山西省忻州市原平解村乡办中学2022年高三数学文联考试题含解析

山西省忻州市原平解村乡办中学2022年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选D．【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．2.在中，角的对边分别为,若，则角的值为（

）

参考答案：C3.设x，y∈R，且，则的最大值是（

）A.40

B.10

C.4

D.2参考答案：D4.在等比数列{an}中，首项a1=1，若数列{an}的前n项之积为Tn，且T5=1024，则该数列的公比的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±3参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵首项a1=1，T5=1024，∴15×q1+2+3+4=1024，即q10=210，解得q=±2．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.若复数，则复数z的虚部是(

)A．1 B．－1 C．3 D．－3参考答案：B，则复数的虚部是．6.已知奇函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域

为，则不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A8.若则=

（

）

A．112

B．28

C．-28

D．-112参考答案：A9.已知全集，集合=

（

）

A．{4}

B．{2，3，4}

C．{2，3}

D．{1，4}

参考答案：A略10.已知、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则 ()A．

B．C．

D．与2的大小关系不确定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量满足约束条件：，则目标函数的最小值为

．参考答案：112.已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则

参考答案：由可得.让P取在短轴的顶点上则.又因为=.13.不等式组表示的平面区域为，则区域的面积为

，的最大值为

．参考答案：，略14.已知则=__________.参考答案：略15.已知，，且，，成等比数列，则的最小值是_______.

参考答案：16.已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为_________．参考答案：略17.下面有5个命题：①函数的最小正周期是．②终边在轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．④把函数的图象向右平移得到的图象．⑤函数在上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）参考答案：①④①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A、B实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数．（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A、B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．

优质花苗非优质花苗合计甲培育法20

乙培育法

10

合计

附：下面的临界值表仅供参考．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（参考公式：，其中．）参考答案：（1），中位数82.5；（2）见解析；（3）有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关（1）因为，解得，设为评分的中位数，则前三组的概率和为，前四组的概率和为，知，所以，则；（2）由（1）知，树高为优秀的概率为：，记优质花苗数为，由题意知的所有可能取值为，，，，，所以的分布列为：01230.0640.2880.4320.216

所以数学期望；（3）填写列联表如下，

优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100

计算，所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．19.（本小题满分12分）等比数列中，已知.（Ⅰ）求数列的通项.（Ⅱ）若等差数列，，求数列前n项和，并求最大值参考答案：(Ⅰ）由，得q=2,解得，从而…………4分(Ⅱ）由已知得解得d=-2········6分

…………8分由于……10分

………………12分20.已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，kAM?kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得kAM?kBM===﹣，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数﹣．【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，∴p的值；（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，∴kAM?kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=，kAM?kBM=?=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，∴y1+y2=，y1?y2=﹣=﹣3﹣，故kAM?kBM===﹣，综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣．21.在区间[0,1]上的最大值为2，求的值．

参考答案：22.设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜2；（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式Sn﹣1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？参考答案：【考点】等差数列的通项公式；不等式的证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）当n=1时求得a1；当n≥2时根据2an=2Sn﹣2Sn﹣1化简整理得an﹣an﹣1=1判断数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的an代入Sn进而可根据裂项法进行求和得++…+=2（1﹣）＜2；原式得证．（Ⅲ）Sn﹣1005＞，求得n的范围．进而可得集合M，依据m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列，进而求得k【解答】解：（Ⅰ）由已知，2Sn=an2+an，且an＞0．，当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．当n≥2时，有2Sn﹣1=an﹣12+an﹣1．于是2Sn﹣2Sn﹣1=an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1，即2an=an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1．于是an2﹣an﹣12=an+an﹣1，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=an+an﹣1．因为an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1=1（n≥2）．故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an=n．（Ⅱ）因为an=n，则Sn==2（﹣）．所以+++=2[（1﹣）+（﹣）++（﹣）]=2（1﹣）＜2；（Ⅲ）由Sn﹣