核心考点05 空间向量及其应用-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期（解析版）

核心考点05空间向量及其应用目录考点一．空间向量及其线性运算（共3小题）考点二．共线向量与共面向量（共5小题）考点三．空间向量的数量积运算（共4小题）考点四．空间向量的夹角与距离求解公式（共2小题）考点五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共1小题）考点六．空间向量运算的坐标表示（共4小题）考点七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共4小题）考点八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）考点九．平面的法向量（共2小题）考点十．直线与平面所成的角（共7小题）考点十一．二面角的平面角及求法（共4小题）考点十二．向量语言表述线线的垂直、平行关系（共1小题）考点十三．向量语言表述面面的垂直、平行关系（共1小题）考点考向考点考向一．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作；②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：（2）结合律：．3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量．1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，与的方向相同；②当λ＜0时，与的方向相反；③当λ＝0时，＝．④|λ|＝|λ|•||的长度是的长度的|λ|倍．2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）结合律：注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．二．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．（2）共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．三．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cos＜，＞（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：＝λ（）＝•（）（2）分配律：．4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．四．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式设空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），cos＜＞＝＝注意：（1）当cos＜＞＝1时，与同向；（2）当cos＜＞＝﹣1时，与反向；（3）当cos＜＞＝0时，⊥．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则dA，B＝||＝＝．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角（2）利用公式求空间两点的距离五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【知识点的认识】1．空间向量基本定理如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x+y+z．任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．2．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．3．空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．4．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作＝（x，y，z）．【解题方法点拨】1．基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．2．空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．3．用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．六．空间向量运算的坐标表示【知识点的认识】1．空间向量的坐标运算规律：设空间向量，，则（1）（2）（3）（4）．2．空间向量的坐标表示：设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）3．空间向量平行的条件：（1）⇔，λ∈R（2）若x2y2z2≠0，则⇔4．空间向量垂直的条件：⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0【解题方法点拨】空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．坐标运算解决向量的平行与垂直问题：用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（为非零向量），则∥⇔（λ∈R）．若时，必有∥，必要时应对是否为进行讨论．（2）⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0坐标运算解决夹角与距离问题：在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．【命题方向】（1）考查空间向量的坐标表示（2）考查空间向量的坐标运算（3）考查空间向量平行或垂直的条件七．向量的数量积判断向量的共线与垂直【知识点的知识】一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．共面向量定理若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积（1）•＝||||cos＜，＞；（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；（3）||2＝2，||＝．2．向量的坐标运算＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）向量和+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）向量差﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）数量积•＝a1b1+a2b2+a3b3共线∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）垂直⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0夹角公式cos＜，＞＝八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程【知识点的知识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．1、空间直线的点向式方程或标准方程：设直线L过点M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是2、空间直线的参数方程：在直线方程中，记其比值为t，则有（※）这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．