函数的基本性质-备战2020年高考数学（理）一遍过含解析

考点05函数的基本性质

5'考博原文

（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.

您知识整合

一、函数的单调性

1.函数单调性的定义

增函数减函数

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任

意两个自变量的值X],x2

定义

当司＜工2时，都有，当X1＜9时，都有/（%）＞/（%2），

那么就说函数/（X）在区间。上是增那么就说函数/（X）在区间。上是减

函数函数

了）再%2）

图象

0\Xl%2X

描述-0pl~~X2X

自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的

设内,毛&[a,b],王。工2・若有（西一修）"（石）一/（%2）]＞0或“："―J"。＞0,则/（x）在闭区间[a向

x\~X2

上是增函数；若有（百_工2）"（%）］/1（工2）］＜0或"J）一"攻）＜0,则/（X）在闭区间向上是减函数.

此为函数单调性定义的等价形式.

2.单调区间的定义

若函数y=.f（x）在区间。上是增函数或减函数，则称函数y=/（x）在这一区间上具有（严格的）单调性,

区间D叫做函数/（x）的单调区间.

注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种

单调区间用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.

（3）“函数的单调区间是A”与“函数在区间B上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然

（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.例如函数y=工分别在（-8,0）,（0,

x

+8）内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即（一8,0）U（0,+8）内单调递减，只能分开写，即函

数的单调减区间为（一8,0）和（0,+00）.

3.函数单调性的常用结论

（1）若〃x）,g（x）均为区间A上的增（减涵数，则/（x）+g（力也是区间A上的增（减）函数;

（2）若女＞0,则以■（力与/（X）的单调性相同;若k＜0,则4（x）与“X）的单调性相反；

（3）函数y=〃力（/（x）＞0）在公共定义域内与y=—/（x）,y=，一的单调性相反；

/（九）

（4）函数丁=/（力（/（%”0）在公共定义域内与产的单调性相同；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反;

（6）一些重要函数的单调性：

①丁二'+:的单调性：在（y。,一1］和［1,+8）上单调递增，在（一1,0）和（0,1）上单调递减；

（2）y=ax+—（a＞0,b＞0）的单调性:在—，一?卜口

上单调递减.

4.函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意的xe/,都有(3)对于任意的xe/,都有

小)如

条件

(2)存在使得/(毛)=〃(4)存在占e/,使得/(毛)=加

结论M为最大值M为最小值

注意：(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

(2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域

是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

二、函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对•于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

图象关于y轴

偶函数

f(-x)=f(x),那么函数/(力是偶函数对称

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

图象关于原点

奇函数

/,(_%)=_〃力，那么函数〃力是奇函数对称

f(—x)

判断了(一X)与“X)的关系时，也可以使用如下结论：如果/(T)一〃x)=o或先j=l(/(x)wO),则

函数”X)为偶函数；如果/(T)+/'(x)=O或尢j=-l(/(x)70),则函数“X)为奇函数.

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x,一x也

在定义域内(即定义域关于原点对称).

2.函数奇偶性的几个重要结论

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

(2)/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

/(X)g(x)/(x)+g(x)f(x)-g(x)/(x)g(x)/(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

(3)若奇函数的定义域包括0,则/(O)=O.

(4)若函数/(x)是偶函数，则/(_x)=/(x)=/(|x|).

(5)定义在(-8,上的任意函数/(X)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

(6)若函数y=/(x)的定义域关于原点对称，则/(X)+/(T)为偶函数，/(%)一/(T)为奇函数,

为偶函数.

(7)掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数/(£)="+疝、为偶函数，函数/(x)="—Q-x为奇函数.

xx2x1

②函数=a—-a—'=^a_--(a>0且OH1)为奇函数.

a+aa+1

1-Y

③函数/(x)=log”■j——；(a〉0且awl)为奇函数.

④函数/(x)=log“(x+G^F(a〉0且a彳l)为奇函数.

三、函数的周期性

1.周期函数

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值H寸，都有/(x+T)=/(%),

那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数“X)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做/(%)的最小正周期

(若不特别说明，T一般都是指最小正周期).

