不定积分例题及答案理工类

第4章不定积分内容概要名称主要内容不设fx，xI，若存在函数Fx，使得对任意xI均有Fxfx定积或dFxfxdx，则称Fx为fx的一个原函数。分的fx的全部原函数称为fx在区间I上的不定积分，记为概念fxdxFxC注：1）若（fx连续，则必可积；2）若FxGx均为fx的原函数，则（FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。性dfxdxfx或dfxdxfxdx；dx性质1：质不性质2：FxdxFxC或dFxFxC；定积性质3：fxgxdxfxdxgxdx，为非零常数。分计设fu的原函数为Fu，ux可导，则有换元公式：算第一换元方积分法法（凑微分法）fxxdxfxdxFxC第二类设xt单调、可导且导数不为零，ftt有原函数Ft，换元积分法fxdxfttdtFtCF1则xC分部积分法uxvxdxuxdvxuxvxvxdux有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。本章在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！dx*1x2x51思路：被积函数x2,由积分表中的公式(2)可解。x2x53dx2解：x2xxdxx2C321x3^2dxx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。111141133解：3xxdxx3x2dxx3dxx2dx4x2x2C^3(2x2)xdx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。2x13解：(2x)2dxxdxxCx2x2dxIn23^4xx3dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。315322解：xx3dxx2dx3x2dx5x2x2C3x43x21★★5x21dx3x43x211思路:观察到3x22后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积x12x1分。3x43x211x21dx3xdx1x2dxxarctanxC23解：x2^★61x2dxx2x2111思路:注意到1，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。1x21x21x2x21解：1x2dxdx1x2dxxarctanxC.注：容易看出56两题的解题思路是一致的。一般地，0果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。x134^7(--)2xx3x4dx思路:分项积分。x13411解：(-3-4)xdxdx3x3dx4x4dx2xxxdx2x123243xInxxxC.42332^81x21x2dx思路:分项积分。3211解：1x21x2dx31x2dx21x2dx3arctanx2arcsinx^★★9xxxdx1117思路:xxx？看到xxxx248x8，直接积分。71588解：xxxdxx8dx15xC.1^^10x21x2dx思路:裂项分项积分。111111解：x21x2dx2x1x2dx2dxx1x2dxarctanxC.xe2x1^11xdxe1e2x1ex1ex1解：ex1dxex1dxex1dxexxC.3edxxx^^12思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然3e3e)。(xxx(3e)x解：3edx(3e)dxC.xxxln3ecot2^^13xdx思路:应用三角恒等式“cotxcscx1”22。解：cotxdxcscx1dxcotxxC2223x52x^^143xdx23x52x2x思路:被积函数x2()，积分没困难。5332x2352x2xx解：dx2()dx2x5(5)3C.3x3In2In32x2dx^^15cos思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。x1cosx11ddxxsinxC.2解：cos22221★★161cos2xdx思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。11111cos2xdx2cosdxsecxdx2tanxC.2解：2x2cos2x^17cosxsinxdx思路:不难，关键知道“cos2xcos2xsin2xcosxsinxcosxsinx”。cos2x解：cosxsinxdxcosxsinxdxsinxcosxC.cos2x^18cos2xsin2xdx思路:同上题方法，应用“cos2xcosxsinx”22，分项积分。cos2xcos2xsin2x11解：dxdx2dxxcosxsinx22cosxsinx22sinxcos2xcsc2xdxsec2xdxcotxtanxC.1x1*★★191x1xdx1x1x1x1x2思路:注意到被积函数，应用公式5即可。1x1x1x21x21x21x1x1解：1x1xdx21x2dx2arcsinxC.1cos2x^^201cos2xdx1cos2x1cos2x121思路:注意到被积函数secx，则积分易得。1cos2x22cosx221cos2x11tanxx1cos2xdx2secxdx2dx2C.2解：*2、设xfxdxarccosxC，求fx。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。ddx思路分析：直接利用不定积分的性质1：fxdxfx即可。解：等式两边对x求导数得：11xfxfx1x2x1x2*3、设fx的导函数为sinx,求fx的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，fxsinxdxcosxC1所以fx的原函数全体为：（cosxC1）sinxC1xC2。dx12xxex*4、证明函数eeshx和exchx都是的原函数2chx-shx知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。exd1dd解：e2x，而e2xexshxexchxe2xchxshxdx2dxdx2*5、一曲线通过点e3,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。d1解：设曲线方程为yfx，由题意可知：fx,fxInxC；dxx又点e23在曲线上，适合方程，有3lne2CC1，所以曲线的方程为fxlnx1.2**6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3tm/s，问：（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：yft,d则由速度和位移的关系可得：ft3t2ftt3C,dt又因为物体是由静止开始运动的，f00C0ftt3。13秒后物体离开出发点的距离为:f33327米；2令t3360t3360秒。习题4-2*1、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。111解：1dxd7x32xdxd1x23x3dxd3x4272121dx1dx1de2x5d5lnx64e2xdxd35lnx2x5x51dx1dx17dt2dt8dtan2x9darctan3x.t2cos2x219x232、求下列不定积分。知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