九．平面的法向量【知识点的知识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．十．直线与平面所成的角【知识点的知识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝．十一．二面角的平面角及求法【知识点的知识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．十二．向量语言表述线线的垂直、平行关系【知识点的认识】线线垂直与平行：1．直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：l1∥l2（或l1与l2重合）⇔∥2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2⇔⊥⇔•＝0．十三．向量语言表述面面的垂直、平行关系【知识点的知识】1、平面与平面平行设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合⇔∥⇔存在实数t，使＝t．2、面面垂直：（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥⇔•＝0；（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．考点精讲考点精讲一．空间向量及其线性运算（共3小题）1．（2022春•虹口区期末）如图，在斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则＝（）A． B． C． D．【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出．【解答】解：因为斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是平行四边形，又M为A1C1，B1D1的交点，所以＝＝（﹣）＝（﹣），所以＝﹣（）＝﹣（+）＝﹣[（﹣）+]＝﹣+﹣，故选：B．【点评】本题考查向量的运算，解题关键是熟悉向量的三角形法则，平行四边形法则，属于基础题．2．（2021春•浦东新区校级期末）空间中有四点A，B，C，D，其中＝（2m，m，2），＝（m，m+1，﹣5），且+＝（5，，﹣3），则直线AB和CD（）A．平行 B．异面 C．必定相交 D．必定垂直【分析】利用向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵＝（2m，m，2），＝（m，m+1，﹣5），且+＝（5，，﹣3），∴（3m，2m+1，﹣3）＝（5，，﹣3），∴3m＝5，2m+1＝，解得m＝．∴＝，＝，而＝0，∴．故选：D．【点评】本题考查了向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．3．（2021•松江区二模）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z＝2．【分析】在平行六面体中把向量用表示，然后利用向量相等，得到x，y，z的值．【解答】解：因为＝＝＝，又＝x+y+z，所以，则x+y+z＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了空间向量基本定理的理解和应用，考查了化简运算能力与转化回归能力，属于基础题．二．共线向量与共面向量（共5小题）4．（2022春•杨浦区校级期中）下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是（）A． B． C． D．【分析】要使空间中的P、A、B、C四点共面，只需满足，且x+y+z＝1即可．【解答】解：对于A选项，，（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面；对于B选项，，1+1+1＝3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面；对于C选项，，，所以点P与A、B、C三点不共面；对于D选项，，，所以点P与A、B、C三点共面．故选：D．【点评】本题主要考查空间向量的应用，四点共面的充分必要条件等知识，属于基础题．5．（2021春•浦东新区校级期中）已知＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x＝6．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵＝（3，0，2），＝（x，0，4），∥，∴，解得x＝6．故答案为：6．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6．（2022•徐汇区校级开学）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设＝，＝．（1）若||＝3，且∥，求向量；（2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法，可以设＝t＝（2t，t，﹣2t），由向量模的计算公式求出t的值，计算可得答案；（2）根据题意，求出、的坐标，由数量积的计算公式可得cosA，进而求出sinA，又由S＝||||×sinA，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），则＝（2，1，﹣2），若∥，设＝t＝（2t，t，﹣2t），又由||＝3，则4t2+t2+4t2＝9t2＝9，解可得t＝±1，故＝（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，2）；（2）根据题意，＝＝（﹣1，﹣1，0），＝＝（1，0，﹣2），则||＝＝，||＝＝，•＝﹣1，则cosA＝cos＜，＞＝＝﹣，故sinA＝，故S＝||||×sinA＝××＝3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及空间向量的平行，属于基础题．7．（2022春•虹口区期末）已知空间三点A（1，3，﹣2），B（2，5，1），C（p，7，q﹣2）共线，则p＝3，q＝6．【分析】利用向量坐标运算法则求出＝（1，2，3），＝（p﹣1，4，q），再由向量共线列方程能求出结果．【解答】解：空间三点A（1，3，﹣2），B（2，5，1），C（p，7，q﹣2）共线，＝（1，2，3），＝（p﹣1，4，q），∴，解得p＝3，q＝6．故答案为：3；6．【点评】本题考查向量的运算，考查空间向量坐标运算法则、向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2021春•闵行区校级期中）已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是①③．①l，m，n（lmn≠0）；②+2，2+3，﹣9+3；③+2，+2，+2．【分析】利用向量共面定理即可判断出结论．【解答】解：对于①，∵，，是空间三个不共面的向量，∴l，m，n（lmn≠0）是不共面的向量，故①正确；对于②，假设存在实数s，t，使得﹣9+3＝s（+2）+t（2+3）＝s+（2s+2t）+3t，则s＝3，2s+2t＝0，3t＝﹣9，解得：s＝3，t＝﹣3，因此+2，2+3，﹣9+3是共面向量，故②不正确．对于③，假设存在实数s，t，使得+2＝s（+2）+t（+2）＝2t+s+（2s+t），则2t＝1，s＝2，2s+t＝0，无解，∴假设不成立，因此+2，+2，+2不共面，故③正确．故答案为：①③．