多变量系统描述

多变量系统描述1第1页，课件共143页，创作于2023年2月主要内容线性系统的状态空间描述线性系统的传递(函数)矩阵描述Rosenbrock系统矩阵描述状态空间描述与传递函数矩阵之间的转换非线性系统的描述线性离散系统的描述

2第2页，课件共143页，创作于2023年2月1.1线性系统的状态空间描述基本概念线性系统的状态空间表达式线性连续定常系统齐次状态方程的解状态转移矩阵及其性质状态转移矩阵的求解方法非齐次状态方程的解开环和闭环系统

3第3页，课件共143页，创作于2023年2月基本概念因果性自然界的一种普遍现象对控制系统而言若系统在时刻t的输出并不取决于在t之后的输入而取决于时刻t和t之前所加的输入，则称系统具有因果性，过去影响将来。实际的物理系统都具有因果性系统模型描述的就是控制系统的因果性

4第4页，课件共143页，创作于2023年2月经典控制理论控制系统的模型以传递函数的形式描述传递函数有效地反映了系统输入输出特性无法体现系统的内部动态特性控制系统的描述是不完善的,有一定的局限性5第5页，课件共143页，创作于2023年2月现代控制理论（自二十世纪六十年代）建立在多变量系统的状态空间描述基础上许多实际系统多变量系统（飞机、宇宙飞船、复杂工业过程）多变量系统系统模型的描述提出了更高的要求

6第6页，课件共143页，创作于2023年2月控制系统的状态空间描述状态方程和输出方程构成状态变量确定系统状态（过去、现在、将来）的一组独立（数目最少的）变量只要知道，就可知7第7页，课件共143页，创作于2023年2月状态空间以各状态变量为轴张成的n维空间，称为状态空间系统在任意时刻的状态都可用状态空间中的一点来表示状态随时间变化就在状态空间描绘出一条曲线，该曲线称为状态轨线8第8页，课件共143页，创作于2023年2月9第9页，课件共143页，创作于2023年2月状态方程描述系统状态变量与系统输入作用之间相互关系的一阶微分（或差分）方程组输出方程描述系统的输出与状态变量、系统输入之间相互关系的方程10第10页，课件共143页，创作于2023年2月线性系统现代控制理论中讨论得最多的一类系统以表示系统的输入输出函数关系

-系统的输入，-实常数，称系统是线性的系统既有可加性，又有齐次性，也称满足耦合迭加原理系统特性（参数）不随时间而变，称系统是定常系统11第11页，课件共143页，创作于2023年2月例1

设有如图所示的R-L-C网络，为输入变量，为输出变量。试求其数学描述12第12页，课件共143页，创作于2023年2月解列出方程

消去中间变量i，可得

13第13页，课件共143页，创作于2023年2月对上述进行拉氏变换，可得对（1）进行重写

14第14页，课件共143页，创作于2023年2月用向量表示系统的输出

15第15页，课件共143页，创作于2023年2月线性系统的状态空间表达式

线性系统现代控制理论中讨论得最多的一类系统已经形成了相当完善、成熟的线性系统控制理论16第16页，课件共143页，创作于2023年2月线性系统的典型状态空间描述为分别为系统的状态变量（向量），输入变量（向量）和输出变量（向量）分别为系统矩阵、控制矩阵、输出矩阵、前馈矩阵

17第17页，课件共143页，创作于2023年2月若u(t)为标量函数，y(t)也为标量函数，则称为单输入单输出（SISO）系统（单变量系统）否则称为多输入输出（MIMO）系统（多变量系统）

18第18页，课件共143页，创作于2023年2月几类主要的线性系统及状态空间模型

（1）时变系统（2）时间离散系统19第19页，课件共143页，创作于2023年2月（3）存在扰动项f(t)的系统（4）存在随机干扰的系统20第20页，课件共143页，创作于2023年2月（5）广义系统

