毕业设计（论文）文献译文：一种用LU分解求解n阶线性方程组的MATLAB新编码方法

毕业设计（论文）--文献翻译原文题目AnewCodingmethodinMATLABusedforsolvingaSystemofnLinearEquationsbyLUDecomposition译文题目一种用LU分解求解n阶线性方程组的MATLAB新编码方法专业信息与计算科学姓名学号指导教师

一种用LU分解求解n阶线性方程组的MATLAB新编码方法DigvijaySingh,DrL.N.Das著DepartmentofAppliedMathematics,DelhiTechnologicalUniversity,ShahabadDaulatpur,Delhi,INDIAIndas@dce.ac.in钱竹兵译13信息=1\*GB3①班）摘要在编码中，除了能实现分解之外，也可用于实现矩阵运算的操作如分解法等。在现有的编码中，求解一个阶线性方程组使用LU分解，旋转矩阵是每列的最大元素在主对角线上的矩阵。而我们在编码中则不需要。在本文中，我们已经编写了一个使用分解求解阶线性方程组的编码。关键词:LU分解1.1简介是一个功能非常丰富和有用的工具，在工程、科学和数学领域中被广泛使用，能够创建模型，模拟和解决许多问题。尤其是处理数组和矩阵特别容易。其中有许多内置功能，使计算更加容易。在本文中，我们已经编写了一个求解阶线性方程组编码。在文献[1]中，我们发现，一个矩阵称为旋转矩阵是用来获得相应的解决方案。在旋转矩阵乘法中，主要目的是重新排列系数矩阵的列元素，使每列的最大元素落在主对角线上。这种旋转化需要花费更多的时间。所以我们建议使用一个新的方法来克服这些困难。本文给出了线性方程组系数矩阵LU分解的简要定义和MATLAB编码，并利用该分解求出方程组的解。1.2所需的概念2.1秩：矩阵A的秩是线性无关列最大集合的大小。2.2系数矩阵：系数矩阵是指在一组线性方程组中由变量系数构成的矩阵。2.3增广矩阵：增广矩阵是将常数矩阵附加在系数矩阵最后一列所形成的矩阵，其目的是为了在给定的矩阵上执行相同的初等行运算。2.4矩阵的逆：一个方形矩阵，逆记为。其中乘以的结果是单位矩阵，非方阵没有逆，不是所有的方形矩阵都有逆。2.5零矩阵：零矩阵是所有元素绝对值相加对于0的矩阵。2.6单位矩阵：是一个主对角线上所有元素都为1和其他所有元素都为0的方形矩阵。其中一个给定矩阵乘以一个单位矩阵的结果是保持不变的。2.7正定矩阵：一个对称实数矩阵，如果对于个实数的非0列向量都有大于0，则称为正定矩阵。其中为的转置。2.8矩阵乘法：与这两个矩阵的元素表示为，，其中因此，它们两的矩阵乘积为，2.9阶线性方程组：线性方程组是一组集合或方程集合，它们是在一起处理的。其中个变量的个方程被定义为，其中，是实数，是变量，。矩阵形式表示为，该方程组的三种解情况：唯一解无穷多个解无解从该方程组解的唯一性可以看出，通过使用矩阵代数比较系数矩阵A和增广矩阵k的秩如下（其中n是变量/未知数）如果，则存在唯一解。如果，则有无穷多个解。其中有多种方法可以求解该方程组，如替代，交叉乘法，矩阵代数方法等，但是在这里我们集中介绍的是LU分解方法。1.3分解方法在分解中，每个方阵都可以分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。矩阵可以分解的充要条件是为正定矩阵。现在，对于具有唯一解的可解方程组，上或下三角矩阵中的一个对角线元素应该为1。如果上三角矩阵的对角线元素为1，则这是所谓的方法。如果下三角矩阵L的对角线元素为1，则这是所谓的方法。由于：则：设：则：得：在这里，是系数矩阵，是常数矩阵，是变量矩阵（其元素要被确定），是下三角矩阵（其元素要被确定），是上三角矩阵（其元素要被确定）。2.1函数下面的函数已用于下面定义的编码当中：：返回矩阵的行和列大小。：定义了一个阶的零矩阵。：定义了一个阶的单位矩阵。用于求解解变量的方程。2.2编码下面提供的是（版）为方法编写的代码。