注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

3.函数周期性的常用结论

设函数y=.f(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),则函数的周期为2a；

②若/(x+a)=—〃x),则函数的周期为2a；

③若/(x+a)=—,则函数的周期为2a；

/(-V)

④若/Xx+a)=———,则函数的周期为2a；

/(x)

⑤函数关于直线x=a与x=8对称，那么函数”X)的周期为2|万一“|；

⑥若函数/(x)关于点(a,0)对称，又关于点他,0)对称，则函数/(%)的周期是2|b—a|；

⑦若函数/(x)关于直线x=a对称，又关于点(。,0)对称，则函数“X)的周期是4|八a|；

⑧若函数/(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为2a；

⑨若函数/(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为4a.

四、函数的图象

1.函数图象的画法

(1)描点法作图

’确定定义域

①研究函数特征，化简解析式

讨论性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值)

②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)；

③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)；

④连线(用平滑的曲线连接所描的点).

(2)变换法作图

①平移变换

I：仙>0)

移个单位

(尸/工+妫・左移------(j(K))--------———■｛月GT?))

个单位下码>0)个单位

移个单位

②对称变换

a.y=fl.x)关于z轴对称

b.y=f(x)关于y轴对称,y=/(-x)；

c.y=J(x)关于原点对称>y=4-x);

d.y=«'(a>0且。彳1)关于)="对称>y=k)g“x(a>0且。羊1).

③翻折变换

保留了轴上方图象

----------------------------->v=f(JT)

将才轴下方图象翻折上去

保留y轴右边图象,并作其，八八

------------------------------>V=/(JT)

关于5轴对称的图象

④伸缩变换

。>1.横坐标缩短为原来的上倍,纵坐标不变

a

尸危)------------------>y^fiax).

0Va<l,横坐标伸长为原来的工倍，纵坐标不变

a

。>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变

y—fix)-----------------------------------------------►y-aj(x).

OVaVl,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变

2,函数图象的识别

有关图象辨识问题的常见类型及解题思路

(1)由实际情景探究函数图象.关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中

的定义域问题.

(2)借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也

可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择.

(3)由解析式确定函数图象.此类问题往往从以下几方面判断：

①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

④从函数的周期性，判断图象的循环往复.

利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项.

(4)同一坐标系下辨析不同函数图象.解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后

再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查.

(5)利用函数性质探究函数图象，往往结合偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称这一结

论进行判断.

3.函数图象的应用

函数图象应用的常见题型及求解策略

(1)利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函

数值的对应关系.

(2)利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合

求解参数的取值范围.

(3)利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系

问题，从而利用数形结合求解.

(4)利用函数的图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程火x)=0的根就是函数兀r)的图象

与x轴交点的横坐标，方程;U)=g(x)的根就是函数_/(x)与g(x)图象交点的横坐标.

点考向.

考向一判断函数的单调性

1.判断函数单调性的方法：

(1)定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断.利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所

给抽象关系式的特点，对王或马进行适当变形，进而比较出了(%)与的大小.

(2)利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单

函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减

(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减.

(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性.

(5)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.

2.在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子

集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调

区间.

典例引领

典例I下列函数定义域为(O,T8)且在定义域内单调递增的是

A.y-exB.y--log,x

n

C.y-\fxD.y=log!x

2

【答案】B

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A,y=e*,为指数函数，其定义域为R,不符合题意：

对于B,y=-\ogLx=\ognx,为对数函数，定义域为(0,小»)且在定义域内单调递增，符合题意；

n

对于C,y=G，其定义域为［0,+8),不符合题意；

对于D,y=log|X,为对数函数，定义域为(0,+8)且在定义域内单调递减，不符合题意，

2

故选B.

【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幕函数的性质，属于基础题.根

据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案.

典例2已知函数/(X)=G7H(xeR),且/⑶=J

(1)判断函数y=/(x)在R上的单调性，并用定义法证明；

(2)若占12/(2),求x的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）jx|l<x<|j..

23-17°

【解析】（1）由己知得二一=—，加3=8,

〃，+19

m-2.

、2r-l2x+l-2,2

〃x）=----=--------=1

八,2V+12X+12'+1

任取与，/eR,且玉ex2，

722_2（2-21）

则/UM内）=1-目

，-岛2为+12X^+1-（2V'+1）（2X2+1）'

V（2A|+1）>O,（2V2+1）>0,

（2国+1）（2*2+1）>0,

又,:x2>xi,

：.2*>2为

二2上一2皆>0,

2（2〃2为）

>o,即〃w）—/&）>（）,即/（%）>〃内），

（2为+1）（2与+1）

二函数y=/（x）在R」:为单调增函数.