E-奇异矩阵

21第21页，课件共143页，创作于2023年2月线性连续定常系统齐次状态方程的解

对于不考虑输入u(t)的齐次方程方程的唯一解为当时

22第22页，课件共143页，创作于2023年2月证明设代入状态方程(16)，得

23第23页，课件共143页，创作于2023年2月于是

24第24页，课件共143页，创作于2023年2月因此

25第25页，课件共143页，创作于2023年2月状态转移矩阵及其性质

定义状态转移矩阵为则

26第26页，课件共143页，创作于2023年2月状态转移矩阵基本性质（1），I为单位矩阵，（2）即

27第27页，课件共143页，创作于2023年2月（3）（4）

28第28页，课件共143页，创作于2023年2月可以通过以下的计算得到

29第29页，课件共143页，创作于2023年2月（5）对于方程A和B，当时证明

30第30页，课件共143页，创作于2023年2月证明只有AB=BA时，成立31第31页，课件共143页，创作于2023年2月（6）

k-整数因为

32第32页，课件共143页，创作于2023年2月（7）P为任一非奇异矩阵，则证明但

因此

33第33页，课件共143页，创作于2023年2月状态转移矩阵的求解方法

状态转移矩阵确定系统状态的关键之一主要的求解方法直接计算法（无穷级数展开法）Laplace变换法将转化为A的有限多项式来求解通过非奇异变换法求解

34第34页，课件共143页，创作于2023年2月1、直接计算法（无穷级数展开法）例3已知，求35第35页，课件共143页，创作于2023年2月解：将A直接代入（28），可得

36第36页，课件共143页，创作于2023年2月2、Laplace变换法推导由于37第37页，课件共143页，创作于2023年2月进行拉氏变换可得因此

38第38页，课件共143页，创作于2023年2月例4

，求解39第39页，课件共143页，创作于2023年2月因此40第40页，课件共143页，创作于2023年2月3、将转化为A的有限多项式来求解定理1（Cayley-Hamilton定理）设A为一个n阶方阵，为它的特征多项式，那么方阵A必定满足自己的特征多项式，即得到

41第41页，课件共143页，创作于2023年2月也都表示为的线性组合可以化为有限项表达式

-t的函数

42第42页，课件共143页，创作于2023年2月（1）A的特征值两两相异时

43第43页，课件共143页，创作于2023年2月因为

44第44页，课件共143页，创作于2023年2月

-特征值

45第45页，课件共143页，创作于2023年2月上述等式可以写成

46第46页，课件共143页，创作于2023年2月（2）A的特征值为n重根时

47第47页，课件共143页，创作于2023年2月例5

，求解矩阵A的特征值为

48第48页，课件共143页，创作于2023年2月

49第49页，课件共143页，创作于2023年2月4、通过非奇异变换法求解当A的特征值为两两相异时P-使A化为对角线规范型的变换矩阵

50第50页，课件共143页，创作于2023年2月V-特征向量，即

51第51页，课件共143页，创作于2023年2月例6用上述方法求状态转移矩阵，求解矩阵A的特征值为

52第52页，课件共143页，创作于2023年2月令，则

53第53页，课件共143页，创作于2023年2月

54第54页，课件共143页，创作于2023年2月非齐次状态方程的解

非齐次状态方程求解(1)积分法(2)Laplace变换法55第55页，课件共143页，创作于2023年2月(1)积分法证明在等式两端分别乘以，得56第56页，课件共143页，创作于2023年2月进行积分

57第57页，课件共143页，创作于2023年2月(2)Laplace变换法（36）式两端取Laplace变换因此当（38）中等号右边的第一项是u=0时，系统的响应被称为零输入响应当第二项是=0时，系统的响应被称为零状态响应

58第58页，课件共143页，创作于2023年2月开环和闭环系统

由（5），（6）所描述的系统{A，B，C，D}如果u(t)不是x(t)或y(t)的函数系统是开环的由的求解可以看出开环系统的稳定性取决于矩阵A特征值实部的正负行列式的根，称为特征值，也是开环系统的极点

