2021年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷 文科

普通高等学校招生全国统一考试

安徽卷（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷

一'选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.设i是虚数单位，若复数a一言］3CR）是纯虚数，则a的值为（）

A.-3

C.1D.3

2.已知A={Mx+l＞。}，B={-2,一1,0,1},则(]RA)nB=()

A.{-2,-1}B.{-2}

C.{-1,0,1}D.{0,1}

3.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()

1

A-4BR,6

八11n25

C12D-24

4.”(2x-l)x=0”是“x=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等,

则甲或乙被录用的概率为（）

22

A4.TBn.T

C1-D—

L・5U10

6.直线x+2y—5+m=0被圆好+产―2x—4y=0截得的弦长为()

A.1B.2

C.4D.4加

7.设S〃为等差数列｛“〃｝的前〃项和，酶=4的，。7=—2,则砌=()

A.-6B.—4

C.-2D.2

8.函数y=/tr)的图象如图所示，在区间［a,切上可找到〃(〃22)个不同的数xi,M，…，x„

9.设△A5C的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若。+c=2a,3sinA=5sin5,则

角C=()

n2冗

ATBT

10.已知函数人幻=7+"2+5*+，有两个极值点Xl,X2,若/(X1)=X1<X2,则关于X的方程

3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为()

A.3B.4

C.5D.6

第II卷

二'填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)

11.函数y=ln(l+1)+，mp的定义域为.

12.若非负变量x,y满足约束条件一，则x+y的最大值为______.

.*+2户4,

13.若非零向量a,b满足团=3网=|a+2A|,则"与5夹角的余弦值为

14.定义在R上的函数人幻满足I/U+1)=2f(x).若当0WxW1时,段)=x(1—x),则当一1WxW0

时，八*)=.

15.如图，正方体ABCD—481GO1的棱长为1,尸为5c的中点，。为

线段CG上的动点，

①当()<CQ4时，5为四边形；

②当CQ=；时，S为等腰梯形；

③当C。3时，S与C0I的交点R满足GR=W；

3

④当永C°<1时，S为六边形；

⑤当CQ=1时，S的面积为当.

三'解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.体小题满分12分)设函数Ax)=sinx+sin^r+-y^.

(1)求人x)的最小值，并求使人工)取得最小值的x的集合；

(2)不画图，说明函数y=4x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到.

17.(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机

抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样

本数据的茎叶图如图：

甲H乙

745

53325338

55433310060001122335

86622110070022233669

75442811558

2090

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数，并估计

甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为嚏噎2,估计三1一^2的

值.

18.(本小题满分12分)如图，四棱锥尸一A3C。的底面A8CD是边P

长为2的菱形，NBA〃=60°,已知PB=PD=2,

(1)证明：PCJ_3»；C

AB

(2)若E为的中点，求三菱锥尸一5CE的体积.

19.(本小题满分13分)设数列｛%｝满足例=2,42+。4=£L且对任意〃£N*,函数yu)=(斯

—an+\+a„+2)x+a,,+i•cosx-a,,+2sinx满足了=0.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若d=2(%+汨，求数列｛瓦｝的前"项和Sn.

20.(本小题满分13分)设函数八幻=“*一(1+层)*2,其中〃>0,区间/=｛x|/a)>0｝.

（1）求/的长度（注：区间（a,£）的长度定义为“一幻；

（2）给定常数《G（0,1）,当l-AWaWl+k时，求/长度的最小值.

21.（本小题满分13分）已知椭圆C：%+£=l（a»>0）的焦距为4,且过点尸（也，木）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设。（即，泗）（即皿¥（））为椭圆C上一点.过点0作x轴的垂线，垂足为E.取点4（0,

2y［2）.连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点。.点G是点。关于y轴的对称点，作

直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

参考答案

安徽卷（文科）

1.解析：先利用复数的运算法则将复数化为x+yi（x,yGR）的形式，再由纯虚数的定义求

a.

1010（3+i）10（3+i）.c\,上“4皿

因为a-一~3一口一面后~=a-----m----=（a-3）—1,由纯虚数的定义，

知a—3=0,所以a=3.

答案：D

2.解析：解不等式求出集合4,进而得1比4,再由集合交集的定义求解.因为集合4={x|x>

-1},所以［RJ={X|A<0},则（［IL4）nB={x|M-l}C{-2,-1,0,1}={-2,-

1）.

答案：A

3.解析：同理科卷2题.

答案：C

4.解析：先解一元二次方程（2X-1）L0,再利用充分条件、必要条件的定义判断.

当%=0时，显然（2x—l）x=0;当（2L1）L0时，x=0或T=:，所以“（2kl）;r=0"

乙

是“x=0”的必要不充分条件.

答案：B

5.解析：解决本题的关键是求出甲或乙被录用的可能结果种数，直接求解情况较多，可间

接求解，再用古典概型求概率.

