常用逻辑用语提高题汇总（选修2-1）（解析版）

考点16常用逻辑用语提高题汇总

一、单选题(共15小题)

1.(2021•静安区一模)下列四个选项中正确的是()

A.关于x,y的方程f+y2+Dx+Ey+F=O(D,E,FER)的曲线是圆

B.设复数ZI，Z2是两个不同的复数，实数。＞0,则关于复数Z的方程忆-2||+忆-22|=2〃的所有解在复平

面上所对应的点的轨迹是椭圆

C.设A,8为两个不同的定点，k为非零常数，若巧应|=匕则动点P的轨迹为双曲线的一支

D.双曲线式_xf=l与椭圆/+y2=l有相同的焦点

25935y

【分析】利用二元二次方程表示圆的体积判断4轨迹方程判断8双曲线定义判断C：求出焦点坐标判断

D；

【解答】解：关于x，)，的方程f+)，+6+@+尸=0(D,E,FGR)的曲线是圆，不满足二元二次方程表示

圆的条件，所以A不正确；

设复数Z1,Z2是两个不同的复数，实数则关于复数Z的方程|2-2||+上-22|=2"的所有解

在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆，也可能是线段，也可能没有轨迹，所以8不正确：

设A,8为两个不同的定点，k为非零常数，若|包|-|说尸鼠则动点P的轨迹为双曲线的•支，

不满足双曲线的定义，也可能是一条射线，所以C不正确；

双曲线上_xf=l的焦点坐标(±病，0),椭圆父•+y2=i的焦点坐标(士技，0),

25935

所以两条曲线有相同的焦点，所以。正确.

故选：D.

【知识点】命题的真假判断与应用

2.(2020秋•南岗区校级期末)已知函数/Or)=d-f,则错误的是()

A.f(x)的图象关于y轴对称

B.方程/(x)=0的解的个数为2

C./(x)在(1,+8)上单调递增

D./(%)的最小值为一•

4

【分析】利用函数的奇偶性判断人函数的零点判断&函数的单调性判断C；函数的最小值判断。.

【解答】解：因为函数/(x)=x"『，满足/(-x)=x4-f=/(x),所以函数是偶函数，所以A正确；

函数的零点有：0；-2；I,所以方程/G)=0的解的个数为3,所以8不正确；

函数的图象如图，可知/（X）在（1,+8）上单调递增，所以C正确;

令f=f2O,所以/（x）=X4-JT,化为）=尸-，=（L2-总》V，所以。正确;

故选:B.

【知识点】命题的真假判断与应用

3.（2021•浙江模拟）已知三条不同的直线mb,c,两个不同的平面a,0,则下列说法错误的是（）

A.若a_La,b_L0,a〃0,贝

B.若a_La,b_L0,a_L0,则a_Lb

C.若〃_La,a//pfa_Lb,则b〃0

D.若〃_La,aOp=c,b//c>则〃_LZ?

【分析】利用空间中线面位置关系的判定定理、性质定理等对选项进行逐一判断，即可得结果.

【解答】解：对于力，由a_La,a〃,得a_L0,又/?_1_0,所以。〃〃，故4正确；

对于B,由〃J_a,a±p,得a〃0或au0,又。_L0,所以〃_!_/?,故3正确；

对于C,由a_La,a〃0,得0_1,又aJL/?,所以b〃0或。u0,故C错误；

对于。，由〃_La,aOp=cf得〃_Lc,又。〃c,所以〃_L。，故。正确.

故选：C.

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系、命题的真假判断与应用、空间中直线与平面之间的位置关

系

xGP

4.（2021•青浦区一模）设函数f（x）=<1u，其中P，M是实数集R的两个非空子集，又规定A（尸）

xtMir

—{y\y=f(x),XGP},A(M)—{y\y—fCx)9xeM}9则下列说法:

(1)一定有A(P)QA(M)=0；

(2)若PUMWR,则4(尸)IM(M)WR；

(3)一定有PAM=0；

(4)若PUM=R,则4(P)U4(M)=R.

其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

-X,x€P

【分析】画图举例说明(I)(4)错误；分析分段函数/(x)=1二“定义域、值域均为实数集的情

一,XtM

,x

况说明(2)正确；由分段函数的定义说明(3)正确.

