河北省邢台市桥西区第一中学2022-2023学年高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．与a的值有关联2．过点且与直线垂直的直线方程是．A． B． C． D．3．已知函数的最大值是2，则的值为（）A． B． C． D．4．一个圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设圆柱的侧面积为，球的表面积为，则()A． B． C． D．15．在中，角所对的边分别为，若，则此三角形（）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定6．已知向量，且，则().A． B．C． D．7．已知数列共有项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，现给出下列个命题：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合中共有个元素．则其中真命题的个数是（）A． B． C． D．8．式子的值为()A． B．0 C．1 D．9．设是内任意一点，表示的面积，记，定义，已知，是的重心，则（）A．点在内 B．点在内C．点在内 D．点与点重合10．若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．执行如图所示的程序框图，则输出的_______．12．当函数取得最大值时，=__________．13．等比数列的首项为，公比为，记，则数列的最大项是第___________项.14．设满足约束条件，则的最小值为__________．15．在数列中，是其前项和，若，，则___________.16．在三棱锥中，，，，作交于，则与平面所成角的正弦值是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在锐角中，角,,所对的边分别为，，.已知,.（1）求的值；（2）若,求的面积.18．已知，，与的夹角是（1）计算：①，②；（2）当为何值时，与垂直？19．的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.20．已知圆,圆与圆关于直线对称.(1)求圆的方程;(2)过直线上的点分别作斜率为的两条直线,使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.(i)求的坐标;(ⅱ)过任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.21．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为．考点：几何概型，圆的面积公式．2、A【解析】

根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程.【详解】设与直线垂直的直线为：代入可得：，解得：所求直线方程为：，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题.3、B【解析】

根据诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，根据辅助角公式结合范围求最值取得的条件即可得解.【详解】由题函数，最大值是2，所以，平方处理得：，所以，，所以.故选：B【点睛】此题考查根据三角函数的最值求参数的取值，考查对三角恒等变换的综合应用.4、D【解析】

由圆柱的侧面积及球的表面积公式求解即可.【详解】解：设圆柱的底面半径为，则，则圆柱的侧面积为，球的表面积为，则，故选：D.【点睛】本题考查了圆柱的侧面积的求法，重点考查了球的表面积公式，属基础题.5、C【解析】

利用正弦定理求，与比较的大小，判断B能否取相应的锐角或钝角.【详解】由及正弦定理，得，，B可取锐角；当B为钝角时，，由正弦函数在递减，，可取.故选C.【点睛】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.6、D【解析】

运用平面向量的加法的几何意义，结合等式，把其中的向量都转化为以为起点的向量的形式，即可求出的表示.【详解】,,故本题选D.【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.7、D【解析】

对任意的、，有仍是该数列的某一项，可得出是该数列中的项，由于，可得，即，以此类推即可判断出结论.【详解】对任意、，有仍是该数列的某一项，,当时，则，必有，即，而或.若，则，而、、，舍去；若，此时，，同理可得.可得数列为：、、、、.综上可得：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合，该集合中共有个元素.因此，（1）（2）（3）（4）都正确.故选：D.【点睛】本题考查有关数列命题真假的判断，涉及数列的新定义，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.8、D【解析】

利用两角和的正弦公式可得原式为cos（），再由特殊角的三角函数值可得结果.【详解】cos（）＝coscos，故选D．【点睛】本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题.9、A【解析】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P分△ABC所得三个三角形的高与△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/2，1/3，1/6）∴P离线段AB的距离最近，故点Q在△GAB内由分析知，应选A．10、D【解析】

本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线与圆相切即可列出算式并通过计算得出结果。【详解】由题意可知，圆方程为，所以圆心坐标为，圆的半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即解得或，故选D。【点睛】本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

按照程序框图运行程序，直到a的值满足a>100时，输出结果即可.【详解】第一次循环：a=3；第二次循环：a=7；第三次循环：a=15；第四次循环：a=31；第五次循环：a=63；第六次循环：a=127，a>100，所以输出a.所以本题答案为127.【点睛】本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.12、【解析】

利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.【详解】因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，∴故答案为【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.13、【解析】

求得，则可将问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，利用二次函数的基本性质求解即可.【详解】由等比数列的通项公式可得，，则问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，，当时，取得最大值，此时为偶数.因此，的最大项是第项.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列前项积最值的计算，将问题进行转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、-1【解析】

由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15、【解析】

令，可求出的值，令，由可求出的表达式，再检验是否符合时的表达式，由此可得出数列的通项公式.【详解】当时，；当时，.不适合上式，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求数列的通项公式，一般利用，求解时还应对是否满足的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解析】

取中点,中点,易得面,再求出到平面的距离,进而求解再得出到平面的距离.从而算得与平面所成角的正弦值即可.【详解】如图,取中点,中点,连接.因为,,所以.因为,,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距离.到面的距离.又因为,所以,所以,所以,故到面的距离.故与平面所成角的正弦值是故答案为：【点睛】本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）3.【解析】

（1）利用正弦定理可得，消元后可得关于的三角方程，从该方程可得的值.（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得，再根据题设条件得到后再利用正弦定理可求的值，从而得到所求的面积.【详解】(1)在由正弦定理得，①，因为,所以，又因为，所以，整理得到，故.(2)在锐角中，因为，所以，将代入①得.在由正弦定理得，所以.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.18、（1）①；②；（2）.【解析】

利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果.【详解】由已知得：（1）①②（2）若与垂直，则即：，解得：【点睛】本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解.19、(1)(2)【解析】

（1）利用正弦定理边角互化的思想以及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理以及诱导公式求出的值，结合角的范围求出角的值；（2）由三角形的面积公式得，由正弦定理结合内角和定理得出，利用为锐角三角形得出的取值范围，可求出的范围，进而求出面积的取值范围．【详解】（1），由正弦定理边角互化思想得，所以，，，，，；（2）由题设及（1）知的面积.由正弦定理得.由于为锐角三角形，故，由（1）知，所以，故，从而.因此面积的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理解三角形以及三角形面积的取值范围的求解，在解三角形中，等式中含有边有角，且边的次数相等时，可以利用边角互化的思想求解，一般优先是边化为角的正弦值，求解三角形中的取值范围问题时，利用正弦定理结合三角函数思想进行求解，考查计算能力，属于中等题．20、（1）；（2）（i）,（ii）见解析【解析】

(1)根据题意，将问题转化为关于直线的对称点即可得到，半径不变，从而得到方程；(2)(i)设，由于弦长和距离都相等，故P到两直线的距离也相等，利用点到线距离公式即可得到答案；(ⅱ)分别讨论斜率不存在和为0三种情况分别计算对应弦长，故可判断.【详解】（1）设，因为圆与圆关于直线对称，，则直线与直线垂直，中点在直线上，得解得所以圆.（2）（i）设的方程为，即；的方程为，即.因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，所以到的距离与到的距离相等，即，所以或.由题意，到直线的距离，所以不满足题意，舍去，故，点坐标为.（ii）过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.证明如下：当的斜率等于0时，的斜率不存在，被圆截得的弦长与被圆截得的弦长都等于圆的半径；当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为，即.因为到的距离，到的距离，所以到的距离与到的距离相等.所以圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.【点睛】本题主要考查点的对称问题，直线与圆的位置关系，计算量较大，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.21、（1）见解析；（2）；（3）.【解析】

（1）通过判断函数的单调性，求出的值域，进而可判断