课程设计-题目7

题目：7制作人：时间：2013.5.26题目7据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）

酒是在很短时间内喝的；2）

酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516

酒精含量3835282518151210774

解：模型1：一次性短时间饮酒问题说明:这是建立一个一次性短时间饮酒模型,利用原题目参考资料(1)(2),得出此种饮酒方式的一般规律。这对以后的模型也起着支撑作用。其中的基本假设绝大多数也是之后的模型或问题中求解时的假设。模型描述:我们认为酒精是瞬间进入肠胃,再由肠胃通过扩散作用逐渐进入到血液中的。酒精进入到血液中后，能够立即完成转运间的动态平衡阶段，然后酒精通过分解排泄而消除掉，因此可以根据线性药物动力学原理,把整个机体看成为酒精转运动态平衡的一个“隔室”，建立血管外给药的单室模型。基本假设:一、线性药物动力学的假设:体积为:=70kg*(37.5%+15%+7%)/1.05g/ml=396.667*100ml将、值代入(1.5),根据原题中参考资料(2),运用Matlab中的LSQNONLIN函数可以0d拟合出K 、 值1:a eK K ,a e其误差平方和为225.7963,将 K 、 的值反代回(1.4)，得出的函数图像与原有数据的点阵图象如下（图2）:图2图2说明:拟合曲线与数据离散点图像。（可见拟合出的数值与实际测量值之间吻合得还是很好。）我们把 、 Ka 视为普适量，并用以作为以后模型的参数。模型2:多次饮酒模型说明:多次饮酒中每一次饮酒均是短时间饮酒,因此把每一次饮酒都考虑成一个阶段。每一阶段的初始值包括：肠胃中的的酒精量 和血液中的酒精量 X0 ；其中 包括上一阶段在肠胃中的残留值 和本次摄入的酒精量D'。模型描述:本模型基本假设还是根据模型I。不同的是，我们多考虑了上一阶段肠胃及血液中残留

的酒精量，此值即为上次饮酒时的末态,可由前次饮酒时的微分方程式函数公式推导。第一

次饮酒时酒精残留值均为0。这样即可用递推关系求出任一时刻饮酒状态。

基本假设:1.模型I全部假设如无特殊说明则均继承。2.每一次饮酒均为短时间饮酒，即酒到达肠胃时间为零。3.每一阶段开始,自变量时间t即从0开始取值,总时间即为各阶段时间和。4.所谓的“初态”、“末态”指的是一个阶段初始时和结束时体内肠胃与血液中的酒精量。现在分析某一阶段饮酒状态。这里我们仍沿用D、X来表示肠胃与血液中酒精含量,而此时与均不为0:因此沿用模型I的微分方程:设本次摄入量为D',前次末态值是与 为本次总的初始时肠胃中的酒精量，这里X 。模型3:长时间均匀持续饮酒模型说明:此模型考虑的是在一个较长时间内均匀持续饮酒，给出此饮酒方式下肠胃与血液内酒精浓度的变化规律,这也是第一个模型的推广。模型描述:考虑在较长时间内(时间T)持续均匀地流到肠胃中,因此需要修正(1.1)式。基本假设:1. 模型I全部假设如无特殊说明则均继承。2.酒精是在一个较长时间内(时间T)持续均匀地流到胃中,引入一级线性速率常数K来表示速率流量。、 利用模型I得到的数值。因为是均匀持续饮酒，则可以将整个过程分解为两个阶段：(T时刻酒全部喝完)1）.酒均匀持续进入肠胃吸收室。0≤t≤T2）.酒已经饮光，没有酒进入肠胃吸收室。T≤t阶段分析：阶段1：持续均匀摄入酒精阶段：