【点评】本题考查了向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三．空间向量的数量积运算（共4小题）9．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，，它们分别在平面xOy和yOz上绕坐标原点旋转α得到向量、，其中α∈（0，2π），若，则α＝π．【分析】依题意可得，，根据三角函数的定义及诱导公式得到、，最后根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可．【解答】解：因为，，将在平面xOy上绕坐标原点旋转α（α∈（0，π））得到，同理可得，所以，所以sinα＝0，又α∈（0，2π），所以α＝π；故答案为：π．【点评】本题主要考查空间向量及其应用，属于基础题．10．（2021秋•金山区期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝•，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为1．【分析】根据向量的垂直和向量的数量积即可求出．【解答】解：＝+，则•＝•（+）＝||2+•，∵⊥，∴•＝0，∴•＝||2＝1，∴•（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1，即集合{y|y＝•，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查空间向量的线性运算与数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．11．（2021•浦东新区校级模拟）在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝AD＝2，BC＝1，，则CD＝．【分析】用表示，根据已知条件列方程得出AC，∠BAC，∠DAC的关系，使用等量代换计算CD2＝||2．【解答】解：设∠BAC＝α，∠DAC＝β，∵||＝BC＝1，∴AC2+AB2﹣2AC•ABcosα＝1，即AC2﹣4ACcosα＝﹣3．∵＝﹣3，∴•（）＝＝﹣3，∴2ACcosβ﹣2ACcosα＝﹣3，∴2ACcosβ＝2ACcosα﹣3，∴CD2＝（）2＝﹣2＝4+AC2﹣4ACcosβ＝4+AC2﹣4ACcosα+6＝7，∴CD＝．故答案为：．【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，涉及到平面向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，属于中档题．12．（2022秋•浦东新区校级期末）在各棱长都等于1的正四面体O﹣ABC中，若点P满足，则的最小值为．【分析】根据题中的向量等式及x+y+z＝1，证出，从而可得点P是平面ABC内的一点．再由正四面体O﹣ABC是各棱长都等于1，得到的最小值等于正四面体在△ABC上的高，从而可得的最小值．【解答】解：根据题意，可得∵点P满足，∴，可得，∴点P是平面ABC内的一点．又∵正四面体O﹣ABC是各棱长都等于1，∴当点P与O在ABC上的射影重合时，等于正四面体的高，此时＝且达到最小值．故答案为：【点评】本题给出正四面体内的点P满足的向量等式，求的最小值．着重考查了空间向量的线性运算、正四面体的性质等知识，属于中档题．四．空间向量的夹角与距离求解公式（共2小题）13．（2021春•普陀区校级期末）设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝9．【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出m和n的值，得到的坐标，求出的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．【解答】解：因为空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），且∥，所以，即（2，n，﹣4）＝λ（﹣1，2，m），可得，解得m＝2，n＝﹣4，所以＝（﹣1，2，2），＝（2，﹣4，﹣4），则﹣＝（﹣3，6，6），所以．故答案为：9．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量共线定理的运用，空间向量模的计算公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．14．（2020春•徐汇区校级期末）已知向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为．【分析】利用空间向量的数量积，即可求出两向量的夹角大小．【解答】解：∵向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，﹣2），∴•＝0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）＝0，∴⊥，∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查了利用空间向量的数量积求向量夹角大小的应用问题，是基础题目．五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共1小题）15．（2021春•徐汇区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，用、、作为基底向量表示＝﹣﹣．【分析】画出图形，根据空间向量的线性表示，用、和表示即可．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，如图所示：则＝++＝﹣+＝﹣﹣＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题．六．空间向量运算的坐标表示（共4小题）16．（2022秋•徐汇区校级期中）已知向量＝（1，2，﹣2），则向量的单位向量＝．【分析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标．【解答】解：∵，∴，∴向量的单位向量．故答案为：．【点评】本题主要考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．17．（2022春•浦东新区校级期末）已知点A（1，﹣2，0），向量且，则点B的坐标为（﹣1，2，4）．【分析】设B（x，y，z），得，又且，由此列式可得点B的坐标．【解答】解：设B（x，y，z），∵A（1，﹣2，0），∴，又且，∴（x﹣1，y+2，z）＝2（﹣1，2，2）＝（﹣2，4，4），则，可得x＝﹣1，y＝2，z＝4．∴点B的坐标为（﹣1，2，4）．故答案为：（﹣1，2，4）．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，是基础题．18．（2021秋•虹口区校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），若，则C点坐标为（1，﹣2，3）．【分析】设C的坐标为（x，y，z），根据向量的坐标运算即可求出．【解答】解：设C点的坐标为（x，y，z），∵A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），∴＝（x+1，y﹣2，z+3），＝（2﹣x，﹣4﹣y，6﹣z），∵，∴（x+1，y﹣2，z+3）＝2（2﹣x，﹣4﹣y，6﹣z）＝（4﹣2x，﹣8﹣2y，12﹣2z）∴，解得x＝1，y＝﹣2，z＝3，∴C（1，﹣2，3）．故答案为：（1，﹣2，3）．