2022-2023学年黑龙江省牡丹江市海林市高一年级下册学期第二次月考数学试题【含答案】

一、单选题1．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是．A．空间任意三点 B．空间两条直线 C．空间两条平行直线 D．一条直线和一个点【答案】C【分析】根据每个选项，可举出相应的反例进而得到结果.【详解】A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B.空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C.空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D.一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.故答案为C.【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．2．若，则z=（

）A．1–i B．1+i C．–i D．i【答案】D【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.【详解】因为，所以.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（

）.A．100 B．160 C．200 D．240【答案】C【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可.【详解】解：由3个区人口数之比为2：3：5，得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%．又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，即这个样本的容量为200．故选：C．4．已知单位向量，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；对于B，向量，为单位向量，但向量，不一定为相反向量，B错误；对于C，向量，为单位向量，则，C正确；对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.故选：C.5．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（

）A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形【答案】B【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.【详解】在四边形ABCD中，，所以，且，所以四边形为平行四边形．故选：B6．在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．7．正方体的六个面中相互平行的平面有（

）A．2对 B．3对 C．4对 D．1对【答案】B【分析】根据正方体的几何结构特征，即可求解.【详解】根据正方体的几何结构特征，正方体的六个面中相对的面，相互平行，所以正方体的六个面中相互平行的平面有3对.故选：B.8．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a与直线b一定（

）A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交【答案】D【分析】由面面平行的定义结合两直线的位置关系的判定即可判断.【详解】由平面α∥平面β，则两平面没有公共点，那么直线a与直线b一定没有公共点，但可以是平行或异面.故选：D9．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（

）A．0.38 B．0.61C．0.122 D．0.75【答案】B【分析】利用频率组距，即可得解.【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率故选：B10．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行【答案】D【详解】A错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；B错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；C错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；D正确；设故做一平面，则，又故选D11．在正方体中，异面直线AB1与BD的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，则为异面直线AB1与BD所成的角，故可得出结果.【详解】异面直线与夹角等于与夹角；连接，则为异面直线AB1与BD所成的角，为正三角形，所以，所以异面直线与夹角为.故选：B12．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选：C二、填空题13．平面向量，，则___________.【答案】【分析】利用向量的坐标运算求解即可.【详解】由题知，，，则.故答案为：14．已知的平均数为a，则的平均数是__________.【答案】【解析】由题可得,再利用平均数的定义求解即可【详解】由题,,所以,则的平均数为:,故答案为:【点睛】本题考查平均数公式的应用,属于基础题15．已知的内角A、、的对边分别是、、，且，，.则的面积为______.【答案】【分析】由余弦定理结合已知条件可求出，即可由面积公式求出面积.【详解】由余弦定理得，，，，，解得，则的面积为.故答案为：.16．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为．【答案】【详解】试题分析：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为即【解析】点、线、面间的距离计算三、解答题17．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取多少人?【答案】16【分析】先求出男运动员人数，再由每名运动员被抽到的概率都是，即能求出男运动员应抽取的人数.【详解】因为田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，所以男运动员有56人，又每名运动员被抽到的概率都是，所以男运动员应抽取56×=16(人).18．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE.【答案】证明见解析【分析】如图，连接BD交AC于点O，连接OE，可得OE是的一条中位线，进而得出OE∥BD1，根据线面平行的判定定理即可证明.【详解】如图，连接BD，交AC于点O.在正方体中容易得到O为BD的中点，又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.19．某数学兴趣小组11人的年龄(单位:岁)分别为17，19，22，24，25，28，34，35，36，37，38，这组数据的三个四分位数分别是多少？【答案】22，28，36【分析】根据百分位数得定义计算即可.【详解】因为，所以这组数据的三个四分位数分别是第3，6，9个数据，即22，28，36.20．如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点.

(1)设过三点的平面为，求证：平面平面；(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先分别证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证；（2）过作，垂足为，先根据面面垂直的性质分别证明平面，平面，再根据锥体的体积公式即可得解.【详解】（1）∵G是BP的中点，∴，又∵，∴，又∵，∴四边形AEPG是矩形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵分别是BC，BP的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，且平面，∴平面平面；（2）过作，垂足为，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，∴，∵因为平面平面，平面平面，，平面，∴平面，即是三棱锥的高，∵，∴由勾股定理得，，∴，∴，∴四棱锥与三棱锥的体积之比.

21．在中，角，，的对边分别为，，．，边上的高为．（1）若，求的周长；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由三角形面积公式可得，，结合余弦定理，可得，即可得的周长；（2）由（1）和正弦定理可得，，转化为三角函数以后利用辅助角公式化简运算，由，根据三角函数的性质求解最大值.【详解】解：（1）依题意，可得，因为，所以．由余弦定理得，因此，即．故的周长为．（2）由（1）及正弦定理可得，，（其中为锐角，且）由题意可知，因此，当时，取得最大值．【点睛】一般关于解三角形中的最值问题，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用求三角函数值域的方法求解最值.22．在三棱柱中，底面是正三角形，，侧棱平面，、分别是、的中点，且．（I）求证：平面；（Ⅱ）求到平面的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）推导出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得平面；（Ⅱ）根据题意得出，进而可计算出，由（I）知平面，设点到