机械基础老师2第二章

内

容运动分析目的和方法用速度瞬心法求机构的速度用矢量方程图解法求机构的速度和加速度复杂机构的速度分析用解析法求机构的速度和加速度重

点速度瞬心及“三心定理”的运用、矢量方程图解法求一般机构的速度和加速度。第2章平面机构的运动分析§1运动分析目的和方法目的：确定机构的运动参数（轨迹、位移、速度、加速度等）方法：图解法（瞬心法、矢量方程） 形象直观、繁琐精度低。解析法（矢量方程、复数、矩阵等） 精度高、公式复杂、计算量大。•••§2用速度瞬心法分析机构的速度瞬心Pij（i、j代表构件）一、速度瞬心的概念速度瞬心

瞬时等速重合点（同速点）BAPVAVB绝对瞬心VPij=0相对瞬心VPij„0VA2A1VB2B1ABP12P2112CB1AD234二、瞬心数目的确定N

=

k(k

-1)21234P12P23P34P14P13P24k—构件数方法：计算或作图1)由运动副直接相联的两构件回转副：回转副中心移动副：垂直导轨无穷远处纯滚动高副：接触点一般高副：接触点公法线上2)没有联接关系的两构件三心定理：三个构件的三个瞬心在一条直线上VK2VK3因而K不是瞬心，只有在连线上才能保证同方向。证明(P23在P12P13线上)反证法：取P12P13连线外某重合点K,可知VK2„VK3三、瞬心位置的确定P13P13VP131234w

1P13•[例1]

找出图示机构的瞬心1-2-3

(P12P23)

fi1-4-3

(P34P14)

fiP13P13P24？

(P12P14)

fi(P23P34)

fiP24P24124P12P233P34P14

P

P24

13P14P34P12P232解：瞬心数目N=？N=6个P23P1P14P34绝对？相对？Cwq134DPB122P24P14Aw3P34P23¥P13[例2]确定瞬心数目N=？N=6N=3(P12P23)

fi(P34P14)

fiP13P13(P12P14)

fi(P23P34)

fiP24P24接触点法线fiP12(P13P23)

fiP12P13P23123P1211四、速度瞬心在机构速度分析中的应用[例1]

已知图示四杆机构各杆长、q1

及w1

,求w2

及w3解:①以长度比例尺14B2P12CP233D

P34P13

A

P14P24q作机构位置图VP12w1w2②确定瞬心数目和位置③求解角速度●a)

据同速点P12VP12

=

VB1

=

VB

2Lw1

·

P12

P14

·m

L=

w

2

·

P12

P24

·m112

142wP

P=

P12

P24

w= (顺)实际长度(m)mL

=图示长度(mm)4BC2P12P23D

P34P241

qVP12w1w2b)据同速点P13P13

A

P14VP133

w3E●VP13

=

VE1

=

VE

3w1

·

P13

P14

·m

L=

w

3

·

P13

P34

·m

L13

343

1wP

P=

P13

P14

w=

(逆)曲柄滑块机构？导杆机构？P13P23fi

¥12VP12123w

1[例2]已知图示机构尺寸以及w1逆时针方向转动，求构件2的速度。解:①以长度比例尺作机构位置图③求构件2的速度V2

=

VP12

=

w1

·

P13

P12

·

mL

=（方向向上）P

•实际长度(m)mL

=图示长度(mm)②确定瞬心数目和位置N=3P12在高副法线上，同时也在P13P23的连线上。结论:①两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的距离之反比。②角速度的方向为：相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时，两构件转向相同。相对瞬心位于两绝对瞬心之间时，两构件转向相反。用瞬心法解题步骤①绘制机构运动简图；②求瞬心的位置；③求出相对瞬心的速度;④求构件绝对速度V或角速度ω。瞬心法的优缺点：①适合于求简单机构的速度，机构复杂时因瞬心数急剧增加而求解过程复杂。②有时瞬心点落在纸面外。③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。§3

用相对运动图解法分析平面机构的运动一、矢量方程的图解法aAbqx矢量：大小、方向矢量方程A

+

B

=

C一个矢量方程可以解两个未知量。A

+

B

=

CAB？√大小

√

？方向

√

√BCACA•B•二、速度和加速度的矢量方程两类问题：1）同一构件不同点之间的运动关系（刚体的平面运动=随基点的平动+绕基点的转动）若已知VA、w

和aA、aVAVBAVBA•B•wVB

=

VA

+VBA？？w·LAB√√

^AB大小方向BABAABa

=

a

+

a

n

+

a

t？？√√w2·LAB大小方向a·LABBfi

A

^ABaAaBAaBa1)同一构件上两点速度和加速度之间的关系①速度之间的关系。选速度比例尺μv

（m/s）/mm，在任意点p作图使vA＝μv

pa，ab同理有：vC＝vA＋vCA大小：

?