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（2022秋•嘉定区校级期中）已知空间直角坐标系中，A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．（1）若，求P的坐标；（2）求三角形ABC的面积．【分析】（1）直接利用向量的共线求出点P的坐标；（2）利用向量的夹角公式和向量的模及三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）设点P（x，y，z），由于，所以（x﹣1，y﹣1，z﹣1）＝2（﹣1﹣x．3﹣y，2﹣z），整理得：p（）．（2）由于A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．所以，，故，由于0＜A＜π，所以，故．【点评】本题考查的知识要点：空间向量的坐标的求法，向量的模，向量的夹角，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共4小题）20．（2020春•闵行区校级期中）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k＝．【分析】利用空间向量坐标运算法则求出，，再由与互相垂直，能求出k．【解答】解：∵向量，，∴＝（k﹣1，k，2），＝（3，2，﹣2），∵与互相垂直，∴（）•（）＝3（k﹣1）+2k﹣4＝0，解得k＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，是基础题．21．（2020春•浦东新区校级期末）已知空间向量和，设和，则“”是“D1＝D2＝0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】由向量平行的性质得“”⇔“D1＝D2＝0“．【解答】解：∵空间向量和，设和，∴“”⇔“D1＝D2＝0”，∴“”是“D1＝D2＝0”的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件、必要条件、充分条件的判断，考查向量平行的性质等基础知识，是基础题．22．（2020春•松江区期末）已知直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），若l⊥α，则m+n＝﹣16．【分析】由l⊥α，得∥，由此能求出m，n，进而能求出m+n．【解答】解：∵直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），l⊥α，∴∥，∴，解得m＝﹣6，n＝﹣10，∴m+n＝﹣6﹣10＝﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查两数和的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．（2020春•杨浦区校级期中）已知平面α的一个法向量为，则直线AB与平面α的位置关系为直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【分析】由•＝0得出⊥，即得直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【解答】解：由平面α的一个法向量为，且•＝1×（﹣2）+2×1+2×0＝0，所以⊥；所以直线AB与平面α的位置关系是：直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．故答案为：直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【点评】本题考查了平面法向量的定义与应用问题，是基础题．八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）24．（2021春•浦东新区校级期末）直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），则实数a＝6．【分析】先求出直线的方向向量，然后利用法向量与方向向量垂直，由向量垂直的坐标表示列出关于a的方程，求解即可．【解答】解：因为直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），又直线3x+2y+5＝0的一个方向向量为（﹣2，3），所以﹣2a+3（a﹣2）＝0，解得a＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了空间向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，直线的方向向量与直线的法向量的理解与应用，考查了运算能力与逻辑推理能力，属于基础题．25．（2021•浦东新区校级开学）若直线l的方程为x﹣y+3＝0，则直线l的一个法向量是（1，﹣1）．【分析】先求出直线的方向向量，由直线的法向量的定义求解即可．【解答】解：因为直线l的方程为x﹣y+3＝0，则直线l的方向向量为（1，1），则直线l的一个法向量是（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题考查了直线的法向量的求解，直线的方向向量的求解，解题的关键是掌握直线的法向量的定义，属于基础题．九．平面的法向量（共2小题）26．（2022•徐汇区校级开学）设直线l的一个方向向量＝（2，2，﹣1），平面α的一个法向量＝（﹣6，8，4），则直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α．【分析】根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得•＝﹣12+16﹣4＝0，即⊥，由此分析可得答案．【解答】根据题意，直线l的一个方向向量＝（2，2，﹣1），平面α的一个法向量＝（﹣6，8，4），则•＝﹣12+16﹣4＝0，即⊥，则有l∥α或l⊂α；故答案为：l∥α或l⊂α．【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面法向量的定义，属于基础题．27．（2021春•徐汇区校级期中）已知直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，0），平面α的一个法向量为＝（m，3，6），且l∥α，则m＝6．【分析】由线面平行得到＝0，由此能求出结果．【解答】解：∵直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，0），平面α的一个法向量为＝（m，3，6），且l∥α，∴＝m﹣6＝0，解得m＝6．故答案为：6．【点评】本题考查实数值的求法，涉及到线面平行、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．一十．直线与平面所成的角（共7小题）28．（2022秋•浦东新区校级期中）直线与平面所成角的范围是．【分析】利用直线与平面所成角的定义，写出结果即可．【解答】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查直线与平面所成角的定义，是基本知识的考查，基础题．29．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，AA1的中点，则直线EF于平面A1ADD1所成角的大小为arctan．【分析】过E作EG⊥A1D1于G，连接FG，说明∠EFG为直线EF于平面A1ADD1所成角的大小，然后求解即可．