1function[L,U,X]=LU_Crout(A,b)23%FunctiontofindsolutionofAX=bbyCrout's4%LUDecompositionmethod.5%Input=A,b6%Output=L,U,X78n=size(A);910flag=1;1112if(n(1)~=n(2))13fprintf('\nNotsquarematrix\n');14flag=0;15return;16end1718if(flag==1)19K=[Ab];20end2122if(flag==1)23if(rank(A)~=rank(K))24fprintf('\nNosolution');25return;26elseif(rank(A)==rank(K)&&rank(A)<n(1))27fprintf('\nInfinitesolutions')28return;29end30end31end323334symstemp;3536L=sym(zeros(n(1)));37U=sym(eye(n(1)));3839T=sym(zeros(n(1)));4041fori=1:n(1)42forj=1:n(1)43if(i>=j)44L(i,j)=temp;45elseU(i,j)=temp;46end47fork=1:n(1)48T(i,j)=T(i,j)+L(i,k)*U(k,j);49end50eq_ans=solve(T(i,j)==A(i,j),temp);51T(i,j)=eq_ans;52if(i>=j)53L(i,j)=T(i,j);54elseU(i,j)=T(i,j);55end56end57end5859Z=L\b;%Z=inv(L)*b6061X=U\Z;%X=inv(U)*Z6263end2.3代码说明第1行定义了一个参数为A（系数矩阵）和B（常数列向量）的函数LU_Crout，并给出了分解之后的上、下三角矩阵（分别为L和U），以及求解方程AX=b的结果X。第8-31行检查系数矩阵A是否是一个方阵。如果不是，那么将不能进行LU分解。同时也通过比较系数矩阵与增广矩阵秩的大小，检测了该方程组的解是否具有唯一性。LU分解以及求解方程组解的主要代码是在第34-63行。在第36和37行中，我们初步设定零值未知元素，从而得到零矩阵和单位矩阵分别为L和U，阶数都为n。这样做是因为已知的矩阵L是下三角矩阵，矩阵U是对角线为1的上三角矩阵。如果我们需要使用Doolittle的方法求解，我们将设置L为单位矩阵和U为零矩阵。我们在第34行中声明一个临时变量用来表示当前迭代中L或U的未知元素。现在，我们使用2.8提供的算法执行矩阵乘法运算，并将所得到的结果赋值给一个临时零矩阵T（在第39行有定义）。整个算法都依赖于这样的性质，当我们执行矩阵乘法运算时，在方程组中只有一个未知数，其余所有未知量的值都是已知的。通过将当前矩阵乘法向量与系数矩阵对应值相对应，得到了该方程的乘积方程，可以用于求解2.11中的函数(f,x)。在第43-46行中的条件检查在当前的乘法迭代过程中变量是未知的。这个未知数在方程中被临时代替。当x=temp时求解函数(f,x)，我们将得到未知数的值。在每步的迭代过程中，未知数的计算值被替换在矩阵L或U当中。通过最后一步的迭代，L和U的未知元素被替换，并且可以用它们来求出解向量X。在第59行当中，我们使用命令Z=L\B可以得到Z=LB。同样的，我们使用命令X=U\Z也可以得到X=UZ。从而得到了方程组的解。2.4方法的优点编写代码的主要优点是克服了在给定的MATLAB编码中存在的问题。MATLAB目前还不能处理符号化的矩阵；相反，编码是由符号变量来支持的。我们已经声明的编码不仅限于LU分解。它可用于其它矩阵运算，如Cholesky分解等。在现有的MATLAB编码当中，利用LU分解的方法求解n阶线性方程组，并分配了一个主矩阵来重新分配系数矩阵的列元素的顺序。而在我们的编码当中，主矩阵则是不需要的。3示例我们在已编写好的MATLAB代码中验证一下示例。方程组为：方程组为：a+b−2c+d+3e−f=42a−b+c+2d+e−3f=20a+3b−3c−d+2e+f=−155a+2b−c−d+2e+f=−3−3a−b+2c+3d+e+3f=164a+3b+c−6d−3e−2f=−27

参考文献[1]/wiki/LU_decompositionCreationgaMATLABfunction[2]ErwinKreyszig,AdvancedEngineeringMathematics