2021年中考数学解答题压轴题每日一题74

2021年中考数学解答题压轴题每日一题

1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=L-2的图象分别交x、y轴于点A、B,抛

2

物线丫=，+灰+。经过点A、8,点尸为第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线对应的函数表达式：

(2)如图1所示，过点P作轴，分别交直线A3、x轴于点C、D,若以点P、B、C

为顶点的三角形与以点4、C、。为顶点的三角形相似，求点尸的坐标；

(3)如图2所示，过点P作PQLAB于点Q,连接P8,当△P8Q中有某个角的度数等于

NOAB度数的2倍时，请直接写出点尸的横坐标.

【分析】(1)本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方

程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；

(2)根据/A£>C=90°,NACD=NBCP,可知相似存在两种情况：

①当NCBP=90°时，如图1,过户作PN_Ly轴于N,证明△AOBs^BNP,列比例式可得

结论；②当NCPB=90°时，如图2,则B和P是对称点，可得P的纵坐标为-2,代入抛

物线的解析式可得结论；

(3)分两种情况：①当/PBQ=2/O4B时，如图3,作辅助线，构建相似三角形，证明

△BOEsAHPB,得堡■型，设P(X,/-乙-2),则H(x,lx-2),列方程可得结论；

PHBH22

②当NBPQ=2NOAB时，如图4,同理作辅助线，设点PG,a-于-2),则”G,A,

-2),根据面积法表示尸。的长，证明△PBQs^EOF,可得8。的长，最后根据勾股定理

可得结论.

【解答】解：(1)令x=0,得y=Lc-2=-2,则8(0,-2),

2

令y=0，得0=』x-2,解得x=4,则A(4,0),

2

把A(4,0),B(0,-2)代入y=x2+bx+c(。#0)中，得：J16+4b+c=0,

lc=-2

\_7

解得：(b-3，

c=-2

抛物线的解析式为：)=/--2；

2

(2)轴，

，NADC=90°,

NACD=NBCP,

以点尸、B、C为顶点的三角形与以点A、C、。为顶点的三角形相似，存在两种情况:

①当NC8P=90°时，如图1,过P作PMLy轴于N,

设p(x,/-工x-2),则C(x,L-2),

22

•：/ABO+NPBN=NABO+/OAB=9Q",

：.4PBN=N0AB,

：NAOB=N8NP=90°,

AAOBs^NP,

AAO=0B>即----------------=2,

BNx

_2_(X2^X_2)

解得：xi=O（舍），X2--,

2

：.P（g，-5）：

2

=0（舍），X2=—>

2

综上，点P的坐标是（旦，-5）或（工，-2）；

22

（3）；。4=4,。8=2,NAOB=90°,

，N8OAW45。，

；.NBQP¥2NBOA，

分两种情况：

①当NP8Q=2NOAB时，如图3,取AB的中点E,连接OE,过P作轴于G,交

直线AB于H,

：.ZOAB=ZAOEf

：./0EB=2/0AB=/PBQ,

■:OB//PG,

：・NOBE=NPHB,

:./XBOEsAHPB,

・OBBE

••-f

PHBH

由勾股定理得：AB=^22+42=2V5>

:.BE=®

,：GH//OB,

•OG_BH印x=BH,

OA-AB>42^/5，

:.BH=Sx,

2

设尸(X,X2-—X-2),则H(x,Ax-2),

22

PH=^x-2-(/-L-2)=-/+4x,

22

解得：xi=0,X2=3,

，点P的横坐标是3；

②当NBPQ=2/OAB时，如图4,取AB的中点E,连接。E,过P作PG_Lx轴于G,交

直线A8于4,过。作。口LAB于F,连接AP,则N8PQ=/0EF,

设点P"?--Z-2),贝ijHG,A/-2),

22

：.PH=^t-2-(P-L-2)=-P+41,

22

V0B=2,0A=4,

."8=2&,

：.0E=BE=AE=80f=OA：OB=2季=..35

BC2a5

'£F=VOE2-OF2=^(^5)2-(^-)2=^-,

S“BP=/AB・PQ=/PH・OA，

-'-2y/5PQ=4(-尸+4Q,

0

PQ=~2tJ-8t,

V5

'：ZOFE=ZPQB=90a,

：./\PBQ^^EOF,

-2t2+8t3粕

•PQEF即_近___5__1

---B--Q-----O--F-BQ-475-4,

-5~

：.BQ=_8t2乎t

3V5

"：B^+P^^PB2,

99

./_8t^+32t\2./_2t+8t\2-2/27cc、2

T嫡）+（­^-）—t+（t亍-2+2）