四川省自贡市龙潭中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析

四川省自贡市龙潭中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在数列中，，前n项和，其中a、b、c为常数，则（） A． B． C． D．参考答案：A2.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴为A．

B．

C．

D．参考答案：C3.小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（

）

A.5500 B.6000 C.6500 D.7000参考答案：A【分析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的，从而可求得月工资.【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：元则目前的月就医费为：元目前的月工资为：元本题正确选项：A【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.4.设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．?参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．【解答】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．故选A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（）（A）①②

（B）③④

（C）①②③

（D）①②④参考答案：D6.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（▲）。A．4

B．

C．

D．参考答案：B知识点：双曲线的几何性质.解析：解：设的边长为，则由双曲线的定义，可得,∴∵,∴

在中，，，，,

∴由余弦定理可得∴,∴,故答案为：．思路点拨：设的边长为，则由双曲线的定义，为等边三角形，可求的值，在中，由余弦定理，可得结论．7.下列命题中，说法错误的是(

) A．“若p，则q”的否命题是：“若￢p，则￢q” B．“?x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是：“?x≤2，x2﹣2x≤0” C．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件 D．“若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据四种命题，全称命题的否定，充要条件的定义，偶函数的定义，逐一判断四个结论的正误，可得答案．解答： 解：“若p，则q”的否命题是：“若￢p，则￢q”，故A正确；“?x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是：“?x＞2，x2﹣2x≤0”，故B错误；“p∧q是真命题”?“p，q均为真命题”，“p∨q是真命题”?“p，q中存在真命题”，故“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，即C正确；“若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题为“若f（x）=ax2+bx+c是偶函数，则b=0”为真命题，故D正确．故选：B点评：本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题，全称命题的否定，充要条件的定义，偶函数的定义等知识点，难度不大，属于基础题．8.已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x﹣a）2+y2=8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，圆C的圆心和半径，设OA=t，由，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，过C作CD⊥AB，且D为AB的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式，解得a，b，c，再由离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线Γ：的一条渐近线l的方程为y=x，圆C：（x﹣a）2+y2=8的圆心C（a，0），半径为r=2，由△ABC为等腰直角三角形，可得AB=r=4，设OA=t，由，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，过C作CD⊥AB，且D为AB的中点，OD=3，AB=4，AD=2，C到直线l的距离为CD=，在直角三角形OCD中，CD2=OC2﹣OD2，在直角三角形ACD中，CD2=AC2﹣AD2，即有a2﹣9=8﹣4，解得a=，即有CD=2=，解得b=，c===，e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查圆的垂径定理和直角三角形的勾股定理的运用，以及向量的共线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.（5分）已知等差数列{an}共有2n﹣1项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：求出等差数列的奇数项和与偶数项和，然后直接作比得答案．解：等差数列{an}共有2n﹣1项，那么奇数项有n个，偶数项有n﹣1个，，．于是．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的性质，是基础的计算题．10.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为(

)A．16π B．π C．4π D．2π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三棱锥的三视图我们可以得三棱锥的外接球半径为1，球心为俯视图斜边上的中点，则易求它的外接球表面积．【解答】解：由三棱锥的三视图我们易得俯视图斜边上的中点到三棱锥各顶点的距离均为1所以三棱锥的外接球球心为俯视图斜边上的中点，半径为1故它的外接球表面积为4π故选C【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是与的等比中项，则的最大值为

．参考答案：答案：

12.过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是

参考答案：y=4x-413.已知函数则

.参考答案： 14.已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足的点P组成，则D的面积为________．参考答案：3略15.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点，分别在曲线（为参数）和曲线:上，则的最小值为

参考答案：16.在椭圆上有两个动点，，若为定点，且，则的最小值为

.参考答案：.因为，所以由向量数量积的几何意义可知：，又因为点M在椭圆上，则，带入上式，得，当时，取得最小值.17.设曲线轴以及直线围成的封闭图形的面积为a，函数成立的取值范围是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离．参考答案：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，

所以．……………………1分因为是菱形，所以．……………2分因为，，平面，所以平面．……………3分（Ⅱ）解法一：因为底面是菱形，，，，所以，．……………4分所以的面积为．…5分因为平面，平面，所以，．………6分因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面ABCD的距离．…………7分由（Ⅰ）得，平面．因为平面，所以．因为，所以．………………8分所以△的面积为．……9分设点到平面的距离为，因为，所以．………………10分所以．所以点到平面的距离为．……………12分解法二：由（Ⅰ）知平面，因为平面，所以平面⊥平面．…4分连接与交于点，连接，，因为，，所以为平行四边形．又，分别是，的中点，所以为平行四边形．所以．…………………6分因为平面与平面交线为，过点作于，则平面．………………8分因为，平面，所以平面．因为平面，所以，即△为直角三角形．………10分所以．

所以点到平面的距离为．……………12分19.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值.参考答案：（1）设椭圆的方程为，半焦距为，由已知得，点，则，设点，由抛物线的定义，得：，则.从而，所以点，设点为椭圆的左焦点，则，，根据椭圆定义，得，则.从而，所以椭圆的标准方程是.（2）设点，，，则，，两式相减，得，即因为为线段的中点，则，所以直线的斜率，从而直线的方程为，即，联立，得，则，.所以设点到直线的距离为，则，所以由，得，令，则.设，则.由，得，从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为.20.设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围．【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．∵g（x）=3x﹣9x=﹣（），∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，则a，即q：a．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足，即a＞2，∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧．21.如图，在平面平直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，在顶点为A（﹣2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的左顶点A（﹣2，0），则a=2，又e==，则c=，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，求得D点坐标，利用中点坐标公式即可求得P，由?=0，则向量数量积的坐标运算则（4m+2）k﹣n=0恒成立，即可求得Q的坐标；（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得M点横坐标为x=±，==+≥2，即可求得的最小值．【解答】解：（1）由椭圆的左顶点A（﹣2，0），则a=2，又e==，则c=，又b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程为：；（2）由直线l的方程为y=k（x+2），由，整理得：（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，由x=﹣2是方程的根，由韦达定理可知：x1x2=，则x2=，当x2=，y2=k（+2）=，∴D（，），由P为AD的中点，∴P点坐标（，），直线l的方程为y=k（x+2），令x=0，得E（0，2k），假设存在顶点Q（m，n），使得OP⊥EQ，则⊥，即?=0，=（，），=（m，n﹣2k），∴×m+×（n﹣2k）=0即（4m+2）k﹣n=0恒成立，∴，即，∴顶点Q的坐标为（﹣，0）；（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，，则M点横坐标为x=±，OM∥l，可知=，=，=，=，=+≥2，当且仅当=，即