【解答】解：由题意知，A(P)为分段函数中函数/(X)=-x,的值域，

4(M)为分段函数中函数f(x)=上，的值域.

x

若/(X)的图象如图所示，

则A(P)nA(M)=(0,+8)¥0,故([)错误：

PUM=R,但A(P)UA(M)WR,故(4)错误；

-X,x€P

对于分段函数f(X)=<1>只有P={0},M={4r#0}时，满足PUM=R,A(尸)

—>xtrM

,x

UA(M)=R,

若PUMWR,则A(P)U4(M)于R,故(2)正确；

分段函数不同段的定义域没有公共部分，故一定有PCM=0,故(3)正确.

•••正确命题的个数是2个.

故选：B.

【知识点】命题的真假判断与应用

5.(2020秋•香坊区校级期末)下列说法：

①残差可用来判断模型拟合的效果；

②设有一个回归方程V=3-5x,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③线性回归方程丫=丛+2必过(7,V)；

④在一个2X2列联表中，由计算得必=13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系(其中P(F

210.828)=0.001)；

其中错误的个数是()

A.0B.IC.2D.3.

【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断真假性即可.

【解答】解：对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，

残差越小，拟合效果越好，.♦.①正确；

对于②，回归方程y=3-5x中，变量x增加•个单位时，

y平均减少5个单位，.•.②错误；

对手③，线性回归方程丫=坟+2必过样本中心点G，;)，，③正确;

对于④，在2X2列联表中，由计算得3=13.079,对照临界值得，

有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确：

综上，其中错误的命题是②，共1个.

故选：B.

【知识点】命题的真假判断与应用

6.(2020秋•信阳月考)已知命题0：眦［0,m，5加一，§<：£^<&,命题03Xq,，3］，xoT-〉a，

若p/\q为真命题，则〃的取值范围是()

A.1)B.(心坐，2)C.(2,%D.(2,学)

oo

【分析】利用三角函数的性质求解设f(x)=sinxf%cosx=2sin(x-9)的最大值，将恒成立问题转化最

值问题，再利用对勾函数g(x)=x+L，将存在性问题转化为最值问题，结合夕为真命题，则P

X

与夕均为真命题，即可得到〃的取值范围.

【解答】解：设f(x)=sinx~V^cosx=2sin(x—^~)，

O

当n］时,则有,

Joo

TT

所以当Sin(x-W)=l时，/(X)max=2,

对于命题P，Vxe［0,n］,使得sinx-J§cosx<a,

若命题P为真，则a>2；

设g(x)=x］，则当x€序，1］时，g(X)单调递减，当定(1,3］时，g(x)单调递增，

所以gg)q,g⑶=¥,所以

对于命题4：3x0€Ey»3］,*。)工>@，

若命题4为真，则a<¥，

由于pAq为真命题，

所以p，q均为真命题，

所以“的取值范围是2<a<片.

故选：D.

【知识点】复合命题及其真假

7.(2020秋•陕西月考)设函数f(x)=smx,则下列结论正确的有()

x+sinx

A./(x)的图象关于原点对称

B.f(x+1)的图象关于直线式=1对称

C.f(x)>0

D.f(X)<y

【分析】利用偶函数的定义判断出函数f(x)为偶函数结合偶函数图象的特征可判断选项A,利用/(x)为

偶函数，又/(x+1)是f(x)图象向左平移1个单位，即可判断选项B,利用特殊值进行

验证即可判断选项C,构造函数g(x)=x-sinx(x>0),利用导数进行研究，得至Ux+siiu>2siiu,

所以si—再利用偶函数的性质即可判断选项D.

x+smx2

【解答】解:因为f(x)=sinx

x+sinx

所以f(-x)=手"：)=«),

-x+sink-x；x+sinx

所以/(x)为偶函数，

则/(x)的图象关于)，轴对称，故选项A错误；

因为fCO的图象关于y轴对称，

所以f(x+1)的图象关于直线x=-l对称，故选项8错误;

当x/；时,sinx=-1<0,

所以x+sinx>0,则/(x)<0,故选项C错误；

设g(x)=x-sinx(x>0),

则g'(x)=1-COSJV>O,

所以g(x)在(0,+°°)上单调递增，

因为g(0)=0,所以g(x)>0,BPx>siar,

所以x+sinx>2sinA-,

当x>0时，x+siar>0,

所以书匚<《,

x+sinx2

因为f（x）是偶函数，所以故选项。正确.