√

?方向：

? √

⊥CA相对速度为：vBA＝μv

abvB＝vA+vBA按图解法得：vB＝μv

pb,不可解！p设已知大小：方向：?

√

?√

√

⊥BA方向：p

b方向：a

bACvBBabpc联立方程有：vC＝vA＋vCA

＝vB＋vCBACB不可解！同理有：vC＝vB＋vCB大小：

?

√

?方向：

? √

⊥CB大小：

?

√

?

√

?方向：

? √⊥CA√

⊥CB方向：p

c方向：a

c方向：b

c作图得：vC＝μv

pcvCA＝μv

acvCB＝μv

bcω＝vBA/lBA＝μvab/μl

AB同理：ω＝μvca/μl

CA，称pabc为速度多边形（或速度图解)，p为极点。得：ab/AB＝cb/CB＝ca/CA所以△abc∽△ABC方向：CWω＝μvcb/μl

CBACBcωabpcabpACB速度多边形的性质:a.连接p点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对速度，指向为p→该点。b.连接任意两点的向量代表该两点在机构图中同名点的相对速度，指向与速度的下标相反。如bc代表vCB而不是vBC

，常用相对速PD速度多边形的用途：由两点的速度可求任意点的速度。例如，求BC中间任意点E的速度VE时，bc上中间任意点e为E点的影像，连接pe就是vE。ACBE度来求构件的角速度。

c.因为△abc∽△ABC，称abc为ABC的速度影像，两者相似且字母顺序一致。前者沿ω方向转过90°。称pabc为PABC的速度影像。d.极点p代表机构中所有速度为零的点的影像。特别注意：影像与构件相似而不是与机构位形相似！Dcabpeb’AC②加速度关系。求得：aB＝μap’b’选加速度比例尺μa

(m/s2)/mm，在任意点p’作图使aA＝μap’a’

(如右中图)b”设已知角速度ω，A点加速度和aB的方向A、B两点间加速度之间的关系有：BBAa

＝a

+

an

+

atBA?atBA＝μab”b’aBA＝μab’

a’方向:

b”

b’方向:

a’

b’大小：方向：⊥BA?√A√√ω2lABBAaAaBBa’p’同理:

aC＝aA+

anCA+

at

＝a

+

an

+

at

(如右下图)CA

B

CB

CB方向：p’

c’方向：c”’

c’方向：c”

c’??作图求解得:

aC＝μap’c’at

μ

c”’c’CA＝

aat

μ

c”

c’CB＝

a√

√

?

√

√

?√

√

√

√

√

√b’b”a’p’c”’c”c’角加速度：α＝at

/

lBA

ABaBA＝

(at

)2+(an

)2BA

BAaCB＝

(at

)2+

(an

)2

＝l α2

+ω

4

CB

CB

CB得：b’

a’/

lAB＝b’c’/lBC＝

a’

c’/

lCA所以

△a’b’c’∽△ABC称p’a’b’c’为加速度多边形（或加速度图解），

p’为极点加速度多边形的特性：a.连接p’点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对加速度，指向为p’该点。aCA＝

(at

)2+

(an

)2CA

CA方向：CCWb”a’p’c”’b’c”c’BAC＝μa

b”b’

/μl

AB＝lBA

α2

+ω

4＝lCA

α2

+ω4＝μab’

a’＝μaa’c’＝μab’c’αBAb.连接任意两点的向量代表该两点在机构图中同名点的相对加速度，指向与加速度的下标相反。如a’b’代表aBA而不是aAB

，b’c’

aCB

，c’a’

aAC

。常用相对切向加速度来求构件的角加速度。c.因为△a’b’c’∽△ABC，称a’b’c’为ABC的加速度影像，称p’a’b’c’为PABC的加速度影像，两者相似且字母顺序一致。特别注意：影像与构件相似而不是与机构位形相似！d.极点p’代表机构中所有加速度为零的点的影像。用途：根据相似性原理由两点的加速度求任意点的加速度。例如:求BC中点E的加速度aEb’b”a’p’c”’c”c’CE作者：潘存云教授e’2）两构件重合点之间的运动关系（动点的运动=牵连点的运动+动点相对牵连点的运动）VB1B221B•w2VB1

