2022年上海市闵行区纪王中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年上海市闵行区纪王中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线,及直线x=a,与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A、

B、

C、

D、参考答案：B略2.已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是xy，那么就会有0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|如果小于20，就是等待事件，否则不用等待了．由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是xy那么就会有：0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|＜30，就是等待事件，否则不用等待了．画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，∴至少有一辆车需要等待装货物的概率p=；故选：D．3.已知两条直线:y=m和:y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A,B,与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为(

)

A．

B.

C.

D.参考答案：D4.若，，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求得，进一步得到值．【详解】由，得，则．∵，∴．∴．故选：B．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．5.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：B略6.设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数为ai（i=1，2，…n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为(

)A．48 B．120 C．144 D．192参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据8和7的特点得到8和7的位置，题目转换为数列123456保证5的顺序数是3就可以，分两种情况讨论，6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个数字上，根据分类原理得到结果．【解答】解：由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比他小现在对其他数的顺序数没有影响，∵在8后面又比其他数小∴这两个可以不管可以把题转换为数列123456保证5的顺序数是3就可以了，∴分两种情况6在5前面，此时5一定在第7位，除6外前面有3个数，故有4×4×3×2×1=96种6在5后面，此时5一定在第6位上，6在后面两个数字上，故有2×4×3×2×1=48∴共有96+48=144种结果，故选C．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．7.变量x，y满足约束条件，则x2+y2的取值范围是（）A．[0，9] B．[5，+∞） C． D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作平面区域，且x2+y2的几何意义是点（0，0）与点（x，y）的两点的距离的平方，从而利用数形结合求解．【解答】解：作约束条件的平面区域如下，x2+y2的几何意义是点（0，0）与点（x，y）的两点的距离的平方，且大圆的半径为3，小圆的半径为0，故0≤x2+y2≤9，故选：A．8.原命题：“设，若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数有--------------------(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B9.设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m?α，n?β，m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n参考答案：D【考点】四种命题；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】把选项中的符号语言还原为几何图形，根据空间中的平行与垂直关系，即可得出正确的选项．【解答】解：对于A，当直线m，n与平面α所成的角相等时，不一定有m∥n，∴A错误；对于B，当m∥α，n∥β，且α∥β时，m∥n不一定成立，∴B错误；对于C，当m?α，n?β，且m∥n时，α∥β不一定成立，∴C错误；对于D，当n⊥β，α⊥β时，n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，D正确．故选：D．【点评】本题考查了几何符号语言的应用问题，解题时应注意符号语言与几何图形的应用，是基础题目．10.直线:kx+(1-k)y-3=0和:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，则k=A.-3或-1

B.3或１C.-3或１

D.-1或3

参考答案：C若，直线，，满足两直线垂直。若，直线的效率分别为，由得，，综上或，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为

.参考答案：12.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是

▲

.参考答案：略13.设全集U={1,2,3,4,5}，若集合A={3,4,5}，则__________.参考答案：{1,2}【分析】利用补集定义直接求解即可．【详解】∵全集，集合，∴，故答案为．【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．14.已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是

▲

；参考答案：15.设＝，＝(0，1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足0≤≤1，0≤≤1，则z＝y－x的最小值是

．参考答案：－116.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得f（）+f（）+…+f（）=．参考答案：﹣8066【考点】3O：函数的图象．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得：若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，=；故答案为：﹣8066．17.设直线x+my-1=0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，则实m的值是

.参考答案：由圆的方程可知圆心坐标为，半径为2，因为弦AB的长为，所以圆心到直线的距离。即，所以解得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）对某批电子元件进行寿命追踪调查，抽取一个容量为200的样本，情况如下：寿命（ｈ）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030

(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)估计电子元件寿命在100ｈ～400ｈ以内的概率；(4)估计这批电子元件的平均寿命

（5）从这200个样本中再分层抽取20个电子元件，前两组各被抽取多少个？这两组抽取的电子元件混合均匀后再抽两个，这两个落在同一小组的概率是多少？参考答案：(1)样本频率分布表：

(2)分组（寿命）频数频率100～200200.1200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合计2001

(3)

从频率分布表和频率分布图可以看出，寿命在100ｈ～400ｈ的电子元件出现的频率为0.1+0.15+0.40=0.65，所以我们估计电子元件寿命在100ｈ～400ｈ的概率为0.65.(4)

取各组的中值，可近似估计总体的平均值为.估计这批电子元件的平均寿命为365小时略19.如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，N为线段CD中点，求证：EN∥平面BDM．参考答案：考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明AB⊥AE，AB⊥AD，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB⊥平面ADE．（2）连AN交BD于F点，连接FM，证明EN∥FM，利用直线与平面平行的判定定理证明EN∥平面BDM．解答：证明：（1）∵AE⊥平面ECD，CD?平面ECD．∴AE⊥CD．又∵AB∥CD，∴AB⊥AE．…（2分）在矩形ABCD中，AB⊥AD，…（4分）∵AD∩AE=A，AD，AE?平面ADE，∴AB⊥平面ADE．…（6分）（2）连AN交BD于F点，连接FM，…（8分）∵AB∥CD且AB=2DN，∴AF=2FN，…（10分）又AM=2ME∴EN∥FM，…（12分）又EN?平面BDM，FM?平面BDM．∴EN∥平面BDM．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．20.设集合A={x|≥0}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合C={x|x≥a2﹣2}．（1）求A∩B．（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】（1）由题意可知：A={x|x≤﹣3或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2}，由集合的运算可知A∩B={x|1＜x≤2}；（2）B∪C=C，则B?C，因此a2﹣2≤﹣1，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，|≥0，即，解得：x≤﹣3或x＞1，∴A={x|x≤﹣3或x＞1}，由x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2，∴B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}；（2）∵B∪C=C，∴B?C，∴a2﹣2≤﹣1，解得：﹣1≤a≤1，实数a的取值范围[﹣1，1]．【点评】本题考查集合的运算，考查一元二次方程的解法，考查计算能力，属于基础题．21.设函数f（x）=（x﹣1）2+blnx，其中b为常数．（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）b≤0时，求f（x）的极值点；（3）求证：对任意不小于3的正整数n，不等式ln（n+1）﹣lnn＞都成立．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先由负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，根据b大于得到导函数大于0，所以函数在定义域内单调递增；（2）令f（x）的导函数等于0，求出此时方程的解即可得到x的值，根据d小于等于0舍去不在定义域范围中的解，得到符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值为这个解；（3）令b=﹣1＜0，代入f（x）的解析式中确定出f（x），并根据（2）把b的值代入求出的唯一极小值中求出值为，得到函数的递减区间为（0，），根据，利用函数为减函数即可得到函数值，化简得证．【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），．当时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）令，得，．当b≤0时，?（0，+∞）（舍去），而∈（0，+∞），此时：f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点；（3）由（2）可知当b=﹣1时，函数f（x）=（x﹣1）2﹣lnx，此时f（x）有惟一极小值点：，且时，f'（x）＜0，f（x）在为减函数．∵当n≥3时，，∴恒有，即恒有．∴当n≥3时，恒有成立．22.（12分）如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点,（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。参考答案：本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。解析：解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结

∵分别为的中点

∵

∴面，面

∴面面