高考数学复习11.1简单几何体地结构及其三视图

§11.1简单几何体的结构及其三视图和直观图【学习目标】通过复习，能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式;会画某些建筑物的三视图与直观图．【学习重点】三视图与空间几何体中的几何量的关系.【学习过程】一、知识要点梳理请同学们仔细阅读教材第11～19页后，认真阅读、思考、填写下列内容1.多面体：(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台．2.旋转体：(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球_3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体描绘出的图形，分别称为_主视图、左视图、俯视图．(2)三视图的排列顺序：先画主视图，俯视图放在主视图的下方，左视图放在主视图的右方．(3)三视图的三大原则：长对正、高平齐、宽相等．(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，用它们确定的平面表示水平面．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中原长度保持不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半．★温馨提示：上面的知识点你都填对了吗？请自行与教材校对一下好吗？希望同学们在记忆和熟练掌握以上知识的基础上，能加以灵活运用！二、基础自测1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等；B.棱锥的侧棱长都相等；C.三棱台的上、下底面是相似三角形；D.有的棱台的侧棱长都相等．解析：由棱柱、棱锥、棱台的定义和性质可知，选项B不正确．2.如图11-1-1，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A.①②；B.①③；C.①④；D.②④．图11-1-1图11-1-1正方形；圆锥的主视、左视、俯视图依次为三角形、三角形、圆及其圆心；三棱台的主视、左视、俯视图依次为梯形及两底边中点的连线、梯形、相互嵌套的两个三角形及其对应顶点的连线；正四棱锥的主视、左视、俯视图依次为三角形、三角形、正方形及其对角线．答案：D3.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()A.圆柱；B.圆锥；C.球体；D.圆柱、圆锥、圆台的组合体．解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C图11-1-24.如图11-1-2，为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有(图11-1-23块B.4块C.5块D.6块解析：由三视图的规则知：该几何体共两层，下面一层有三个木块，上面一层有一个木块，且由主视图知，放于左侧木块上方，故共有4块．答案：B5.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的()A.①②；B.①；C.③④；D.①②③④．解析：因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确，对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．答案：A★测后反思从近两年高考试题来看，多以选择题考查几何体的三视图和直观图．分值5分，难度中，低档．命题的主要类型有：由几何体的直观图确定对应的三视图，由几何体的三视图确定对应的直观图．由三视图提供的数据信息确定对应几何体的体积与表面积．高考仍以此为命题热点.三、典例解析例1下列命题中正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；图11-1-3图11-1-3●思路启迪：如图11-1-3-1，仔细分析题意，我们应如何处理？并从中发现规律妈？（见链接1）解析：●解后反思：解答此题时要读懂与弄清题意是怎样的？解决的关键在哪里？运用了哪些数学知识和数学思想方法？★变式训练1:以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：命题①错，因为若该边是直角三角形的斜边，图11-1-4则得不到圆锥.命题②图11-1-4腰.命题③对.命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.例2（2010陕西）若某空间几何体的三视图如图11-1-4所示，则该几何体的体积是（）A.B.C.1D.2●思路启迪：三视图几何体是直三棱柱该几何体的体积解析：由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为和1的直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的体积●解后反思：解答此题时要读懂与弄清题意是怎样的？解决的关键在哪里？运用了哪些数学知识和数学思想方法？（见链接2）图11-1-5★变式训练2：将正三棱柱截去三个角(如图11-1-5-1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图11-1-5-图11-1-5所示方向的侧视图为选项图中的()图图11-1-6解析：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙)，可得答案A.例3已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()●思路启迪：(1)先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．解析：如图11-1-7所示的实际图形和直观图．由图2可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图2中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，图11-1-7∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a图11-1-7＝eq\f(\r(6),16)a2，∴应选D.●解后反思：1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝eq\f(\r(2),4)S.图11-1-82.对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．（图11-1-8变式训练3：如图11-1-8所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是.解析：把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝eq\r(2)＋1，AD＝1，∴面积为eq\f(1,2)(2＋eq\r(2))×2＝2＋eq\r(2).四、学习反思通过本节课的复习，我们掌握了哪些知识？在运用中遇到了哪些题型，在解答这些问题中，我们分别运用什么思想方法解决的？解决的关键在哪儿？解题过程中的易错点有哪些呢？你还有哪些问题和独特见解吗？【学习链接】链接1：以下几种常见的多面体，虽然教材没有提及，但其结构特征，学习时应掌握.（1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱（如正三棱柱，正四棱柱等）.(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.（3）平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.链接2：三视图的概念及画法在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.链接3：直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段行性不变，长度减半.”【高考真题再现】以下试题是与本节内容密切相关的典型的高考亮题，请尝试一下！图11-1-91(2011山东卷)下图11-1-9图11-1-9形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（）A.3；B.2；C.1；D.0．解析：对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.答案：A图11-1-102(2010·北京卷图11-1-10长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图11-1-10所示，则该几何体的俯视图为()图图11-1-10解析：由三视图中的主、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.332正视图侧视图俯视图332正视图侧视图俯视图图11-1-11则该几何体的体积为（）A.；B.；C.；D..解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于．故选B【学习测评】1.下列结论正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥；B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.解析：选D.A错误,如图1是由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D正确,由顶点、底面圆周上一点及底面圆的圆心可得到旋转的直角三角形.图图11-1-122．如图11-1-13建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()图图11-1-13解析：按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项C符合题意．答案：C3.如右图11-1-14所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）图图11-1-14 A． B． C． D．（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）解析：容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B.4.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积高）时，其高的值为（）图11-1-15 A． B．C．D．图11-1-15解析：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图11-1-15．设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为，则是的中点．设正六棱柱的底面边长为，高为，则．正六棱柱的体积为，即，则，得极值点，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为．5．如图11-1-16图11-1-16图11-1-16(1)图(1)的正（主）视图与图(2)的___________相同.(2)图(3)的___________图与图(4)的___________图不同.解析：对于第一组的两个立体图形,图(1)的正（主）视图与图(2)的俯视图相同.图11-1-18对于第二组的两个立体图形,图(3)的正（主）视图与图(4)的正（主）视图不同,而侧(左)视图和俯视图都是相同的.答案：(1)俯视图;(2)正（主）视;正（主）视图11-1-186．如图11-1-18，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为．解析：因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为则，长方体体积为，三棱柱体积为，四分之一圆柱的体积为，则体积之比为．7.一几何体按比例绘制