由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，

乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），

（乙，丙，戊），（乙，T,戊），（丙，丁，戊），共10种，其中“甲与乙均未被录用”

的所有不同的可能结果只有（丙，丁，戊）这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可

q

能结果有9种，所求概率六=示.

答案：D

6.解析：先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再在圆中构造直角三角形，

利用勾股定理求弦长.‘一'、

圆的方程可化为C:(X-1)2+(广2)2=5,其圆心为C(l,2),半径4(c)

班.如图所示，取弦居的中点P,连接CP,则CPLAB,圆心C到直线天之7^

裕的距离日昨止斗希匣=1.

"+22

在RtZUCP中，=7=2,故直线被圆截得的弦长|明|=4.

答案：C

7.解析：借助等差数列前〃项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到的的

值.

由等差数列性质及前〃项和公式，得W=8(aja)=4(a+a)=4&,所以a=0.又

&=-2,所以公差d=—2,所以39=&+2d=­6.

答案：A

8.解析：同理科卷8题.

答案：B

9.解析：同理科卷12题.

答案：B

10.解析：先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出f(x)

=丛或F(x)=；ft,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.,r=fM

因为，(a=3f+2ax+Z>,函数f(x)的两个极值点为石,监则(不)1/

=0,f(xz)=0,所以为，用是方程39+2ax+6=0的两根，所以^\?/-----\

解关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+6=0,得f(x)=为或f{x)=莅.

由上述可知函数/U)在区间(一8,为)，(莅，+8)上单调递增，在区间(处加上单调

递减，又f(Xi)=Xi<X2,如图所示，由数形结合可知f(x)=为时有两个不同实根，f{x)

=用有一个实根，所以不同实根的个数为3.

答案：A

11.解析：列出函数有意义的限制条件，解不等式组.

[1+->0,

水一1或x>0,

要使函数有意义，需，*即,解得0〈后1,所以定义

〔1-f20,1WM1,

域为(0,1].

答案:(o,1]

12.解析：先画出可行域，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最

优解，代入即可得所求.y

x-y+1=0

根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x,y非负，得可行

域为如图所示的阴影部分(包括边界).作直线尸一％并向上平/4(4,0)

/-\023

x+2y-4=0

移，数形结合可知，当直线过点4(4,0)时，x+y取得最大值，r=-«

最大值为4.

答案：4

13.解析：由|a|=|a+2b|,两边平方，得|a「=(e+2b>=|才+4|b1+4a・6,所以

=一|引2.又|司=3|引，所以cos〈a,6〉=］；］：［=3极2=■

1

答案：一

14.解析：由于当04x41时解析式已知，且已知/U+l)=2f(x),可设一1W/0,则OWx

+1近1,整体代入求解.

设一1WA0,则0<x+lWl,所以_f(x+l)=(x+l)[1—(x+l)]=—x(x+l).又因

为ra+D

f(x+1)x(x+1)

=2F(A),所以f{x)

22

X0+1)

答案：——

15.解析：同理科卷15题.

答案：①②③⑤

解：(因为x+沙。sVsinx+乎cos

16.1)f{x)=sinx+Jsin

乙乙乙

2n

所以当矛+[=2411—5~(A£Z),即x=2kn(A£Z)时，F(A)取得最小值一，§.

0Z3

2n,I

此时x的取值集合为T'

⑵先将y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的，§倍(横坐标不变)，得尸小

sinx的图象；再将尸\/§sinx的图象上所有的点向左平移着个单位，得y=f(x)的图

象.

17.解：(1)设甲校高三年级学生总人数为A.

30

由题意知=0.05,解得〃=600.

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5,据此估计甲校高三年级这次联考数

55

学成绩的及格率为1—记=\

JU0

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为X’1,X，2.

根据样本茎叶图可知30(72)=3oy>-3oy2

=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53

-77+2+92=15.

因此x'i—x'2=0.5,故Xi—X2的估计值为0.5分.

18.⑴证明：连接〃；交切于点0,连接尸Q

因为底面被笫是菱形，所以40_初，BO=DO.

由PB=PD知,POA.BD.

大因为POCAC=O,所以侬"L平面

因此如_LPC

(2)解：因为£是用的中点，

所以P三枚"P-KX=V三枝傕C-PEB

l

-r/三检维C-PAB

=2/三粒锋AA?a

的PB=PD=AB=AD=2知,AABgAPBD.

因为N9=60°,

所以PO=AO=BAO=2y[3,BO=\.

又24=加，所以/+/)=",所以RZLZC,

故S^APC='^PO•AC==3,

由(1)知，BO工斗面APC,

因此V三棘仲P-BCE=WV三检馋Q•BO•SX"t=5.

19.解：(1)由题设可得

fCO=&-&+1+&+2-4+isinx-为+2cosx.

对任意〃WN*,fO=&-&+1+&+2-&+i=0,即&+i—a=&+2-&+1,故｛&｝为等差

数列.

由a=2,/+国=8,可得数列｛4｝的公差41,所以为=2+1•(A—1)=刀+1.

=2(〃+