故选：D.

【知识点】函数奇偶性的性质与判断、命题的真假判断与应用

8.（2020秋•龙凤区校级月考）下列说法正确的是（）

A.为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计

分析•.在这个问题中，5000名居民的阅读时间是总体容量

B.频率分布直方图的纵坐标是频率

C.汽车的重量和汽车每消耗"汽油所行驶的平均路程成负相关

D.系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会可能不相等

【分析】直接利用总体的容量和样本容量，频率分布直方图，正相关和负相关，系统抽样的及定义的应用

判断4、B、C、。的结论.

【解答】解：对于4总体容量为500,故4错误；

对于B：频率分布直方图的纵坐标为舞萎，故8错误；

组距

对于C：汽车的重量和汽车每消耗E汽油所行驶的平均路程成负相关，汽车越重，行驶的路程

越近，故C正确；

对于系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会相等，故。错误.

故选：C.

【知识点】命题的真假判断与应用、频率分布直方图

9.（2020秋•嘉兴月考）对于函数/（x）=cos2A-+V3siarcosx,xER,下列命题错误的是（）

A.函数/（x）的最大值是擀

B.不存在a£冬冗，春兀），使得f（a）=4

632

c.函数/（尤）在FT。T，勺JT]上单调递减

62

D.存在a€（0,]■兀），使得/（x+a）=/（x+5a）恒成立

【分析】直接把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质判断A、8、C、。的结论.

【解答】解：函数/（x）"：ns==sin（2x~*^~）弓，

对于4当2xT71=2k兀下兀（0）时，函数/（%）取得最大值导Q故A正确；

对于反由于a£。冗，等兀），所以（丹二，4L）,当今时,/（a）

63bob12

i故8错误;

111i1111711

对于c：由于x€［1-，夕］，所以2x哈%］，所以函数的区间为单调递减区

间，故C正确；

对于。：由于函数的最小正周期为2二=兀，所以5a-a=4a£（0,与），使得/'（x+a）=

f（x+5a）恒成立，故。正确.

故选：B.

【知识点】命题的真假判断与应用

10.（2020春•天河区校级期中）如图，矩形ABC。中，M为BC的中点，将△4BM沿直线AM翻折成

连结8。，N为BQ的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的个数是（）

①存在某个位置，使得CNLA8

②翻折过程中，CN的长是定值

③若则

④若A8=BM=1,当三棱锥5-AMO的体积最大时，三棱锥S-AMO的外接球的表面积是4TT

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】对于①，取4c中点E,连接EC交M£）与F,可得到面EWC,又NEH不可能，

对于②，可得由/NEC=/M42i（定值），NE^^ABi（定值），AM=EC（定值），由余弦定理

可得NC是定值.

对于③，取4M中点O,连接BQ,DO,易得4知_1_面0。8|,即可得OC_L4M,从而A£）=

MD,显然不成立.

对于④：当平面BiAM，平面AMO时，三棱锥8i-4MZ）的体积最大，可得球半径为1,表面

积是4TT.

【解答】解：对于①：如图1,取中点E,连接EC交与尸，则NE〃48”NF〃MB\,

如果CN_LA8，可得到AB」面ENC,又NE〃ABi,不可能，故①错.

图1图2

对于②：如图1,可得由NNEC=NMA8i(定值)，NE^^ABi(定值)，AM=EC(定值)，

由余弦定理可得NC2^NE2+EC2-2NE+ECS/NEC,所以NC是定值，故②正确.

对于③：如图2,取AW中点。，连接810,DO,若易得AM_L面。。所，即可得

ODLAM,从而4Z)=M£),显然不成立，可得③不正确.

对于④：当平面平面4W。时，三棱锥以-A例。的体积最大，易得A。中点H就是三

棱锥8-AM。的外接球的球心，球半径为1,表面积是4TT.故④正确.

故说法正确的个数是2个.

故选：B.

【知识点】命题的真假判断与应用

11.(2020春•江西月考)设函数y=/(x)由方程当L+y|y|=l确定，对于函数/(x)给出下列命题：

_f(x<)-f(x2).,

①存在Xl，X26R.XI^X2>使得--------------->0成立；

X「X2

②ma,b&R,426,使得6=/(。)且a=/")同时成立；

③对于任意x6R,2f(x)+x>0恒成立；

④对任意X\,X2€R,X1#X2，怎(0,1)；都有tf(X|)+(1-r)/(X2)-J[tX\+(1-r)X21>0恒成立.

