2021-2022学年山东省青岛市中心中学高三数学文月考试卷含解析

2021-2022学年山东省青岛市中心中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3?a7（）A．5 B．18 C．24 D．36参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，即得a5的值，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．【解答】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为Tr+1=?x4﹣2r，令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，∴a3a7=a52=36，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2.若数列{an}的前n项和为Sn=kn2+n，且a10=39，则a100=（）A．200 B．199 C．299 D．399参考答案：D【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由Sn=kn2+n，可得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2kn﹣k+1，利用a10=39，解得k=2．即可得出．【解答】解：∵Sn=kn2+n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1，∵a10=39，∴20k﹣k+1=39，解得k=2．∴an=4n﹣1则a100=400﹣1=399．故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增的是

(

) A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.设、分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使得，则双曲线的离心率为

（

）A．2 B． C． D．参考答案：D略5.若复数是纯虚数，则实数等于（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.函数（）的图象的一条对称轴方程是A．

B.

C.

D．参考答案：B7.某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;小王说:“丁团队获得一等奖”;小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁参考答案：D本题考查学生的逻辑推理能力.1.

若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.

若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.

若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.

若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.故选D.8.等比数列{an}中，若a4a5=1，a8a9=16，则a6a7等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】由数列{an}为等比数列，利用等比数列的性质得到a8a9=q8?a4a5，将已知a4a5=1，a8a9=16代入求出q8的值，开方求出q4的值，然后把所求的式子再利用等比数列的性质化简后，将q4的值与a4a5=1代入，即可求出值．【解答】解：∵数列{an}为等比数列，a4a5=1，a8a9=16，∴a8a9=q8?a4a5，即q8=16，∴q4=4，则a6a7=q4?a4a5=4．故选A9.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（

）A．10

B．12

C.14

D．16参考答案：C，故选C.

10.设A，B是两个集合，①，，；②，，；③，，．则上述对应法则中，能构成A到B的映射的个数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若方程的实数根的个数有3个，则实数的值是

．参考答案：12.设四边形ABCD为平行四边形，||=8，||=3，若点M，N满足=3，=2，则?=．参考答案：9【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】用表示出，代入数量积计算．【解答】解：∵=3，=2，∴==，=，==﹣=﹣，∴==，==．?=（）?（）=﹣=×82﹣×32=9．故答案为：9．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．13.已知向量,,且,则m=________.参考答案：【分析】由向量平行的坐标表示，计算即得解.【详解】由于向量,,且,由向量平行的坐标表示，故答案为：【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的表面积_______参考答案：4π【分析】根据题中所给的条件，取中点O，可以得到，从而确定出球半径为1，利用球的表面积公式求得结果.【详解】取中点，由，知，∴球半径为1，表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有球的表面积公式，确定出球心位置是解题的关键.

15.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。（从小到大排列）参考答案：略16.已知若直线与直线互相垂直，则的最小值是

．参考答案：2略17.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x+y=______.参考答案：5【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）如图，已知抛物线x2=y，点A(，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(＜x＜)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|·|PQ|的最大值．参考答案：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，，因为，所以直线AP斜率的取值范围是．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是．因为|PA|==，|PQ|=，所以．令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．19.（本小题满分15分）已知函数（为常数）（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；（2）若与直线相切．（ⅰ）求的值；（ⅱ）设在处取得极值，记点M(,)，N(,)，P(),

,若对任意的m(,x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论.参考答案：

（ⅰ）由以上两式联立消去并整理可得：，因式分解为：，该方程只有唯一解，即（ⅱ）令，得由（ⅰ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()直线MP的方程为由

得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此,在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根等价于

即又因为,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的的最小值为2.20.（12分）如图，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

参考答案：解析：证明(Ⅰ)

AB∥DC，DC平面PAD．DCPD

DCAD，PDA为二面角P－CD－B的平面角．………3分故PDA＝45°

PA＝AD＝3，

APD＝45°．PAAD．又PAAB，PA平面ABCD．……6分

（Ⅱ）证法一：延长DA，CE交于点N，连结PN,由折叠知又．，又由（１）知，为二面角的平面角．………9分在直角三角形中，，．即平面PEC和平面PAD所成锐二面角为30°．……12分证法二：如图建立空间直角坐标系

，则，设为平面的法向量，则，可设，又平面的法向量，．．

21.某次数学考试试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：（Ⅰ）得45分的概率；（Ⅱ）所得分数ξ的数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）得分为45分，剩下4道必须再做对3道题，在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道答对的概率为，由此能求出得分为45分的概率．（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{30，35，40，45，50}，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）得分为45分，剩下4道必须再做对3道题，在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道答对的概率为，所以得分为45分的概率为：．（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{30，35，40，45，50}．得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：；同理可以求得得分为35分的概率为：；得分为40）的概率为：；得分为45）的概率为：；得分为50）的概率为：．可知ξ的分布列为：ξ3035404550P∴．22.（本小题满分14分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生

表2：女生等级优秀合格尚待改进

等级优秀合格尚待改进频数155

频数153（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边列联表，并判断是否有的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

男生女生总计优秀

非优秀

总计

参考数据与公式：，其中．临界值表：

参考答案：【知识点】概率，列联表K2

I4（1）（2）没有的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．解析：（1）设从高一年级男生中抽出人，则，，∴

（2分）表2中非优秀学生共人，记测评等级为合格的人为，尚待改进的人为，则从这人中任选人的所有可能结果为：，共种．（4分）设事件表示“