上海中学东校2022年高三数学理测试题含解析

上海中学东校2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在R上定义运算：对、，有，如果，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.右图中，为某次考试三个评卷人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，（

）A．7

B．8

C．10

D．11参考答案：B略3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最大值是（）A．﹣6 B．﹣1 C．6 D．4参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x﹣3y对应的直线进行平移，可得当x=0且y=﹣2时，z=2x﹣3y取得最大值6．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（0，﹣2），B（0，2），C（1，1），D（1，﹣1）设z=F（x，y）=2x﹣3y，将直线l：z=2x﹣3y进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（0，﹣2）=2×0﹣3×（﹣2）=6故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5.均为正数，且则

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c参考答案：A略6.若x，y满足，且的最大值为6，则k的值为（）A.－1 B.－7 C.1 D.7参考答案：C【分析】画出确定的可行域，由图象可知当时，可行域不存在；当时，与题意不符；当时，通过可行域可知当过时，取得最大值；将点坐标代入可构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示：则若，则可行域不存在，不符合题意若，则只有一个可行解，此时不合题意当时，可行域如下图阴影部分所示：可知当过点时，取得最大值又

，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是能够排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造方程求得结果.7.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】L6：简单组合体的结构特征．【分析】做本题时，需要将原图形在心中还原出来，最好可以做出图形，利用图形关系，就可以求解了．【解答】解：棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，故选C．8.执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=21时，满足条件S＜28，退出循环，输出i的值为7，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得：i=10，S=55S=45不满足条件S＜28，执行循环体，i=9，S=36不满足条件S＜28，执行循环体，i=8，S=28不满足条件S＜28，执行循环体，i=7，S=21满足条件S＜28，退出循环，输出i的值为7．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．9.已知为奇函数，且在区间上有最小值，a、b为常数，则在上有A．最大值5

B.最小值5

C.最大值3

D.最大值9参考答案：答案:D10.设复数z1=1﹣2i（i为虚数单位），复数z2的实部为2，且z1?z2是实数，则z2?=（）A． B．2 C．20 D．5参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设z2=2+ai，a∈R，又z1=1﹣2i，由复数代数形式的乘除运算求出a，则复数z2可求，进一步求出，则z2?可求．【解答】解：设z2=2+ai，a∈R，又z1=1﹣2i，则z1?z2=（1﹣2i）?（2+ai）=（2+2a）+（a﹣4）i．∵z1?z2是实数，∴a﹣4=0．∴a=4．∴z2=2+4i.．则z2?=（2+4i）?（2﹣4i）=20．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，AC=6，BC=7，，O是的内心，若，其中，动点P的轨迹所覆盖的面积为

参考答案：12.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.参考答案：

13.长方体的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中，

则四棱锥O-ABCD的体积的最大值为

．参考答案：2

略14.抛物线(a>0)的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若，则a=

.参考答案：15.

已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量

与的夹角为

.参考答案：．由题设知：，得，16.在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，，则

．参考答案：17.已知椭圆的方程为，是它的一条倾斜角为的弦，且是弦的中点，则椭圆的离心率为_________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）﹣x和G（x）=，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可．（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．19.已知数列中，（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。参考答案：（1）（2）

，

两式相减得若n为偶数，则若n为奇数，则略20.已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，即可求得函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立?1﹣2m≤f（x）min=﹣3，解之即可求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=，∴函数f（x）的值域为[﹣3，3]；（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，∴1﹣2m≤f（x）min=﹣3，∴m≥2．即m的取值范围为[2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．21.已知等差数列的公差不为0，前四项和，且成等比.⑴求数列的通项公式；⑵另，求；⑶设为数列的前项和，若对一切恒成立，求实数的最小值.参考答案：⑶

又

的最小值为........

12分

略22.如图4，在斜三棱柱中，点O、E分别是的中点，，已知∠BCA=90°，.(1)证明：OE∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.