=

VB

2+VB1B

2aB1B

2B1B

2B

2B1+

a

k

+

a

r=

a？√？

√√√aB1B2哥氏VB2aB2？√？

√√√B1B

22wV哥氏加速度是动点B1相对构件2运动时，由于构件2的牵连运动为转动而产生的附加加速度。B1B2将V

顺牵连w

转90°B32AC两构件重合点的速度及加速度的关系①速度关系大小：方向：v

＝v

＋vB3

B2?pb2b33

2B

B

2V

的方向: b

b3ω3

=

μ

pb

/lv

3

CBω31

ω1√√√B3B2?∥BCb’2k’b’

3b”3p’α3ak

BB3

2②加速度关系图解得：

aB

＝μap’b3

,

a

B

B

＝μak

b3’

r

’

’3

3

2结论：当两构件构成移动副时，重合点的加速度不相等，且移动副有转动分量时，必然存在科氏加速度分量。akB

B

（科氏加速度）的方向：vB

B

顺ω3

转过90°3

2 3

2α3＝at

/lBC＝μab3’’b3’

/lBCB3B

C2356AC4DEFwB1

1a1BCDVB2例求图3-5所示机构的运动关系（P52）解：1)以长度比例尺mL作机构位置图

2)速度分析求Vc、

w2

（第一类问题）VC

=

VB

+VCB？^BC=

作速度多边形=

VBpbVm？

w1·LAB水平

^AB以速度比例尺得：P

•bcVBVCVCB=BCL=

VCB2wVCBVC

=

pc

·

mV

==

bc

·

mV

=（逆时针）w2求构件2上D点的速度P

•bcVBVCBdVCVD231ABDVD

=

pd

·

mV

=速度多边形特点从极点p引出的矢量代表绝对速度其他任意两点间的矢量代表其相对速度VD

=

VB

+VDB？√？

√？^BDVC

+VDC√？√

^CD=VB6

C

VC3）DBCD与Dbcd相似，且字母绕向顺序也相同，故称Dbcd是DBCD的速度影象。当已知构件两点的速度，可应用速度影象原理求出该构件其他点的

速度。w2VDP

•bVBcVCBdVCVD=DFL=

VD55wVD5D

4

=

dd5

·

mV

=VD5

=

pd5

·

mV

=（顺时针）求w5

（第二类问题）以构件4、5为研究对象列方程重合点？fi

找运动已知的点。E5D4F4VDVD5

=

VD

4

+VD5D

4√？

√？^DF

//EFd5VD5D4VD523561ABC4DEFa1w1aB3)加速度分析a

=

a

+

a

n

+

a

t

C

B

CB

CB？√//AC

Bfi

A

Cfi

B^BCc'p'b'n2d'以加速度比例尺ma

=作加速度多边形=p¢b¢aB2

BCw

2

L

？LBCa

2

=

CB

=CBataC

=

p¢c¢·

ma

=at=

n2c¢·

ma

=（逆时针）加速度多边形特点2351ABC4DEFa113）加速度分析（续）

waBa

nD5

D

4D5D

4D

4D5D5+

a

k

+

a

r+

a

t

=

aDfi

F^DF？√√^EF？//EFc'p'b'd'n5n2k56

d

'5

DFw

2

L4

D5

D

42w

VLDFata

5

=

D5

=aatar=

n

d

¢·

m

==

kd

¢·

m

=D5

5 5

a5D5D

4（顺时针）§5

用解析法作机构的运动分析图解法的缺点：▲分析结果精度低。▲作图繁琐、费时，不适用于一个运动周期的分析。▲不便于把机构分析与综合问题联系起来。解析法：复数矢量法、矩阵法、杆组法等。思路：由机构的几何条件，建立机构的位置方程，然后就位置方程对时间求一阶导数，得速度方程，求二阶导数得到机构的加速度方程。DABC342θ2ω1

1θ1θ3xy9.平面机构的运动分析实例已知:图示四杆机构的各构件尺寸和ω1

,求θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α3

。1)位置分析将各构件用杆矢量表示，则有：j

sin

q

)化成直角坐标形式有：

L

=

l

(

i

cos

q

+l2

cosθ2＝l3

cosθ3+

l4

cosθ4－l1

cosθ1l2

sinθ2＝l3

sinθ3+

l4

sinθ4－l1

sinθ1l22＝l2

＋

l2

＋

l2

＋2

l l

cosθ

―2

l l

(cosθ cosθ

―sinθ sinθ

)―2

l l

cosθ3

4

1

3

4

3

1

3

3

1

3

1

1

4

1整理后得：

Asinθ3+Bcosθ3+C=0其中：

A=2

l1

l3

sinθ1B=2

l3

(l1

cosθ1－

l4)C=

l22－l2