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n1n(n
n1n(n 1(1 2(2
3(3 m(m
N(N1[1 1 1
m 1m 2m 3m11 1
2m m 2m
Nm1111 m
N N Nm n1n(n Nn1n(nlim11111 Nm N N Nm 1(111) n
n
unlim(SnSn1)n
Snn
Sn10n
S2nn
Snn所以n
S2n1lim(S2nu2n1)nSn
n
S2nn
u2n1n
S2n lim
l1a
；若l1，则上述级数收敛。l1
n1n
1
anl1，所以存在N10，当nN1时，anq1 121这
1，
q，所以
n n nN11n n1n1n
anl1，所以存在N20，当nN2时，anq2 20
1
nN21n
1
11
nn1
n
n（1）n
n2n32n1n(n2
n
2n
1n
n1（2）sin(2n2)1 解：收敛，因为lim
) ，且 2收敛n
n
（3）n
lnp1p1 n
n1 ln(1n21)n1(n1 n)pln(1 2nn1(n1 n2
n2
1
11 1
13514
135147
liman1lim2n121n n3n ，其中r0nr1时，通项部趋向于零，发散；当0r1limn2nrn x
3x
0n
xr
x
ln
x
ln
收敛，所以 收敛n nn2(ln ln2n limnnlimen n2(ln
；ln
nln nlnlimlnn，所以n充分大时lnne2， 1 1，级数收敛。 ln
a0
(e2)ln 1
(elna)ln
，所以lna1ae1aaba2ba2b2anbn1anbnanbn a,b0解：加括号成为级数(1aaba2ba2b2anbn1anbnan1bn(1a)ab(1a)a2b2(1a)anbn1)anbn(1a)且仅当它以某种方式加括号后收敛，所以原级数当ab 1时收敛，其它情形发散。(1)（1） np00p1p1(1)（2） n11（1）
n1n11n (n1)100解 (n1)100
100，100
n1 (n1)100（4）11111111
n
S2n存在，且n
an0（5） p00p1p1（6）
an
n(n1)! （7） an(n1)an(n1)pln(nn
a
．．(1) ) xa
,(,)；(3)
nln2
n1nsin
)nln2
nln2
1n5x
2n
n
kn1ksin
n1sin 1 n设f(x)在区间(,)有连续导数．gn(x)nfx f(x)．求证n 在任意闭区间[a,b上，{gn(xf(xaa
bgn(x)dxf(b)f(a) nf 由中值定理：g(x) 1f(x)fx(x,n) nf f(x在R[a,b1]上一致连续．即对于任意ε>0δ0，使得当|x-y|<δ时，f'(xfy)．特别取N>1/ε，则对于n>N，yx(xn),则有f'(xf'x(xnfxg(x)g(x) nf(x
3S(xncosnx3 3证明：当0L3ncos3
在(LL求limS(x（1）证L3时 cosnx2 (L)n，由(L)n收敛，
x
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