（2）—彳]”2）,且由（1）知函数y=/（x）在R上为单调增函数，

22,即三立20,化简得

x—1x—\2

.♦.%的取值范围为1%|1<尤4|I（不写集合形式不扣分）.

7

【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由/（3）=],代入

2

解析式即可得m=2,进而得/（x）=l-亍干，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数

y=f（x）在R上为单调增函数，所以得」一22,求解不等式即可.用定义法证明函数的单调性的步骤：

①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.

变式拓展

(I

1.函数/")=]的单调递减区间是

A.(-oo,+oo)B.(-oo,l)

C.(3,-H»)D.(l,+oo)

考向二函数单调性的应用

函数单调性的应用主要有：

(1)由士,々的大小关系可以判断/(玉)与/(W)的大小关系，也可以由/(5)与/(X,)的大小关系判断

出X,看的大小关系.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化

到同一个单调区间上进行比较.

(2)利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值.

(3)利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的

单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围.若函数为分段函数，除注意各段的单调性

外，还要注意衔接点的取值.

(4)利用函数的单调性解不等式.首先根据函数的性质把不等式转化为〃g(x))>/(〃(％))的形式，然

后根据函数的单调性去掉'了'号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与力(力的取值应在外层函数

的定义域内.

典例引领

典例3定义在R上的函数/(x)满足：对任意的西，(步力看)，有‘⑷一"")<0,

%一%

则

A./(3)</(2)</(4)B./(1)</(2)</(3)

C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(0)

【答案】D

【解析】因为对任意的王，£€[0,+8)(无产劣),有"土)二"")<0,所以函数/(力在[0,不动上

工2一%

是减函数，因为0<1<3,所以/(3)v/(l)v/(O),故选D.

典例4已知函数/(X)的定义域是0+8),且满足/(孙)=〃x)+/(y),/(g)=l,如果对于0<x<y,

都有f(x)>/(y).

(1)求/(1)的值；

(2)解不等式/(—x)+/(3—x)N—2.

【解析】(1)令x=y=l，则/(1)=/(1)+/(1)，/(1)=0，

⑵解法一：由题意知”X)为(0,+8)上的减函数，且%x〉o'即x<0.

/3)=/(x)+/(y),X,丁€((),+00)且/((=1，

.../(r)+/(3—xR-2可化为/(-x)+/(3-x)>-2/(1),即/(—》)+/(g)+A3-x)+/(1)>0

/⑴o/(-1)+/(^)>/(1)«>/(三?)

x<0

则,x3—x»解得一

—----<1

I22

・,・不等式/(-x)+/(3-x)>-2的解集为{x|—1<xv0}.

解法二：由/⑴=〃2)+/(g)n/(2)=—l,

.-./(4)=/(2)+/(2)=-2,

A/(-x)+/(3-x)>/(4),即/[-x(3-x)]>/(4),

-x>0

则3-X〉0.，解得一l<x<0.

—x(3—x)«4

・,・不等式/(—X)+/(3-x)>-2的解集为{x|—1<xv0}.

变式拓展

(2a+3)x—+3(x>1).、

2.已知函数/(x)=《*八在ro，x°上是增函数，则。的取值范围是

a(x<1)

A.a>1B.a<2

C.l<a<2D.1<4Z<2

考向三函数最值的求解

1.利用单调性求最值.应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.若函数在闭区间1。，切上是增

函数，则/(X)在［a,切上的最小值为/(a),最大值为/(。)；若函数在闭区间3,切上是减函数，则

/(x)在［。，切上的最小值为了他)，最大值为/(a).

2.求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.

3.由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的

最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函

数的最小值.

4.求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.

典例引领

典例5已知函数"x)=x2—x+l,若在区间［一1,1］上，不等式/(x)>2x+机恒成立，则实数机的取值

范围是.

【答案】(-00,-1)

【解析】要使在区间上，不等式/(x)>2x+m恒成立，只需加</(力一2%=£―3%+1恒成立，

设g(x)=f-3x+l,只需m小于g(x)在区间［T,1］上的最小值,

因为g(X)=J—3x+l=［x—3］—：，所以当X=1时，g(x)m,n=g(l)=F—3X1+1=—1,所以机<一1,

所以实数机的取值范围是(—8,—1).