其中正确的命题共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据题意，分4种情况化简方程，作出函数的图象，据此分析4个说法，综合即可得答案.

【解答】解：根据题意，方程当L^|y|=l，

2

当“20且y20时，方程为J+V=l,

4,

22

当x<0且y/0时，方程为-〜+产=1,即产-2=1,

44

当x<0且yVO时，方程为-&—+/=1,

4

2

当且y<0是时，方程为&---y2=I,

4

则函数y=f(x)的图象如图:

对于①，f(X)是定义域R上的单调减函数，则对于任意的M，X2&R,乃#初，使得

f(Xi)-f(X)

——------22-<0成立，①错误：

xl-x2

对于②，假设(。，b)在第一象限，则(b,a)也在第一象限，此时方程组,\,而

该方程组无解，

fa22

Vb=1

若(a,h)在第四象限，则(b,a)在第二象限，此时方程组<0,此时方程组也无

解，

同理：若(a,b)在第二象限，则(b,a)在第四象限，此时方程组也无解，

故②不存在a，bGR,使得。=/(a)且a=/(b)同时成立，②错误；

对于③，对于任意xeR,(x)+x>0恒成立，即f(x)>-去，由函数的图象可知，/(x)

恒成立，③正确：

_1f(xj+f(Xn)

对于④，当时，此时N(X1)+(1-0/(%2)(1-，)X2]>0即--------------->

/(号，2),不是恒成立，则④错误，

四个命题中正确的只有③,

故选：A.

【知识点】命题的真假判断与应用

12.（2020秋•安顺月考）如图，在棱长为I的正方体A8CD-A/iCQ中，尸为线段BG上的动点，下列说

法不正确的是（）

A.对任意点P,。尸〃平面ABiQi

B.三棱锥P-A0A的体积为!

6

C.线段。P长度的最小值为逅

2

1T

D.存在点P,使得。尸与平面AOQ4所成角的大小为号

【分析】直接利用正方体的性质，线面垂直和线面平行的判定，面面平行的判定勾股定理的应用判定A、8、

C、。的结论.

【解答】解：在棱长为1的正方体ABCQ-4BiG£>i中，

如图所示：

对于A：连接8。,DC\,AD\,AB\,B\D\,

由于A0〃BG，BD〃B\D\,且为相交直线，

故平面AD}B}//平面BDC\,

由于OPu平面BDC\,

所以对任意点P,DP〃平面A8Q1，故A正确;

对于三棱锥的体积为《■《

8：P-40GXXIXIXI©故8正确;

326

对于C：过点C作COLBG，连接。。，即点。为。a的中点,

所以。。为最小值，且以O=jF+(孚)2=冷,故C正确，

对于6由于点P在8G上滑动，所以当点P在两端时，最大值为45°,故力错误.

故选：D.

【知识点】直线与平面所成的角、命题的真假判断与应用、棱柱、棱锥、楼台的体积

13.(2020秋•安徽月考)关于函数f(x)=e-^，x€9、-KDO).下列说法错误的是()

A.f(x)的图象关于y轴对称

B./(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减

C.f(x)的值域为(0,1]

D.不等式/(x)＞屋2的解集为(-8,-2)U(2,+8)

【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及不等式的解法的应用求出结果.

x2

【解答】解：对于函数£6)=6-亍，x€(-8,g).

对于A,由于函数满足/(-x)=/(无)所以函数的图象关于y轴对称，故力正确.

对于8：根据函数的图象，如图所示：

X

函数/(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，故8正确;

对于C：根据函数的图象，函数fG)的值域为(0,1],故C正确；

对于。：不等式/J)>e”的解集为(-2,2),故。错误.

故选：D.

【知识点】命题的真假判断与应用、函数的值域

14.(2020秋•安徽月考)关于函数f(x)=sinC1n

)，有卜列命题:

①直线是f(X)图象的一条对称轴3；

②存在(0,n),使得/(x-2a)=/(x+2a)恒成立；

@f(x)在区间(―，4)上单调递增；

1JT

@f(x)的图象可以由函数g(x)=sirr^~x向右平移二丁个单位得到•

4o

则其中真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【分析】通过Xj；时，函数是否取得最值，判断①；利用f(x)的最小正周期为4e推出a的范围.判

o

断②；利用函数的单调性判断③.利用三角函数的图象变换判断④.