59第59页，课件共143页，创作于2023年2月控制系统绝大多数是反馈系统反馈可分为状态反馈输出反馈

60第60页，课件共143页，创作于2023年2月(1)、状态反馈状态反馈的基本形式

r–m维参考向量，-维反馈系数矩阵代入状态空间表达式

61第61页，课件共143页，创作于2023年2月其中闭环系统的特征方程闭环极点是上述特征方程的根

62第62页，课件共143页，创作于2023年2月(2)、输出反馈输出反馈的基本形式

-维系数矩阵（反馈矩阵）闭环系统

63第63页，课件共143页，创作于2023年2月若D=0，则简化为闭环系统矩阵为闭环系统极点是闭环的特征方程的根

64第64页，课件共143页，创作于2023年2月1.2线性系统的传递函数矩阵描述

单输入单输出（SISO）系统的传递函数形式Y(s),U(s)-分别为输出和输入变量的Laplace变换G(s)-复变量s的函数65第65页，课件共143页，创作于2023年2月多输入多输出（MIMO）系统的传递函数矩阵Y(s),U(s)-分别为r维和m为输出变量和输入变量的Laplace变换G(s)-维的分式矩阵，称为传递函数阵

66第66页，课件共143页，创作于2023年2月Rosenbrock系统矩阵描述

主要内容Rosenbrock系统矩阵闭环系统及极点

系统等价

67第67页，课件共143页，创作于2023年2月1.3Rosenbrock系统矩阵

Rosenbrock系统矩阵根据过程的内在物理规律列写动态方程时经过线性化和增量化，往往得到一组微分方程和代数方程用拉氏变换形式列写，得到

-系统向量，u-输入量，y-输出向量，分别为r维，m维和l维68第68页，课件共143页，创作于2023年2月各为系统变量，不一定是状态变量T(s)，U(s)，V(s)，W(s)均为多项式矩阵，维数分别为上述两组方程，可以写成69第69页，课件共143页，创作于2023年2月定义1Rosenbrock系统矩阵定义为

P(s)-包含了系统可用于分析的全部信息系统的极点为的特征根当系统用状态空间描述时

70第70页，课件共143页，创作于2023年2月若P(s)已知，则传递函数为（3）从（5）式可得

71第71页，课件共143页，创作于2023年2月闭环系统及极点

系统结构框图

72第72页，课件共143页，创作于2023年2月如上图所示当时1）用r代替u,作为输入2）u与r、y的关系：u=r-Fy

3）除了x,u作为系统变量外，把y也作为系统变量

73第73页，课件共143页，创作于2023年2月闭环系统矩阵的根就是闭环系统的极点

74第74页，课件共143页，创作于2023年2月注：闭环系统的阶与的（阶）次数一致。若F为实常数矩阵，系统{A，B，C，D}又是严格正则的话，闭环系统的阶和开环系统的阶是一样的。系统{A，B，C，D}为严格正则的充要条件是当用{T，U，V，W}表示系统时即使，也不能保证严格正则

75第75页，课件共143页，创作于2023年2月系统等价

对系统状态的非奇异变换令

-非奇异矩阵，称为系统的相似变换相似变换后所得到的系统被称为原系统的相似系统其中

76第76页，课件共143页，创作于2023年2月对Rosenbrock系统矩阵同样进行相似变换P(s)-系统{A，B，C}的系统矩阵描述，是相似系统的系统矩阵描述不论D是否为零，在变换中，D不变77第77页，课件共143页，创作于2023年2月若都是最小阶系统的系统矩阵系统相似(s.s,systemsimilar)是产生相同传递函数矩阵的充要条件78第78页，课件共143页，创作于2023年2月定义2下列所示的对系统{T(s),U(s),V(s),W(s)}的变换称为严格系统等价（s.s.e，strictsystemequivalence）

