高中数学数列压轴题练习及详解

1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且?,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)数列知足,①求数列的通项公式;②能否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明原因.解:(I)设数列的公差为d,则由?,,得,计算得出或(舍去).;(Ⅱ)①,,,,即,,,,累加得:,也切合上式.故,.②假定存在正整数m、,使得,,成等差数列,则又,,,,即,化简得:当,即时,,(舍去);当,即时,,切合题意.存在正整数,,使得,,成等差数列.分析(Ⅰ)直接由已知列对于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,而后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;②假定存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列对于m的方程,求计算得出答案.在数列中,已知,求证:数列为等比数列;记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.解:(1)证明:,又,,,故,是以3为首项,公比为3的等比数列(2)由(1)知道,,若为数列中的最小项,则对有恒建立,即对恒建立当时,有;当时,有?;当时,恒建立,对恒建立.令,则对恒建立,在时为单一递加数列.即综上,分析由,整理得:.由,,能够知道是以3为首项,公比为3的等比数列;由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒建立,分类分别求适当时和当的取值范围,当时,,利用做差法,依据函数的单一性,即可求得的取值范围.3.在数列中,已知,,,设为的前n项和.求证:数列是等差数列;求;(3)能否存在正整数p,q,,使,,成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明原因.证明:由,,获得,则又,,数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;由(1)能够推知:,所以,,所以,①②-②,得,,,所以假定存在正整数p,q,,使,,成等差数列.则,即由于当时,,所以数列单一递减.又,所以且q起码为2,所以,①当时,,又,所以,等式不建立.②当时,,所以所以,所以,(数列单一递减,解独一确立).综上能够知道,p,q,r的值分别是1,2,3.分析把给出的数列递推式,,变形后获得新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;依据等差数列的性质获得,从而推知p,q,r的值.4.已知n为正整数,数列知足,,设数列知足求证:数列为等比数列;若数列是等差数列,务实数t的值;(3)若数列是等差数列,前n项和为,对随意的,均存在,使得建立,求知足条件的全部整数的值.证明:数列知足,,?,?,数列为等比数列,其首项为,公比为2;(2)解:由(1)可得:?,,数列是等差数列,,,计算得出或12.时,,是对于n的一次函数,所以数列是等差数列.时,,,不是对于n的一次函数,所以数列不是等差数列.综上可得;(3)解:由(2)得,对随意的,均存在,使得建立,即有??,化简可得,当,,,对随意的,切合题意;当,,当时,,对随意的,不切合题意.综上可得,当,,对随意的,均存在,使得建立.分析依据题意整理可得,?,再由等比数列的定义即可得证;(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,查验即可获得所求值;(3)由(2)可得,对随意的,均存在,使得建立,即有??,议论为偶数和奇数,化简整理,即可获得所求值.已知常数,数列知足,(1)若,,①求的值;②求数列的前n项和;(2)若数列中存在三项,,挨次成等差数列,求的取值范围.解:(1)①,,,,,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,数列的前n项和,,明显当时,上式也建立,;(2),即单一递加.当时,有,于是,,若数列中存在三项,,挨次成等差数列,则有,即,.所以不建立.所以此时数列中不存在三项,,挨次成等差数列.当时,有.此时于是当时,.从而若数列中存在三项,,挨次成等差数列,则有,同(i)能够知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾.故此时数列中不存在三项,,挨次成等差数列.当时,有于是此时数列中存在三项,,挨次成等差数列.综上可得:分析①,可得,同理可得,②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的乞降公式即可得出(2),可得,即单一递加.当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在.当时,有.此时.于是当时,.从而.假定存在,同(i)能够知道:.得出矛盾,所以不存在.当时,有.于是.即可得出结论.6.已知两个无量数列和的前n项和分别为,,,,对随意的,都有(1)求数列的通项公式;若为等差数列,对随意的,都有.证明:;(3)若为等比数列,,,求知足的n值.解:(1)由,得,即,所以由,,能够知道所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.故的通项公式为,证法一:设数列的公差为d,则,由(1)知,由于,所以,即恒建立,所以,即,又由,得,所以所以,得证.