典例6已知函数/(k=幺一2x—3,若t+2］,求函数於)的最值.

【解析】易知函数/(x)=X2—2x—3的图象的时称轴为直线X=I,

(1)当1J+2,即d-l时,y(x)max=/W尸产一2一3,y(x)min=Ar+2)=?+2/-3.

(2)当，+；+2-一+2,即一1<0)时，«)皿=儿)=»-2/-3,.”心户川尸一4

(3)当曰<'十；2,即0<日1时，4力咏=^+2)=*+2/—3,凡。而=/0)=-4.

(4)当l<t,即时，/(x)max=Af+2)=尸+2r—3,兀%向=也)=*—2f一3.

t~+2t—3,rW—1

t2-2t-3,t<0

设函数,/(X)的最大值为g(f),最小值为奴。，则有g(f)=夕⑺=<-4,-l<f<l

广+2f—3,f>0

【名师点睛】求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线.的

开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)

值由它的单调性确定，而它的单调性乂由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还

是在区间右侧)来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，

解题时要注意数形结合.

变式拓展

3.定义在R上的函数/(x)满足〃x+y)=/(x)+当x<0时，,f(x)>0,则函数/(x)在［

上有

A.最小值/(相)B.最大值/(〃)

］的1M\

(—^―ID.最小值/(〃)

考向四判断函数的奇偶性

判断函数奇偶性的常用方法及思路：

(1)定义法：

(3)性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相

应地化简解析式，判断“X)与/(-乃的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.

②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.

③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.

典例引领

典例7设函数/(x),g(x)的定义域为R,且是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是

A.7(x)g(x)是偶函数B.|/(x)|g(x)是奇函数

C./(x)lg(x)|是奇函数D.l/(x)g(x)|是奇函数

【答案】C

【解析】设H(x)=/(x)|g(N，则〃(一%)=/(—x)|g(一刈，因为了⑴是奇函数，g(x)是偶函数，故

H(-x)=-/(x)|g(x)|=-H(x),即/(x)|g(x)|是奇函数,选c.

典例8下列判断正确的是

x2-2x

A.函数/(x)=^一丝是奇函数

x-2

B.函数/Q)=x+Jx二1是非奇非偶函数

—x2+l,x>0

2

C.函数f(x)=<是偶函数

--X2—1,X<0

I2

D.函数/(x)=l既是奇函数又是偶函数

【答案】B

%2—2x

【解析】对于A,/(%)=-_丝的定义域为xw2,不关于原点对称，不是奇函数.

x-2

对于B,/(X)=X+&-l,/(一幻=—+6-1,不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数.

对于C,函数的定义域为(一8,0)仔，关于原点对称.当x>0时，

/(—x)=——(―x)2—1=—(―x2+1)=—f(x)；当x<0IIj,/(—x)=—(―x)2+1=—x2+l=-/(x).综上

可知，函数/(x)是奇函数.

对于D,/(x)=l的图象为平行于x轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.

【名师点睛】对于C,判断分段函数的奇偶性时，应分段说明/(-幻与/(x)的关系，只有当对称的两段上

都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D项中的函数是『(%)=0,旦定义域关于原点对称，则函数既

是奇函数又是偶函数.

变式拓展

4.已知函数/(x)=xe、—/(其中e为自然对数的底数)为偶函数，则实数a的值为

考向五函数奇偶性的应用

1.与函数奇偶性有关的问题及解决方法：

(1)已知函数的奇偶性，求函数的值.

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

(2)已知函数的奇偶性求解析式.

已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间

上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析

式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

(3)已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

在定义域关于原点对称的前提下，利用“X)为奇函数o/(-x)=-/(x),/(x)为偶函数o

/(-x)=/(x),列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数/(x),可考虑列式

/(0)=0求解.

(4)已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.

利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.

2.对称性的三个常用结论：

⑴若函数y=/(x+a)是偶函数，即/(a—x)=/(a+x),则函数y=/(%)的图象关于直线x=a对称；

(2)若对于R上的任意x都有/(2a—x)=〃x)或/(—x)=/(2a+x),则y=/(X)的图象关于直线

x=a对称；

(3)若函数y=/(x+b)是奇函数，即/(—x+份+/(x+b)=(),则函数y=/(x)关于点3,0)中心对称.