79第79页，课件共143页，创作于2023年2月式中（1），可以不是最小（低）阶的（2），分别是T(s)T1(s)矩阵的维数，分别是，的阶（3）M(s),N(s),X(s),Y(s)都是多项式矩阵（4）M(s),N(s)都是幺模阵（unimodular）行列式都是非零的常数，不随s变化

80第80页，课件共143页，创作于2023年2月严格系统等价变换的实质

（1）对P(s)的前r行（列）的任一行（列）乘以非零常数

（2）取P(s)前r行（列）中的任意行（列）乘以s多项式，然后加到另一行（列）上去

（3）取P(s)前r行（列）中的任何两行（列）交换

在进行严格系统等价变换时P(s)的阶及性质不变

81第81页，课件共143页，创作于2023年2月定理1在进行严格系统等价变换时，矩阵T(s),U(s),V(s)的维数r,系统的阶数n和传递矩阵不变证明根据

82第82页，课件共143页，创作于2023年2月可得（1），因为为幺模阵，维数不变，同样，为维数r不变（2）系统的阶次n，n取决于，的阶次相同（3）传递函数矩阵

83第83页，课件共143页，创作于2023年2月传递函数矩阵84第84页，课件共143页，创作于2023年2月系统相似和严格系统等价几个结论（1）若和都是最低阶的，为维矩阵，则两者间s.s.e时产生同样G(s)的充要条件。

（2）若和都是最低阶的，且用状态形式表示时s.s.e与s.s是统一的，s.s.e是系统相似的充要条件。（3）任何形式的系统矩阵P(s)，只要能生成严格正则的G(s)，则总与下列的s.s.e

。85第85页，课件共143页，创作于2023年2月的s.s.e86第86页，课件共143页，创作于2023年2月1.4状态空间描述与传递函数矩阵之间的转换

由系统的状态方程求传递函数矩阵开环和闭环系统

经线性变换，传递矩阵具有不变性解耦系统的传递函数系统实现问题

87第87页，课件共143页，创作于2023年2月由系统的状态方程求传递函数矩阵设系统的状态空间表达式为设x(t)的初值为0，进行拉氏变换

88第88页，课件共143页，创作于2023年2月消去X(s),得于是89第89页，课件共143页，创作于2023年2月由于假定的矩阵乘积中不出现分子分母间的相消情况（零极点对消）G(s)的极点就是的根与上节的结论是完全一致的90第90页，课件共143页，创作于2023年2月定义1如果在时，常数矩阵，则称G(s)是正则的如果在时，零矩阵，则称G(s)是严格正则的当G(s)为严格正则时，D=0

91第91页，课件共143页，创作于2023年2月开环和闭环系统

MIMO反馈系统G(s)、F(s)-分别为前向通路、反馈通路传递矩阵

Z(s)=F(s)y(s)=F(s)G(s)e(s)

92第92页，课件共143页，创作于2023年2月定义F(s)G(s)为开环传递矩阵由于

u(s)=G(s)e(s)=G(s)[u(s)-G(s)y(s)]因此定义闭环传递矩阵描述输入输出之间的传递关系

93第93页，课件共143页，创作于2023年2月因为所以误差传递函数矩阵为94第94页，课件共143页，创作于2023年2月经线性变换，传递矩阵具有不变性

设系统的动态方程为传递矩阵为

95第95页，课件共143页，创作于2023年2月设引入满秩线性变换矩阵P，（存在）系统的动态方程变为

96第96页，课件共143页，创作于2023年2月经线性变换后的系统的传递矩阵为

97第97页，课件共143页，创作于2023年2月解耦系统的传递函数

由对所有的输出均有影响，同时每一输出受所有输入量的控制，这种通常称为耦合对应的系统称为耦合系统98第98页，课件共143页，创作于2023年2月控制某一输出量必然会影响其它输出量为抵消这种影响，不得不寻求一组输入量来实现对某一输出量的控制若实现某一输入仅控制某一输出，或某输出仅受某输入控制，通常称为解耦控制对应的系统称为解耦控制系统99第99页，课件共143页，创作于2023年2月注意解耦控制系统的输入向量，输出向量的维数相同传递矩阵为对角形矩阵100第100页，课件共143页，创作于2023年2月解耦后MIMO系统转化为m个独立的SISO系统对角元素不能为零,非对角元素为零实现解耦控制的两种方法用串联补偿器实现解耦用前馈补偿器实现解耦101第101页，课件共143页，创作于2023年2月用串联补偿器实现解耦

