③是图象的一个对称中心；④当时，一定取得最大值．其中正确结论的序号是（A）①③

（B）①④

（C）①③④

（D）②④参考答案：【知识点】奇函数，函数的周期性，函数图象的对称性【答案解析】A解析：解：当f（x）=－sinx时，显然满足是定义在R上的奇函数，且，但当时，取得最小值，所以④错排除B、C、D，则选A.【思路点拨】在选择题中，恰当的利用特例法进行排除判断，可达到快速解题的目的.9.如图，F1F2为椭圆C：=1的左、右焦点，点P为椭圆C上一点，延长PF1、，PF2分别交椭圆C于A，B．若=2，=，则λ=（）A．1 B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出椭圆两个焦点的坐标，设出PA所在直线方程，和椭圆方程联立，求出P的坐标，再由=，把B的坐标用含有λ的代数式表示，代入椭圆方程求得λ的值．【解答】解：由=1，得a2=4，b2=3，∴c2=1．则F1（﹣1，0），F2（1，0），设PA所在直线方程为x=ty﹣1，联立，得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0．解得：，由题意知：yP=﹣2yA，即，解得：t=．不妨取t=，则yP=，则．∴p（，），由=，得，∴B（，），代入，得，解得：．故选：C．10.关于的方程有三个不同的实数解,则的取值范围是(

)A.(－４，０)

B.(－∞，０)

C.(１，＋∞)

D.(０，１)参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x=

．参考答案：-1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴，解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．12.若不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是

.参考答案：13.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为

．参考答案：14.已知，是平面上的两点，若曲线上至少存在一点，使，则称曲线为“黄金曲线”．下列五条曲线：①； ②；

③；④； ⑤.其中为“黄金曲线”的是

．（写出所有“黄金曲线”的序号）参考答案：④⑤15.已知随机变量X服从正态分布N（2，），若P（x<3.5）=0.8,则P（x<0.5）=

。参考答案：0.216.若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y的值是______参考答案：117.命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．参考答案：﹣16≤a≤0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．解答：解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为．故答案为：﹣16≤a≤0．点评：本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化的数学思想，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．参考答案：【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE?平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．

（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，顶点A1在底面ABC内的射影恰好是AB的中点O，且AB=BC=2．OA1=2，（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；（2）求直线A1C与平面ABC所成的角的余弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据A1O⊥平面ABC可得A1O⊥BC，结合AB⊥BC即可得出BC⊥平面ABB1A1，于是平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；（2）由A1O⊥平面ABC可知∠A1CO是直线A1C与平面ABC所成的角，计算OC，A1C，从而得出cos∠A1CO．【解答】（1）证明：∵A1O⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1O⊥BC，又BC⊥AB，A1O∩AB=O，A1O?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，又BC?平面BCC1B1，∴平面ABB1A1⊥平面BCC1B1．（2）解：∵A1O⊥平面ABC，∴∠A1CO是直线A1C与平面ABC所成的角，∵OB=AB=1，BC=2，AB⊥BC，∴OC=，又A1O=2，∴A1C=3，∴cos∠A1CO==．20.已知函数f（x）=在x=1处取得极值．（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为m≤，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）由题意得f′（x）=，所以f'（1）=1﹣a=0即a=1，∴f′（x）=，令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．（2）由题意要使x∈[1，+∞）时，f（x）≥恒成立，即m≤，记h（x）=，则m≤[h（x）]min，h′（x）=，又令g（x）=x﹣lnx，则g′（x）=1﹣，又x≥1，所以g′（x）=1﹣≥0，所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，即g（x）≥g（1）=1＞0，∴h′（x）=＞0，即h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以[h（x）]min=h（1）=2，∴m≤2．21.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立级坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为.（Ⅰ）若射线，分别与l交于A，B两点，求；（Ⅱ）若P为曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值及此时P点的直角坐标.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）点到直线的距离最大值为，此时点P的坐标为【分析】（Ⅰ）先求出A,B的坐标，再利用余弦定理解答得解；（Ⅱ）先求出曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程，再利用三角函数的性质求到直线的距离的最大值及此时点的直角坐标.【详解】解：（Ⅰ）直线，令，得，令，得，，.又，，.（Ⅱ）曲线的直角坐标方程，化为参数方程为（为参数），直线的直角坐标方程为，到直线的距离.令，即时到直线的距离最大，.【点睛】本题主要余弦定理解三角形和极坐标下两点间的距离的计算，考查曲线参数方程里函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.22.(本小题10分).数列中，，.（1）求的值；（2）归纳的通项公式，并用数学归纳法证明.参考答案：解：（1）计算得.

----------------------------