【解答】解：①因为X-妥时，枭4=0,所以直线X其二不是/(X)图象的一条对称轴，所以①不

对.

②因为f(x)的最小正周期为4n,所以使得/(x-2a)=/(x+2a)恒成立时T=4aN4n,即

a》n,而a€(0,n)时，a<ir,所以②不对.

③因为XE(-3，然)时，g)，所以/(X)在区间(4,卷L)上

单调递增，所以③正确.

④因为函数g(x)=sin《x向右平移个单位得到函数y=sin-^-(x——)—sin(Jx——)>

所以④不对.综上所述，真命题的个数为L

故选：B.

【知识点】正弦函数的奇偶性和对称性、命题的真假判断与应用

15.(2020秋•徐汇区校级期中)给出下列命题：

(1)若，(xi)+f(及)|2|g(xi)+g(*2)I对任意x\,X26R恒成立，且y—f(x)是奇函数，则函数y

=g(x)也是奇函数；

(2)若If(©)-f(x2)闫g(xi)-g(X2)1对任意X26R恒成立，且y=/(x)是周期函数，则函

数y=g(x)也是周期函数；

(3)若-f(X2)|>|g(xi)-g(X2)|对任意不相等的实数xi、及恒成立，且y=/(x)是R上的

增函数，则函数y=f(x)+gG)与函数y=f(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数；

(4)若If(用)-/(玄)|2|g(xi)-g(及)I对任意xi,X26R恒成立，且y=/(x)在R上有最大值和

最小值，则函数y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用函数的性质，对各个命题逐一判断即可得结论.

【解答】解:对于(1),""\f(XI)47(X2)Big(xi)+g(X2)1对任意Xl,&€R恒成立,

令X2—71，则1/(Xl)+f(-X|)|2|g(X|)+g(-Xi)I恒成立，

vy(x)是奇函数，...!/l(xi)-f(xi)|2|g(xi)+g(-xi)1恒成立,

:.g(xi)+g(-Xi)=0,:.g(-xi)--g(xi),

：.g(x)是奇函数，(1)正确;

对于(2)设.y=f(x)的周期为7,因为若[/"(X1)-f(X2)\^\g(xi)-g(X2)I对任意x”xzWR

恒成立，

令xi=x+r,X2=X,则|/(x+T)-f(x)|2|g(x+T)-g(x)1，V/(x+n=f(x),

.♦.|g(,x+T)-g(x)|W0,.,.g(,x+T)=g(x),

二函数y=g(x)也是周期函数，(2)正确；

对于(3),设xi〈X2，V>'=/(x)是K上的增函数，

(X|)</(%2),\f(XI)-f(X2)\—f(X2)-f(Xl).

".'\f(X|)~f(X2)|>|g(X1)-g(JC2)|>~f(X2)+f(X|)<g(X|)-g(X2)<f(X2)-f

(Xl).

.".f(X2)+g(X2)<f(X1)+g(JC1)且/(X2)-g(X2)>f(X|)-g(X]),

函数y=f(x)+g(x)与函数y=f(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数，故(3)正确；

对于(4),设y=/(x)在R上有最大值为M,此时x=x，有最小值为此时工=及，

-/(X2)|一板(%1)-g(*2)I，二lg(xi)-g(及)

MWg(jfi)-g(X2)EM-m,

故y=g(x)为有界函数，

二函数y=g(x)在R上也有最大值和最小值，故(4)正确.

故选：D.

【知识点】命题的真假判断与应用

二、填空题(共10小题)

16.（2020秋•河南月考）在三棱锥P-A8C中，ABLBC,P在底面ABC上的投影为AC的中点力，DP=DC

=1,对于下列结论：

①三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等；

7TTT

②NflAB的取值范围是（-二，二丁）：

③若三棱锥的四个顶点都在球。的表面上，则球。的体积为多；

O

其中所有正确结论的编号是—.

【分析】利用三角形全等判断选项①，根据在三角形中求出sin/B48的值结合三角形内角和得到/P48范

围判断选项②，利用三棱锥外接球的几何关系求出球的半径，再利用球的体积公式判断选项③，

从而得到答案.