【解答】解：过E作EG⊥A1D1于G，因为几何体是正方体，所以EG⊥平面A1ADD1，连接FG，则∠EFG为直线EF于平面A1ADD1所成角的大小，设正方体的列出为a，E，F分别是B1C1，AA1的中点，则EG＝a，EF＝，tan∠EFG＝＝．直线EF于平面A1ADD1所成角的大小为：arctan．故答案为：arctan．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．30．（2022春•宝山区校级期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC＝BC＝2，，．（1）求四棱锥A﹣BCC1B1的体积；（2）求直线AC1与平面ABB1A1所成的角的余弦值．【分析】（1）由题意可证AC⊥面BCC1B1，则四棱锥A﹣BCC1B1的体积为，即可得到答案；（2）取A1B1的中点为D，连接C1D，AD，可证得∠C1AD为直线AC1与平面ABB1A1所成的角，设为θ，则，即可得到答案．【解答】解：（1）由题意知，三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，故C1C⊥面ABC，∵AC⊂面ABC，∴C1C⊥AC，∵，∴AC⊥BC，C1C∩BC＝C，C1C，BC⊂面BCC1B1，∴AC⊥面BCC1B1，，；（2）取A1B1的中点为D，连接C1D，AD，由题意知AA1⊥面A1B1C1，C1D⊂面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∵A1B1C1为等腰直角三角形，D为A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂面ABB1A1，∴C1D⊥面ABB1A1，∴∠C1AD为直线AC1与平面ABB1A1所成的角，设为θ∵，，∴，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角的余弦值为．【点评】本题考查了四棱锥的体积和线面角的计算，属于中档题．31．（2022春•杨浦区校级期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．（1）求直线BC1与平面CC1D1所成的角的大小；（2）求直线BC1到平面ACD1的距离．【分析】（1）说明BC⊥平面CC1D1，则∠BC1C即为直线BC1与平面CC1D1所成的角，解直角三角形，可得答案；（2）证明BC1∥平面ACD1，即说明点B到平面ACD1的距离即为直线BC1到平面ACD1的距离，根据等体积法求得答案．【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥平面CC1D1D，即BC⊥平面CC1D1，则∠BC1C即为直线BC1与平面CC1D1所成的角，由于BC＝AD＝1，CC1＝A1A＝1，故，即直线BC1与平面CC1D1所成的角为；（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由于AB∥D1C1，AB＝D1C1，故四边形ABC1D1是平行四边形，故BC1∥AD1，而AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，故BC1∥平面ACD1，则点B到平面ACD1的距离即为直线BC1到平面ACD1的距离；而，故，设点B到平面ACD1的距离为h，则，即，则，即直线BC1到平面ACD1的距离为．【点评】本题考查了空间角和空间距离的计算，属于中档题．32．（2022春•杨浦区校级期中）如图所示，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，AB＝AA1＝2，点C为底面圆周O上的动点．记三棱锥B1﹣ABC的体积为V．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（2）求V的最大值；（3）当V取最大值时，求直线A1C1与平面B1OC所成角的正弦值．【分析】（1）利用圆的性质得AC⊥BC，再由圆柱的结构特征、线面垂直、面面垂直的判断推理作答．（2）利用三棱锥的体积公式推理、计算作答．（3）由（2）的结论，可得C为弧AB的中点，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答．【解答】（1）证明：依题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于圆柱OO1，AB是圆O的直径，点C是底面圆周上异于点A，B的点，则AC⊥BC，而AC⊥CC1，BC⋂CC1＝C，BC，CC1⊂平面BCC1B1，则AC⊥平面BCC1B1，又AC⊂平面A1ACC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．（2）解：三棱锥B1﹣ABC底面为△ABC，高BB1＝2，三棱锥B1﹣ABC体积V最大，当且仅当底面△ABC面积S△ABC最大，即△ABC边AB上的高最大，点C到直线AB距离最大，此时OC⊥AB，，所以体积V的最大值为．（3）解：由（2）知，C为弧AB的中点，射线OC，OB，OO1两两垂直，以O为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则A1（0，﹣1，2），C1（1，0，2），B1（0，1，2），C（1，0，0），，，设平面B1OC的法向量为，则，令z＝﹣1，得，设A1C1与平面B1OC所成角为θ，，所以直线A1C1与平面B1OC所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查面面垂直的证明，空间向量及其应用，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．33．（2022秋•静安区校级期中）PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面APB所成角的余弦值是．【分析】在PC上任取一点D并作PO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面APB所成的角，由此能求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．【解答】解：在PC上任取一点D并作PO⊥平面APB则∠DPO就是直线PC与平面APB所成的角．过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，∵DO⊥平面APB，∴DE⊥PA，DF⊥PB．△DEP≌△DFP，∴EP＝FP，∴△OEP≌△OFP，∵∠APC＝∠BPC＝60°，∴点O在∠APB的平分线上，即∠OPE＝30°．设PE＝1，∵∠OPE＝30°，∴OP＝＝，在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，则PD＝2．在直角△DOP中，OP＝，PD＝2．则cos∠DPO＝＝．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．故答案为：．【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．34．（2022春•浦东新区校级期中）圆柱的轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上一点，DC与AE成60°角，AB＝2（1）求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；（2）求点B到平面AEC的距离．【分析】（1）说明AB与AE所成的角为60°，即∠BAE＝60°，推出AC⊥平面BCE，得到∠ACE是AC与平面BCE所成的角，通过求解三角形推出结果．