典例引领

典例9已知“X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，”为卜％2—4x,则不等式的解集用

区间表示为.

【答案】(-5,0)(5,+<»)

【解析】：/(力是定义在R上的奇函数，.•.40)=0.

又当x<0时，一x>0,/.f(-x)=x2+4-X.

乂/(X)为奇函数,•••/(T)=一/(x)，.,•/(X)=—X2-4X(X<。)，

x2-4x,x>0

二/(x)=«0,x=0

-x2-4x,x<0

当x>0时，由/(x)>x得丁一4%〉》，解得x>5：

当x=0时，/(x)>x无解；

当x<0时，由/(x)>x得一/一4%>%,解得一5Vx<0.

综上，不等式〃x)>x的解集用区间表示为(一5,0)(5,+8).

变式拓展

qinx-I-YCCSr

5.设函数/(x)=：(aeR,awO),若/(一2019)=2,贝iJ/(2019)=

ax

A.2B.-2

C.2019D.-2019

考向六函数周期性的判断及应用

(1)判断函数的周期，只需证明/(x+T)=/(x)(T。。)，便可证明函数是周期函数，且周期为T,函数

的周期性常与函数的其他性质综合命题.

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区

间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则攵T(Z:eZ且

女片0)也是函数的周期.

(3)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相

应问题，进而求解.

典例引领

典例10定义在实数集R上的函数/(x)满足/(x)+〃x+2)=O,且〃4一切=/1)，现有以下三种

叙述：

①8是函数的一个周期；②/(力的图象关于直线x=2对称；③/(x)是偶函数.

其中正确的序号是.

【答案】①②③

【解析】由/(x)+/(x+2)=O得/(x+2)=—/(x),所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),所以4是

“X)的一个周期，8也是“》)的一个周期，①正确；

由/(4一x)=得〃x)的图象关于直线x=2对称，②正确；

由〃x+4)=/(x)得/(4一x)=/(—x),所以〃T)=/(X),所以函数“X)是偶函数，③正确.

所以正确的序号是①②③.

变式拓展

(2019、

6.已知函数Ax)和/(x+2)都是定义在R上的偶函数，当xe［0,2］时，/(x)=2l则/一——=

A.2B.272

C.辿D.72

2

考向七函数性质的综合应用

函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，

其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形

式呈现，且主要有以下几种命题角度：

(1)函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

(2)周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值

的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

(3)周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用

奇偶性和单调性求解.

典例引领

典例11已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x—4)=—/(x),且在区间［0,2］上是增函数，则

A./(-25)</(11)</(80)B./(80)</(11)</(-25)

C./(11)</(8())</(-25)D./(-25)</(80)</(11)

【答案】D

【解析】因为/(X)满足y(x-4)=-/(x),所以f(x—8)=/(x),所以函数/'(x)是以8为周期的周期函

数,则，(一25)=/(-1),/(80)=/(0),/(11)=/(3).

由于(X)是定义在R上的奇函数，且满足/(X-4)=-/(%),得/(11)=/(3)=-/(-I)=/(I).

因为/(x)在区间［0,2］上是增函数，/(x)是定义在RI二的奇函数，所以/(%)在区间［-2,2］上是增函数,

所以/(—I)</(0)</(I),即/(-25)<所80)</(II).

变式拓展

7.设函数”十.皿，则下列结论正确的是

［0,尤为无理数

A.“X)的值域为［()/］B./(x)是偶函数

C./(x)不是周期函数D./(x)是单调函数.

考向八函数图象的识别

高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考中的一个热点，题型多以选

择题为主，难度适中，常会与函数的有关性质(如奇偶性、单调性)等相结合.

(1)识图的要点：

重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x轴、y轴的交点，最高、最低点

等).

(2)识图的方法：

①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决;

②定量计算法：通过定量的计算来分析解决；

③排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证.

典例引领

典例12函数binx图象的大致形状是

1--xx-11_x

则f(-x)=-——e—•sin(-x)=—e—-•(-sinx)=---e---sinx=f(x),

则/(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B,D；

1—e

当x=l时，/(1)=——sinl<0,排除A,

1+e

本题正确选项为C.