【解答】解：因为A8L8C,。是AC的中点，

所以£>A=£）8=£>C,

又PO_L平面ABC,

所以RtAPDA^RtAPDC,

所以以=PB=PC,故选项①正确；

因为办=P8,所以

^ZPAB+ZPBA+ZAPB=TI,

所以

过P作PM_L48,M为垂足，则PM>PC=1,

乂PA=VPD2+AD2=V2，

所以sin/PAB瞿>

PAV22

TTTT

所以子NPAB<：,故选项②正确；

因为ABL8C,所以。为平面ABC截三棱锥外接球的截面圆的圆心,

设外接球的球心为。，则。在直线OP上，

设。。=/?,则］±h二dh2+］，解得人=0，

故。为外接球的球心，

所以外接球的体积为日X71X「h好，故选项③错误.

Oo

故答案为：①②.

【知识点】命题的真假判断与应用、球的体积和表面积

17.（2020秋•汇川区校级月考）已知六棱锥P-A2CDEF的底面是正六边形，胆J_平面ABC,PA=2AB,则

下列结论正确的是.

①PB_LA£＞；

②平面R1B_L平面ABC；

③平面平面PAE-,

④直线8c〃平面PAE-,

⑤直线PD与平面ABC所成的角为45°.

【分析】利用平面与平面垂直的性质定理和判定定理得到4。，平面附8,从而判断选项①，由以，平面

ABC,再利用面面垂宜的判定定理判断选项②，先证明出A3,平面以E,再利用面面垂直的判定

定理判断选项③,根据题意先证明出8c〃平面出力，再由平面PAD与平面PAE相交判断选项④，

根据阳，平面ABC,得到NPD4就是直线PO与平面ABC所成的角，然后再由公=2AB,求解

来判断选项⑤.

【解答】解：六棱锥P-如图所示：

若P8J_AD,又布，平面A8C,则必_L4。，PAHPB^P,

所以AO_L平面则A_L8C,又NBAO=60°,故选项①错误;

因为R1_L平面4BC,以u平面以8,

所以平面以8,平面ABC,故选项②正确；

因为H1JL平面ABC,所以勿_LAB,5LAB1AE,AEQPA-=A,

所以A8_L平面以E,ABu平面以B,

所以平面％平面以E,故选项③正确；

因为直线8C〃A£),3CC平面B4£>,AZ)u平面附£),所以BC〃平面附。，显然8c与平面3E

不平行，故选项④错误；

因为办_L平面ABC,所以/PD4就是直线PD与平面A8C所成的角，乂出=2AB,AD=2AB,

所以tan/PDA=^=l，则NPDA=45°，故选项⑤正确•

AD

故答案为：②③⑤.

【知识点】命题的真假判断与应用、棱锥的结构特征

18.(2020秋•平城区校级期中)过△A8C所在平面a外一点P,作PO_La,垂足为。，连接B4,PB,PC,

则下列说法中所有正确的序号是―.

①若必=P8=PC,ZC=90°,则点。是A8的中点；

②若弘=PB=PC,则点。是△ABC的外心；

③若PB±PC,PCLPA,则点。是△A8C的垂心；

④若%=BC=2,PB=AC=3,PC=AB=4,则四面体以BC外接球的表面积为297T.

【分析】根据PA=PB=PC,结合平面几何中三角形的外心的定义可以判断选项①②，根据PAVPB,PB

A-PC,PC1PA,结合直线与平面垂直的判定定理以及性质定理可以判断选项③，利用四面体外接

球的几何性质求出球的半径，再利用球的表面积公式进行求解判断选项④，从而得到答案.

【解答】解：若勿=P8=PC,连结。4,OB,OC,

则△POA丝/XPOB丝△/)(?€1,则OA=OB=OC,

所以。为△ABC的外心，故选项②正确；

又NC=90°,则。为A8的中点，故选项①正确;

因为融_LPB,PBLPC,PC^-PA,

所以附_L平面PBC,

所以PAVBC,

又POJ_平面ABC,所以PO1.BC,

所以8c_L平面B4。，所以BC_L4O,

同理AB_LCO,ACJ,BO,

则0为AABC的垂心，故选项③正确；

因为附=8C=2,PB=AC=3,PC=AB=4,

所以四面体%BC的对棱相等，如图所示，

要求四面体PABC外接球的表面积，即求以该四面体的棱为面对角线的长方体的外接球的表面

积，

设长方体的棱长为a,b,c,

22

则有附2+户居+8。2=（廿+»）+（a+b）+（标+/）=2+序+»）=29,

所以长方体的体对角线为叱十二^=楞，

故外接球的半径r」X

2

所以四面体办BC外接球的表面积为s=4兀=2=4兀x2=型匕，故选项④错误.