（2）设B到平面AEC的距离为h，通过VB﹣ACE＝VC﹣ABE，转化求解点B到平面AEC的距离．【解答】解：（1）由题意可知，AB是底面圆的直径，∴AE⊥BE，∵DC∥AB，DC与AE所成的角为60°，∴AB与AE所成的角也为60°，即∠BAE＝60°，∵正方形ABCD的边长为2，∴，由题意可知，BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，∴，∵BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，∴AC⊥平面BCE，∴∠ACE是AC与平面BCE所成的角，∴，即直线AC与平面BCE所成角的正弦值为．（2）设B到平面AEC的距离为h，则VB﹣ACE＝VC﹣ABE，由题意知，BC⊥平面ABE．AE⊥平面BEC，∴AE⊥EC，∴，∴，，∴，∴．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，等体积法的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题．一十一．二面角的平面角及求法（共4小题）35．（2022春•奉贤区校级期末）（1）如图1，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小；（2）如图2，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，|AB|＝2，|AD|＝|AA'|＝1．求顶点B'到平面D'AC的距离．【分析】（1）连接AC，设AC⋂BD＝O，连接PO，交EF于H，连接AH，设平面AEF⋂平面ABCD＝l．可证∠HAO为E﹣l﹣C的平面角，利用解直角三角形可求其大小．（2）利用等积法可求点到平面的距离．【解答】解：（1）连接AC，设AC⋂BD＝O，连接PO，交EF于H，连接AH，设平面AEF⋂平面ABCD＝l．因为PF＝FD，PE＝EB，故EF∥BD，而EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故EF∥平面ABCD，而EF⊂平面AEF，平面AEF⋂平面ABCD＝l，故EF∥l，故BD∥l，由正四棱锥P﹣ABCD可得四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD，即AO⊥BD，所以AO⊥l，由正四棱锥P﹣ABCD及O为正方形ABCD对角线的交点（即中心）可得：PO⊥平面ABCD，而l⊂平面ABCD，故PO⊥l，而AO⊂平面PAO，PO⊂平面PAO，PO⋂AO＝O，故l⊥平面PAO，而AH⊂平面PAO，故l⊥AH，故∠HAO为E﹣l﹣C的平面角．因为，故|AO|＝|BO|＝2，因为EF为△PBD的中位线，故，故在直角三角形△HAO中，，故．而∠HAO为锐角，故．故平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小．（2）如图，连接AD'，AB'，AC，B'D'，AB'，CD'，则，又，，故，设顶点B'到平面D'AC的距离为h，则，故．【点评】本题主要考查二面角的计算，点面距离的计算，等体积法的应用等知识，属于中等题．36．（2022春•宝山区校级月考）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣F的大小（用反三角函数表示）．【分析】（1）在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，由已知可得△ADF为正三角形．进一步得到EF⊥AD．在图（2）中，可得A1E⊥EF，BE⊥EF，即∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，可得A1E⊥平面BEP；（2）分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出面EA1P与面BA1P的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值得答案．【解答】（1）证明：设AB＝3，在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，∵AE：EB＝CF：FA＝1：2，∴AF＝AD＝2，而∠A＝60°，∴△ADF为正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD．在图（2）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥平面BEP；（2）解：分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），P（1，，0），A1（0，0，1），F（0，，0）＝（0，，﹣1），＝（1，0，0），＝（﹣2，0，1），＝（﹣1，，0）．设面FA1P的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，）；设面BA1P的法向量为＝（a，b，c），则，取y＝1，得＝（，1，2）．∴cos＜，＞＝＝＝，∴二面角B﹣A1P﹣F的大小为π﹣arccos．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，训练了利用空间向量求二面角的平面角，关键是注意折叠问题中折叠前后的变量与不变量，是中档题．37．（2022春•杨浦区校级期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、OO1两两垂直（OA、OB、OO1均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．（1）若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值．【分析】（1）法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cosθ、2sinθ，高为1，体积，由此能求出木板与两个墙面所成的锐二面角大小．法二：设三棱柱底面的一条直角边长为x（0＜x＜2），则另一条直角边长为，高为1，由体积，求出x＝1或，由此能求出此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小．（2）法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cosθ、2sinθ，高为1，若长边紧贴底面，体积，若短边紧贴底面，体积，由此能求出结果．法二：设三棱柱底面的一条直角边长为x（0＜x＜2），则另一条直角边长为，高为1，若长边紧贴底面，体积，若短边紧贴底面，体积，由此能求出结果．【解答】解：（1）解法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cosθ、2sinθ，高为1，体积，解得或，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和．解法二：设三棱柱底面的一条直角边长为x（0＜x＜2），则另一条直角边长为，高为1，体积，解得x＝1或，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和．（2）解法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cosθ、2sinθ，高为1，若长边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；若短边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；由，得体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°．