证法二:设的公差为d,假定存在自然数,使得,则,即,由于,所以所以,由于,所以存在,当时,恒建立.这与“对随意的,都有”矛盾!所以,得证.由(1)知,.由于为等比数列,且,,所以是以1为首项,3为公比的等比数列.所以,则,由于,所以,所以而,所以,即当,2时,式建立;当时,设,则,所以,故知足条件的n的值为1和2.分析运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可获得所求;方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒建立思想可得,求出,判断符号即可得证;方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假定存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证;(3)运用等差数列和等比数列的乞降公式,求得,,化简,推出小于3,联合等差数列的通项公式和数列的单一性,即可获得所求值.已知数列,都是单一递加数列,若将这两个数列的项按由小到大的次序排成一列(同样的项视为一项),则获得一个新数列(1)设数列,分别为等差、等比数列,若,,,求;(2)设的首项为1,各项为正整数,,若新数列是等差数列,求数列的前n项和;(3)设是不小于2的正整数),,能否存在等差数列,使得对随意的,在与之间数列的项数老是若存在,请给出一个知足题意的等差数列;若不存在,请说明原因.解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,依据题意得,,计算得出或3,因数列,单一递加,所以,,所以,,所以,由于,,,设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以由于是中的项,所以设,即当时,计算得出,不知足各项为正整数;当时,,此时,只要取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以;当时,,此时,只要取,由,得,是奇数,是正偶数,m有正整数解,所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以综上所述,数列的前n项和,或存在等差数列,只要首项,公差下证与之间数列的项数为.即证对随意正整数n,都有,即建立.由,所以首项,公差的等差数列切合题意分析(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,依据题意得,,计算得出或3,因数列,单一递加,,,可得,,利用通项公式即可得出.设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.由于是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不知足各项为正整数当时,当时,即可得出.存在等差数列,只要首项,公差.下证与之间数列的项数为.即证对随意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出.对于数列,称(此中,为数列的前k项“颠簸均值”.若对随意的,,都有,则称数列为“趋稳数列”.若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对随意,,都有,试计算:.解:(1)依据题意可得,即,两边平方可得,计算得出;证明:由已知,设,因且,故对随意的,,都有,,,因,,,,,,,,,即对随意的,,都有,故是“趋稳数列”;当时,当时,,同理,,因,,即,所以或所以或由于,且,所以,从而,所以,.分析由新定义可得,解不等式可得x的范围;运用等比数列的通项公式和乞降公式,联合新定义,运用不等式的性质即可得证;由随意,,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,联合新定义和二项式定理,化简整理即可获得所求值.已知首项为1的正项数列{an}知足+＜an+1an，n∈N*.1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；2）设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}前n项的和，若Sn＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2++ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，，ak（k≥3）的公差.解：（1）由题意，an＜an+1＜2an，∴＜x＜3,x＜2x，x∈（2，3）.（2）∵an＜an+1＜2an，且数列{an}是公比为q的等比数列，a1=1，n-1n＜2qn-1，∴q＜qn-1(q-)n-1(q-2)＜0，∴q＞0，q∴q∈（，1）.∵Sn＜Sn+1＜2Sn，当q=1时，S2=2S1，不知足题意，当q≠1时，＜＜2?，∴①当q∈（，1）时，，即，∴q∈（，1）.②当q∈（1，2）时，，即，无解，∴q∈（，1）.（3）设数列a1，a2，，ak（k≥3）的公差为d.∵an＜an+1＜2an，且数列a1，a2，，an成等差数列，∴a1=1，∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，，k-1，∴，∴d∈（-，1）.∵a1+a2++ak=120，∴Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120，∴d=，∴∈（-，1），k∈（15，239），k∈N*，∴k的最小值为16，此时公差d=.分析【解题方法提示】剖析题意，对于（1），由已知联合完整平方公式可