解耦控制的基本控制结构框图

102第102页，课件共143页，创作于2023年2月引入后闭环传递函数矩阵为u,y,z,e-均为m维向量

-均为维矩阵103第103页，课件共143页，创作于2023年2月推导应具有的形式（15）两边同时左乘因此104第104页，课件共143页，创作于2023年2月若F(s)为对角阵（自由确定，一般单位反馈）当H(s)为对角阵时仍为对角阵为对角阵

105第105页，课件共143页，创作于2023年2月若F(s)=I,即单位反馈

106第106页，课件共143页，创作于2023年2月用前馈补偿器实现解耦

前馈补偿解耦控制

107第107页，课件共143页，创作于2023年2月设原系统闭环传递矩阵为引入前馈矩阵以后解耦系统闭环传递矩阵H(s)应为对角矩阵所以

108第108页，课件共143页，创作于2023年2月例1已知双输入-双输出系统结构图

109第109页，课件共143页，创作于2023年2月试写出开环、闭环传递矩阵求串联补偿器、前馈补偿器使解耦系统闭环传递矩阵为并画出解耦系统结构图

110第110页，课件共143页，创作于2023年2月解

写成向量形式

111第111页，课件共143页，创作于2023年2月

112第112页，课件共143页，创作于2023年2月式中

-PI控制器至的串联补偿器

-至的串联补偿器，此处为0-PID控制器至的串联补偿器

-PI控制器至的串联补偿器

113第113页，课件共143页，创作于2023年2月验证

114第114页，课件共143页，创作于2023年2月前馈补偿器设计由的表达式为纯微分环节，很难实现

115第115页，课件共143页，创作于2023年2月1.5系统实现问题

根据系统的高阶微分方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这类问题称实现问题实现并非唯一为了分析和设计简单通常规定几种标准性（或称规范性）原系统微分方程两端的多项式根没有相同的，不出现零极点对消

n阶系统必有n个独立的状态变量，必有n个一阶微分方程与之等效

116第116页，课件共143页，创作于2023年2月若状态变量不同而使系统矩阵A的元素取值不同既然有一实现，其特征根一定相同没有零极点对消的实现称之为最小实现变量系统的实现输入作用不含导数项的情况输入作用含有导数项的情况

117第117页，课件共143页，创作于2023年2月输入作用不含导数项的情况

系统微分方程为确定，u(t)已知时，方程有唯一解令

118第118页，课件共143页，创作于2023年2月状态方程

119第119页，课件共143页，创作于2023年2月写成矩阵形式其中

120第120页，课件共143页，创作于2023年2月输出方程若选取如下n个变量作为系统的状态变量

121第121页，课件共143页，创作于2023年2月则122第122页，课件共143页，创作于2023年2月写成矩阵形式系统的输出123第123页，课件共143页，创作于2023年2月

例1微分方程不含输入导数项；设置状态变量得状态空间表达式为：

124第124页，课件共143页，创作于2023年2月输入作用含导数项的情况设选取x作状态变量为待定常数取值应该是状态方程中的出现u(t)的导数项

125第125页，课件共143页，创作于2023年2月由（31）式

(31)各式分别乘以后与式（32）相加得到如果右端u(t)的各阶导数项导数为零此状态方程中不含出现u(t)的导数

126第126页，课件共143页，创作于2023年2月得出待定系数为

127第127页，课件