吸收室酒精量微分方程:其中K表示单位时间内均匀持续的摄入酒精量,单位为:mg，初始条件是： D0.由于吸收室与中心室的酒精的质量分别为D、X,则得到混合液酒精浓度的微分方程为:初始条件是：X(0)=0。根据(3.1)(3.2)求解出:阶段2：停止摄入酒精阶段：由于此时肠胃中与血液中均含有酒精,则可看作是一个多次饮酒模型中当D'=0 时的特殊情况。故根据模型2:将时间重新从T点记0。肠胃中酒精量微分方程：初始条件是：D(0)= =D(T)+D',因为从此时往后没有酒精摄入，所以D'=0,中心吸收室中血液酒精浓度的微分方程为:初始条件：X(0)= =X(T)这样可以得到阶段2中C与t的函数关系。根据模型2,并考虑到D'=0,则 =D(T),所以:作为一个实例,这里我们给出在2个小时内均匀喝掉一瓶啤酒和短时间内喝掉一瓶啤酒,血液中酒精浓度变化的函数图像1,以作对比。见图3:图3图3说明:曲线I为对应的短时间内喝掉1瓶啤酒的函数图。曲线II为对应的2小时内喝掉1瓶啤酒的函数图，其中虚线部分为饮酒时段，实线部分为饮酒后。水平线为饮酒驾车警戒线。具体问题解答问题一：对大李的情况给出解释由于大李是分两次喝了两瓶酒,因此可以看作是一个二次饮酒模型,根据模型2,即可求出大李血液中的酒精含量与时间t的关系。基本假设:1. 忽略饭菜对酒精吸收的影响。2. 假定大李两次饮酒均为短时间饮洒。过程分析:首先计算在6点检查时，即当t=6时大李血液中酒精浓度：将各参数代入模型I中的（1.5）式，可得：=18.8248mg/100ml,由此可见当时并没有违规，实际与我们的模型相吻合。我们用Matlab程序作出了一张表格1：说明了在6点之后的某一时刻饮酒对应的在凌晨两点的酒精浓度值。饮酒的时刻 凌晨两点的酒精浓度(mg/100ml)下午6点 17.3488下午6点半 18.6044下午7点 19.9810下午7点半 21.4901下午8点 23.1445根据模型3可知，大李第二次饮酒时刻决定了他在凌晨两点时体内血液酒精浓度。由上表可知，因为大李在凌晨两点检查发现超标，因此他很可能是在7点以后喝完酒的。问题二:喝3瓶啤酒或半斤低度白酒后多长时间内驾车会违反标准1一、考虑喝了3瓶啤酒的情况:根据之前模型I得到的1瓶啤酒中酒精含量的估计值,则三瓶啤酒中的酒精含量 为:=640ml*4%*0.8g/ml*1000mg/g*3故： =61440mg根据题二描述,将喝酒情况分为以下两种:(1)酒是在很短时间内喝的:根据模型1, Ka 、Ke 、Vd 均视为常量,求当C(t)>=20 时t的值。利用程序易求得:t∈[0.0686 , 11.6417],即在11.6个小时内开车即会违反上述标准,被判为饮酒驾车。而如果要判为醉酒驾车,则可计算出:t∈[0.3797,4.1047],即其中有3.7小时时间内会判为醉酒驾车。(2)酒是在较长一段时间(比如2小时)内喝的:此种饮酒方案可根据模型III求解。其中:

K含义与模型III中相同。其余量不变,则可以求出:t∈[0.6228,12.6726];即差不多12小时内不能驾车。而如果要计算醉酒驾车的时间区间,则:t∈[1.6384,5.1332];即大约3.5个小时符合醉酒驾车标准。

我们再给出两种饮酒方案的函数图像,见图4:图4图4说明:曲线I为短时间摄入三瓶啤酒;曲线II为2小时摄入3瓶啤酒虚线为饮酒时间,实线为饮酒后时间。两段水平线分别为饮酒驾驶或醉酒驾驶警戒线。二、考虑喝了半斤低度白酒的情况低度白酒通常为28%,密度约为0.95g/ml2。半斤白酒总质量为250g,所以易得半斤低度白酒共含酒精量 为:=58947.4mg我们假设白酒与啤酒只有浓度差别,求解过程同3瓶啤酒。故省略,只给出最终结果与图像。（1）短时间内喝完:

饮酒驾驶:t∈[0.0718,11.4166],禁止驾车时间约为11.3小时。

醉酒驾驶:t∈[0.4065,3.8781],禁止驾车时间约为3.5半小时。(1)长时间喝完:饮酒驾驶:t∈[0.6390,12.4472],禁止驾车时间约为11.8个小时。

醉酒驾驶:t∈[1.6950,4.9056],禁止驾车时间约为3.2个小时。

我们给出函数图像,见图5:图5图5说明：各曲线与图4相同。问题三:怎样估计血液中酒精含量在什么时间最高问题说明:我们在此给出两条峰值定理,用于判定在模型1和模型2的条件下饮酒后血液内酒精含量达到峰值时的时间。峰值定理1：在模型1的条件下,一次性短时间饮酒有如下定理：无论喝的酒量是多少，饮酒者都是在喝下啤酒后的一确定时刻，血液中酒精的含量达到最大值。证明：由模型1可以知道：当只喝一次啤酒，而且快速喝完，那么血液中酒精的含量X与时间t有如(1.4)的函数关系式：其中 表示摄入的酒精量。对X(t)关于t求导：当X'(t) 时有峰值，此时即：t与饮酒量无关。代入=2.0286、=0.1840，可以得到：t=1.3012 （单位：小时）由此可见，无论饮酒量为多少，均是在饮酒后约1.3小时的时候体内血液酒精浓度达到峰值。引理1:在模型2给定的条件下在T时间内以速率K均匀持续饮酒,如果给定T值,则在T时间