解法二：设三棱柱底面的一条直角边长为x（0＜x＜2），则另一条直角边长为，高为1，若长边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；若短边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；由，得体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°．【点评】本题考查二面角、谷仓容积最大的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．38．（2021春•浦东新区校级期末）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；（3）当的值为多少时，二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．【分析】（1）由BD⊥平面SAC可证明平面EBD⊥平面SAC；（2）在三棱锥S﹣ABD中，把A顶点和把S当顶点分别求体积即可建立关于点A到平面SBD的距离h的方程，解方程即可得答案；（3）建系，SA＝a（a＞0），AB＝1，写坐标，求平面BCS和平面SCD的法向量，根据法向量的夹角公式建立关于a的方程，解方程即可得答案．【解答】（1）因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以SA⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC．因为BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC．（2）设AC∩BD＝F，连接SF，则易知SF⊥BD，因为AB＝2，所以．大为，所以，设点A到平面SBD的距离为h，因为SA⊥平面ABCD，所以，所以，所以，所以点A至平面SBD的距离为．（3）设SA＝a（a＞0），AB＝1，以A为原点，AB，AD，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则C（1，1，0），S（0，0，a），B（1，0，0），D（0，1，0），所以设平面SBC，平面SCD的法向量分别为，则，取x1＝a，则y1＝0，z1＝1，可得，同理可得．所以，要使二面角B﹣SC﹣D的大小为120°，则，从而a＝1，即当时，二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查等体积法求点面距离的应用，考查空间向量在立体几何中的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．一十二．向量语言表述线线的垂直、平行关系（共1小题）39．（2020春•松江区期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ（λ∈R）．（1）证明：PN⊥AM；（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．【分析】（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断＝0，即PN⊥AM；（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出sinθ，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正线值；（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P的位置．【解答】解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）从而＝（﹣λ，，﹣1），＝（0，1，），＝（﹣λ）×0+×1﹣1×＝0，所以PN⊥AM．（3分）（2）平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），则sinθ＝|sin（﹣＜，＞）|＝|cos＜，＞|＝||＝（※）．（5分）而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ＝除外，由（※）式，当λ＝时，（sinθ）max＝，（tanθ）max＝2．（6分）（3）平面ABC的一个法向量为＝＝（0，0，1）．设平面PMN的一个法向量为＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，﹣1，）．由解得∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴|cos＜，＞|＝||＝＝，解得λ＝﹣．（11分）故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．（12分）【点评】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．一十三．向量语言表述面面的垂直、平行关系（共1小题）40．（2021春•浦东新区校级期中）平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为＝（﹣1，0，5），＝（t，5，1），则t的值为5．【分析】先根据面面垂直，得到两平面的法向量垂直，则•＝0，再利用向量的坐标表示出两个向量的数量积得到等式，解之即可．【解答】解：∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量与平面β的法向量垂直∴•＝0即﹣1×t+0×5+5×1＝0解得t＝5故答案为：5【点评】本题主要考查了面面垂直，以及平面法向量的概念和向量的数量积，同时考查了两向量垂直的充要条件，属于基础题．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2023秋·上海静安·高二校考期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意知，要使，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即.【详解】若，则；对于A：，，故A错误；对于B：，，故B正确；对于C：，，故C错误；对于D：，，故D错误；故选：B.2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.3．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（

）①；②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若且，则∠BDC是锐角A．② B．①③ C．②④ D．②③④【答案】C【分析】由题意知，，可判断①；若∠BAC是直角，则，可判断②；设，，由余弦定理可判断③；若且，则，可得可判断④.【详解】对于①，因为，，所以，，则，故①不正确；对于②，若∠BAC是直角，则，所以∠BDC是锐角，故②正确；对于③，若∠BAC是钝角，设，，在中，由余弦定理可得：，而，所以在中，，所以∠BDC为锐角，所以③不正确；对于④，，若且，则，因为，，所以∠BDC是锐角，故④正确；故选：C.4．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，均有结论，其中，故可由进行转化，利用结论即可【详解】，∵O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，∴，∴.故选：C5．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】由题，可得平面，后由平面，可得答案.【详解】由，，可知.又平面，平面，，则平面.因，平面，则平面.故，即是直角三角形.故选：C二、多选题6．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则下列选项不正确的是（

