2021年中考数学压轴题

2021年中考数学压轴题

1.如图，AB是。。的直径，AB=4,点P是AB上方圆上的一个动点，连接4P,作/力8

的平分线AC,交。。于点C,过点C作CDLA尸交AP的延长线于点D

(1)求证：CD是的切线；

(2)当AP=2时,四边形APCO是平行四边形；

(3)连接OP交AC于点M,连接CP,当AP=2或时,ACDP与△AOM相似.

解：⑴如图1,连接OC,

图1

〈AC是/%8的平分线，

：.ZCAP=ZCAOf

,.・Q4=OC,

・・・ZOAC=ZCAO=ZCAP,

：.OC//AD,

VAP±CD,

ACOLCD,

・・・CQ是OO的切线；

(2)由(1)知，OC〃AP,

如果四边形APCO是平行四边形,贝ljOC=AP,

即4尸=98=2,

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故答案为2；

(3)如图2,延长CO交圆于点儿连接PH,

图2

•••。。是。0的切线，

：.ZPCO+ZDCP=90°,

•••C4是直径，

ZCPH=90°=NCPO+NOPH=ZPCO+ZOHP,

:.NDPC=NOHP=/PAC,

若△COP与△A。例相似，则存在乙4M。=90°或NAOM=90°两种情况，

①当NAMO=90°时，

'：ZCAP^ZCAO,/PM4=NOMA=90°,AM=AM,

.♦.△MAP丝△MAO(AAS),

：.PM=OM,

"：OA=OC,OM±AC,

：.AM=MC,

：.四边形APCO为平行四边形，而OM_L4C,

.•.四边形”CO为菱形，

1

贝I」AP=AO=抑=2：

②当乙4。〃=90°时，

则△AOP为等腰直角三角形，

故AP=&AO=2企；

故答案为：2或2vL

2.(1)【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆

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的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,。是△ABC外一点，且A£>=AC,

求NBOC的度数.若以点A为圆心，为半径作辅助则点C、。必在上，Z

54c是OA的圆心角，而/8OC是圆周角，从而可容易得到/BZX?=45°.

(2)【问题解决】

如图2,在四边形ABCZ)中，NBAD=NBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的数.

(3)【问题拓展】

如图3,如图，E,尸是正方形A8C。的边上两个动点，满足AE=£>立连接交

8。于点G,连接BE交AG于点从若正方形的边长为2,则线段。〃长度的最小值是

V5-1.

解：(1)如图1,\"AB=AC,AD=AC,

二以点A为圆心，点8、C、。必在0A上，

•.♦/8AC是GM的圆心角，而NBDC是圆周角，

1

AZBDC=^ZBAC=45°,

故答案是：45；

(2)如图2,取3。的中点O,连接AO、CO.

■:NBAD=/BCD=90°,

.••点A、B、C、。共圆，

：.ZBDC=ZBAC,

VZBDC=25Q,

ZBAC=25°,

(3)如图3,在正方形A8CQ中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,/ADG=/CDG,

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在△A8E和△DC尸中，

AB=CD

Z.BAD=Z-CDA^

AE=DF

：.AABE^ADCF(SAS),

AZ1=Z2,

在△AOG和△COG中，

AD=CD

Z-ADG=Z-CDGf

DG=DG

:・/\ADGm4CDG(SAS),

・・・N2=N3,

AZ1=Z3,

•・・NBA”+N3=N8AO=90°,

：.Z\+ZBAH=90°,

AZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中点O,连接OH、OD,

则OH=AO^1,

在RtAAO£>中，OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,

...当0、D、”三点共线时，。”的长度最小，

最小值=0。-OH=V5-1.

(解法二：可以理解为点〃是在