喝完时肠胃中与血液中酒精浓度之比为一常数,和速率K没有关系。即与饮酒量大小没有关

系。证明:假定在T时间内以K的速率均匀喝酒,那么根据模型3中的(3.3)(3.4)式可得:易发现D(T)与X(T)均可提取公因式K,可约掉K,则其比值只与T相关,而与K,即啤酒摄入速率无关。峰值定理2:若在一确定的时间内均匀连续地摄入啤酒，那么有：无论摄入速率大小，饮酒者都在

喝下啤酒后某个确定的时间，体内血液中的酒含量达到最大值。

证明:根据引理1,不妨设:) , ------------------------------------------------------(C2.3)其中a为比例常数。另一方面,当喝下啤酒后,即开始转入阶段2,此时含量达到最大值即是X关于t的一阶导数为0时t的值。调用(3.9)式，可得到当X一阶导数为0时:这里D(、,并考虑到(C2.3)故可化简为:由(C2.5)式可见,当假定在T时间内喝完啤酒,无论喝酒量的多少,均在一个固定的时间达到峰值。实际上,每一个T都对应有一个t存在。这里没有给出t关于T的函数，只给出Matlab程序求解1。输入任意的T值可以求得相应的t，即再过t时酒精浓度最高。对T=1,2,3时补充给出一个表格：T(小时) 1 1.5 2 2.5 3t（小时） 0.8904 0.7445 0.6292 0.5375 0.4637综上：以上两条峰值定理说明了在相关假设下一次性短时间内饮酒(模型1)与一段时间内均匀饮酒(模型3)两种方式下体内酒精浓度达到峰值的时间是一个与饮酒量无关的值.。问题四:如果天天喝酒能否此题我们给出两种思路：（1）第一种思路：找到安全饮酒量。从上面模型的分析中可以看出由于人体对酒精有分解作用，所以即使喝了较多的酒也有可能会有一段时间酒精浓度低于违规值，这样就很难分析，为此我们提出“安全第一”的标准，即寻找出一种饮酒量使得一天任意时刻的酒精含量不会超标。这里我们讨论两种饮酒方式：一、短时间饮酒：根据模型1（1.4）式：根据峰值定理I，得到在t=1.3012时有峰值，代入t=1.3012、 =2.0286、=0.1840、=396.667求出 的值使得C的最大值不超过20mg/100ml通过计算可得：瓶啤酒中含有20480mg的酒精，所以大约可以喝10079/20480≈0.4921(瓶)，所以一天喝半瓶不会超标。二、均匀持续饮酒：根据模型3，由峰值定理2中(C2.1)~(C2.5)式,可求出在任意时刻不违规的情况下,即峰值不超过20mg/100ml情况下饮酒时间T与饮酒最大值之间的函数关系。但由于关系式的复杂性,我们仅给出当T=2时饮酒的最大值。从峰值定理2中已知T=2,t=0.6292时出现浓度峰值。将T=2、t=0.6292、=2.0286、=0.1840、=396.667、C=20代入(3.9)(3.10)式，可求得K值为：

K=5323.1，所以可以均匀地在两个小时内喝完10646mg酒精，相当于10646/20480≈0.5198(瓶)综上：两种喝法都喝半瓶的话就几乎不会有违规的可能。（对于第一种喝法和半瓶会稍稍超标一点点，可以忽略不计）。（2）第二种思路：建立参照表考虑到实际的情况，有些司机希望能在开车时不超标的前提下多喝一点。由于不是赴宴，所以一般饮酒是较快的。为了方便讨论，我们假定这些司机饮酒是在很短的时间里完成的。根据模型1可以求出对于一定饮用量其酒精浓度变化曲线，用程序求得警戒线与曲线的交点，两个交点的差值就是违规驾驶的时间1。用程序得到以上表格，可以为司机提供一些参考来确定饮酒量与其对应的不可以驾驶的

时间。当饮酒量达到4瓶时，则酒后有13.1547个小时不能开车，其中有5.4214个小时血液中酒精含量超过80mg/100ml。显然一般情况下，司机是不会喝这么多的。所以不再考虑摄入4瓶酒以上的情况。问题五：对想喝一点儿酒的司机的建议我们在分析模型时发现了几个影响饮酒驾车的因素,并分别提出了相应的建议。1. 饮酒量：根据模型可以看出饮酒量越大，酒精在血液中的浓度峰值越大，饮酒驾车和醉酒驾车的时间也愈长，危险越大。所以不管怎样对一个司机来说都要尽力克制自己，不要为了一时享乐而去冒罚款和交通事故的危险。2. 饮酒的方式：根据以上模型得到的经验型数据。饮同样量的酒，均匀饮酒超标的时间稍长，但峰值较小；短时间饮酒超标时间稍短，但峰