）A．当时，满足的点轨迹长度为B．当时，满足的点的轨迹长度为C．当时，存在唯一的点满足D．当时，存在点满足【答案】ABC【分析】以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，利用数量积的运算逐项判断.【详解】解：以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系：A.当时，，设，则，因为，所以，则，即，如图在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，记的圆心为O，与交于，，令，解得，，所以，其对应的圆弧长度为，根据对称性可知点P的轨迹长度为：，故正确；B.当时，则，设，则，由，得，即，如图在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，则点P的轨迹方程表示的轨迹是线段NQ，而，故正确；C.当时，则，设，则，由，得，即，解得，所以存在唯一的点满足，故正确；D.当时，则，设点A关于平面EFGH的对称点为，则，所以故不存在点P满足，故错误，故选：ABC三、填空题7．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知，，则___________.【答案】24【分析】利用向量的数量积直接求解.【详解】因为，，所以.所以.故答案为：248．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则______．【答案】【分析】根据，可得，从而可求得，即可得解.【详解】因为，所以，所以，解得，所以.故答案为：.9．（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于原点对称，则点的坐标为______.【答案】【分析】两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标、竖坐标全部相反，故得解.【详解】因为，两点关于原点对称，所以点坐标为.故答案为：.10．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知空间向量，则实数___________.【答案】6【分析】由空间向量平行得到方程组，求出的值.【详解】因为，所以设，故，解得：.故答案为：611．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）若，，则__________【答案】【分析】根据空间向量减法的坐标运算公式直接计算即可.【详解】由，，则，故答案为：.12．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则__________【答案】3【分析】求出点坐标即得解.【详解】因为点是点关于坐标平面yoz内的对称点，所以点坐标为,所以，所以.故答案为：313．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知不共面，，，，若，则______．【答案】【分析】根据题意，化简得到，再由，得出关于的方程组，求得的值，即可求解.【详解】由题意，向量不共面，，，，则因为，则，解得，所以.故答案为：.14．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）如图，在长方体中，设，，，则______．【答案】【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.【详解】由故答案为：15．（2023春·上海宝山·高二校考阶段练习）已知，到两点距离相等的点的坐标满足的条件为________．【答案】【分析】利用点到两点距离相等，利用距离公式列出方程，化简即可求得结果.【详解】点到两点距离相等，则化简得，即到两点距离相等的点的坐标满足的条件为.故答案为：.16．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为____________个.【答案】1【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得，即可得答案.【详解】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，，，因为，则对任意，，均有，所以集合，只有一个元素.故答案为：117．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知空间向量，则下列说法正确的有___________个①；②；③若，则；④与方向相同的单位向量为.【答案】2【分析】根据空间向量的坐标表示和模的计算，结合向量的数量级公式和单位向量的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】由，所以，①错误；根据数积的定义可得，故②正确；，若要，则，可得，故③正确；与方向相同的单位向量为，故④错误.故正确的有两个.故答案为：218．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知空间向量，则两向量的夹角是___________.【答案】【分析】利用空间向量的坐标公式计算出两向量的夹角．【详解】则两向量的夹角是故答案为：19．（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）已知向量与向量平行()，则的值为______.【答案】【分析】利用空间向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量与向量平行，所以，则，解得，所以，故答案为：.20．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把转化为，可得k的值.【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，又因为，所以，可得，即得.故答案为：6.21．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）如图，在四面体中，，且，，则=______（用表示）【答案】【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果.【详解】依题得，。故答案为：．22．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________【答案】【分析】建立空间直角坐标系，假设两动点间距离最小时点对应的坐标分别为，结合题意和空间两点间距离公式得到，再利用二次函数的性质即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，，由空间两点间距离公式可得，因为，所以当时，取最小值，故答案为：.四、解答题23．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点，设，.(1)用向量、、表示、；(2)判断与是否垂直；(3)求异面直线BD与CE所成的角.【答案】(1)，(2)与不