2

故答案为：①②③.

【知识点】命题的真假判断与应用

19.（2020秋•龙凤区校级月考）已知正四面体A-88的棱长为2,点E是A。的中点，点F在线段BC上,

则下面四个命题中：

（T）3F&BC,EF//AC；②WFeBC,EF<V3；

@3FeBC,EF与AO不垂直：@VFeBC,直线EF与平面8c。夹角正弦的最大值为*.

所有不正确的命题序号为—.

【分析】作出图形，利用图形即可判断选项①，分析EF最大时点尸的位置进行求解即可判断选项②，分

析AD与平面BEC的关系即可判断选项③，线面角的正弦值可以表示为sin8=£，转化为EF

Er

取得最小值进行求解，即可判断选项④.

【解答】解：如图所示，

对于V65C,EF与AC都是异面或相交，故选项①错误；

当点尸为8c中点时，EF为异面直线AO和8c的公垂线，此时E尸取得最小值，

当F与B,C重合时，EF取得最大值巡，故选项②正确；

因为A£)J_8E,AD±CE,BECCE=E,BE,CEu平面BEC,

所以AO_L平面BEC,

所以AOLEF,故选项③错误；

因为E到平面BCD的距离为定值d,

设直线EF与平面BCD的夹角为0,则sin8=£，

Er

当尸为8c中点时，易知EF为异面直线AO和8c的公垂线，

此时Eb取得最小值，sin8=金有最大值，

Er

此时DFW^，DE=1,故EF=V3Tf/^，

由直角三角形EFO可知，EF・DE=DF・d,解得d=§，

所以sin8=£=返，即直线EB与平面BCD夹角正弦的最大值为返，故选项④正确.

EF33

故答案为：①③.

【知识点】命题的真假判断与应用、棱锥的结构特征

20.(2020秋•汉中月考)已知函数y=/(x)是R上的偶函数，对任意的x€R都有f(x+8)=/(x)+/1<4),

当为，X2e［0,4］且X1#X2时，都有(乃-及)［f(xi)-f(X2)］>0.给出下列命题：

⑪(4)=0；

②函数y=/.(x)在［-12,-8］上是递增的；

③函数y=/G)的图象关于直线x=-8对称；

④函数y=/(x)在［-12,12］上有四个零点.

其中所有真命题的序号是—.

【分析】利用赋值法，令x=-4再结合偶函数的定义，即可判断选项①，利用单调性的定义以及偶函数在

对称区间上单调性，判断选项②，利用所给的恒等式进行变形，再结合偶函数的性质推出/(x-8)

=/(-x-8),即可判断选项③，利用赋值法分别求出［-12,12］上/(x)=0的x的个数，即可

判断选项④.

【解答】解：因为/(x)对任意的XCR都有/(x+8)=f(x)+f(4),

令x=-4,则f(4)—f(-4)+/(4),所以/(-4)=0,

又函数y=/(x)是7?上的偶函数，

所以/(4)=0,故选项①正确；

因为当即,x2e［0,4］且X|#X2时，都有(XI-X2)If(xi)-f(X2)］>0,

则当X1>X2时，/(X|)>f(%2)>当X|<X2时，f(JC1)<f(X2),

所以/(X)在［0,4］上单调递增，

因为f(x)是偶函数，所以/(x)在［-4,0］上单调递减，

因为/(x+8)=于(x)+f(4),则有/(尤+4)=f(x-4)+f(4),即/(x+4)=f(x-4),

又/(x)是偶函数，则有/(x+4)=/(-x-4),

所以有/(x-4)=/(-x-4),则函数f(x)关于x=-4对称，

所以/(x)在［-8,-4］上单调递增，在［-12,-8］上单调递减，故选项②错误；

因为/(x+8)=/(x)+f(4),即/(x+8)=f(x),

又f⑺为偶函数，所以f(-x-8)=f(x),

再根据/(x+8)=/(x)+f(4),可得/(-x+8)=f(-x)=f(x),即/(x-8)=f(x)—f

(-x-8),