【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性，

利用排除法是解决本题的关键.解答本题时，根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用/(1)的值的符

号进行排除即可.

变式拓展

8.如图所示是函数y=/(x)的图象，则函数/(x)的解析式可能是

X

声点冲关充

1.下列函数中，是奇函数目在定义域内为单调函数的是

A.y=x2B.y=\nx

3

C.y=x+siiL¥D.y=—

x

2.函数y=ln(「？+2x+3)的减区间是

A.(-1,1]B.[1,3)

C.D.[1,-Ko)

3.函数/•(>)=-+e’的图象为

4x

4.若函数〃x)=m^；+sinx的定义域为[-1』，且是奇函数，则满足"2x-l)</(2，〃-1)的实数x

的取值范围是

A.[0,1)B.(-1,0]

C.[1,2)D.(-2,-1]

5.已知定义域为R的奇函数/(x)的图象关于直线x=l对称，且当OVxKlH寸，f(x)=x3,则/

27

A.B.

88

32

6.6知函数f(x)=x+log2(x+Vx+1),a,beR，则"/(。)+,f®>°”是“a+b>0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.已知定义在R上的函数/(x)满足：对任意实数了都有/(x+3)=.f(x—3),/(-x)=/(x),且

3,0］时，“x)=log:(6+x),则“2018)的值为

A.-3B.—2

C.2D.3

一x~+1,0<x<1

8.设“X)是定义在R上的偶函数，且当MO时，=・,若对任意的xG上m+\\,

2-2A,x>l

不等式/(1-x)<"x+加)恒成立，则实数m的最大值是

A.-1B.

~3

1

C.——D.

23

9.已知危)为定义在R上的奇函数，当应0时,f(x)=T+m,则〃-3)=

10.设函数/(x)=怆(1+刀2)+阴+cosx,则使得J(2x-1)</(3)成立的x的集合为

11.已知/(X)是定义在［-1,1］上的奇函数，且/(-1)=1,若-x+ywO时，有

n±山<0成立.

x+y

(1)判断/(x)在［—1,1］上的单调性，并证明；

(2)解不等式〃2x—1)>〃1一3x)；

(3)若2丽+1对所,有的aw［—1』恒成立，求实数机的取值范围.

12.若函数月(X)对定义域内的每一个值XI，在其定义域内都存在唯一的X2,使人内式》2)=1成立，则称该函

数为"依赖函数

(1)判断函数g(x)=2'是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)若函数yu)=(x-i)2在定义域D“，川。">1)上为"依赖函数”，求实数，*、〃的乘积优"的取值范围；

444

(3)已知函数./U)=(x-a)2(a<§)在定义域4]上为“依赖函数”.若存在实数XG[-,4],使得对任

意的々R,有不等式兀v巨-』+(ST)X+4都成立，求实数s的最大值.•

、直通高考

sirtx+x

1.（2019年高考全国I卷理数）函数式x）=2------7在［-兀，前的图像大致为

COSX+X

2x3

2.（2019年高考全国川卷理数）函数y=在［-6,6］的图像大致为

2X+2-X

3.（2019年高考全国III卷理数）设/（X）是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）单调递减，则

A.f（log3l）>f（?-1>>f（?V）

422

123

B.f（log3l）>f（?-J）>f（7-5）

422

321

c./（2：）>/（2。）>/<1°g3-）

D.f（_3）>f(£)>f(logs-)

224

4.(2018年高考浙江卷)函数尸2®sin2x的图象可能是

5.(2018年高考新课标I卷理科)设函数/(x)=d+(a—1)/+以，若/(x)为奇函数，则曲线y=/(x)

在点(0,0)处的切线方程为

A.y=-2xB.y=—x

C.y=2xD.>=x

6.(2018年高考新课标n卷理科)已知/(x)是定义域为(—,中»)的奇函数，满足"1—x)=/(l+x).若

41)=2,则〃1)+〃2)+〃3)++/(50)=

A.-50B.0

C.2D.50

7.(2017年高考浙江卷)若函数/(x)=f+ar+8在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是〃?，则

A.与。有关，且与人有关B.与。有关，但与匕无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与6有关

8.(2017年高考新课标I卷理